На каждой итерации, в обоих суммах стоят одинаковые случайные числа . Однако так как они умножаются на различные коэффициенты и , результирующие гауссовы числа будут скоррелированы:
так как отлично от нуля только при . Таким образом:
|
(2.43)
|
Заметим, что в общем случае зависит от времени.
Рассмотрим конкретное применение этих формул на примере процесса Орнштейна-Уленбека:
Перейдём при помощи леммы Ито к процессу :
где , а . Поэтому решение для имеет вид ():
Если мы интересуемся свойствами этого процесса как такового, данного решения вполне достаточно. Однако, если мы хотим прояснить его связь с порождающим винеровским процессом , необходимо записать:
где мы воспользовались () с и . Так как и — скоррелированные гауссовы числа, для вычисления моментов произвольных порядков удобно перейти к паре независимых гауссовых величин:
В результате:
и т.д. Теперь мы можем вычислить любые статистики, в которых участвуют и процесс Орнштейна-Уленбека , и порождающий его винеровский процесс :
Если нас интересуют предсказательные возможности порождающего процесса, необходимо записать решение со сдвигом:
и вычислить:
так как на интервале не зависит от винеровского процесса в момент .
Рассмотрим ещё одну задачу для двух процессов с одинаковым шумом :
Если , то — это винеровский процесс, предоставляющий уравнению для не только изменения , но и накопленное значение , от которого зависит амплитуда шума.
Будем, как обычно, использовать итерационный метод:
В решении для величины содержат сумму гауссовых переменных по включительно. Они не зависят от , поэтому . Аналогично вычисляется дисперсия второго процесса:
Эту сумму необходимо разбить на три части, когда индекс меньше , больше, и равен:
Первая и вторая суммы равны нулю, так как они содержат члены типа . Величина не зависит от всех остальных случайных чисел, среднее разбивается на произведение средних и оказывается равным нулю . В результате ненулевое значение имеет последняя сумма со слагаемыми типа . Поэтому для дисперсии имеем следующее выражение:
|
(2.44)
|
где в явном виде подставлено решение для . Таким образом, усредняя с гауссовой плотностью вероятности подынтегральную функцию и вычисляя интеграл от обычной функции времени, мы получаем значение дисперсии случайного процесса. Подчеркнём, что сначала происходит усреднение, и только после этого проводится интегрирование.
Системы уравнений с одинаковым шумом позволят прояснить ещё одну важную особенность стохастической математики. Рассмотрим следующий пример с начальными условиями и :
|
(2.45)
|
Может появиться искушение разделить одно уравнение на второе и проинтегрировать обыкновенное дифференциальное уравнение:
|
(2.46)
|
Если так можно, то решение должно оставаться на детерминированной кривой . Однако на самом деле это неверно! Дело в том, что, хотя стохастический член сократился, дифференциалы , по-прежнему являются изменением случайных функций, для которых неприменимы обычные правила интегрирования. В частности, ( C). Для подобных операций служит лемма Ито.
Решение системы () на самом деле имеет вид:
Действительно, рассматривая , как функцию времени и , мы можем воспользоваться леммой Ито. При этом , поэтому снос равен нулю , а волатильность — единице :
что совпадает со вторым уравнением системы (). В качестве упражнения ( H) предлагается решить () при помощи итераций и проверить ( H) выполнимость ().
Таким образом, необходимо помнить, что дифференциалы типа не являются обычными "малыми" приращения функции . Это случайные величины. Нельзя под дифференциал "как обычно" "затаскивать" функции: . Следует также помнить, что дифференциальные стохастические уравнения — это лишь символическая запись непрерывного предела итерационной схемы.
Ни когда не будет лишним проверить полученный результат при помощи численного моделирования на компьютере. То, что при этом сложно сделать предельный переход , не должно останавливать. В конечном счёте, большинство реальных случайных процессов в Природе на определённом временном масштабе являются дискретными!
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения