Порождающий процесс Винера

Автокорреляция и спектр <<	Оглавление	>> Динамическое уравнение для средних

---

Стохастическое дифференциальное уравнение содержит в качестве шума $\textstyle \delta W$ изменения винеровского процесса $\textstyle W_{t}$. В результате:

каждая выборочная траектория винеровского блуждания $\textstyle W_{t}$ полностью определяет выборочную траекторию произвольного стохастического уравнения с шумом $\textstyle \delta W$.

Даже в тех случаях, когда мы не можем в явном виде записать решение уравнения в виде простой функции $\textstyle x_{t}=f(t,W_{t})$, предполагается её существование. Если у нас есть несколько случайных процессов, уравнения которых содержат один и тот же стохастический шум $\textstyle \delta W$, то они должны быть между собой скоррелированы. Рассмотрим пример:

$\left\{{\begin{array}{l}dx=f(t)\,\delta W\\dy=g(t)\,\delta W.\end{array}}\right.$

Решение каждого уравнения может быть записано при помощи гауссовой величины ( () стр. \pageref{ito_only_t_solution}). Однако, несмотря на одинаковую винеровскую переменную $\textstyle \delta W$, в решениях должна стоять различная $\textstyle \varepsilon$: \begin{eqnarray*} x &=&x_0 + \sum f_{i-1} \,\varepsilon_{i} \, \sqrt{\Delta t} = x_0+ F(t) \cdot \varepsilon\\ y &=&y_0 + \sum g_{j-1} \,\varepsilon_{j} \, \sqrt{\Delta t} = y_0+ G(t)\cdot \eta, \end{eqnarray*} где дисперсии равны:

$F^{2}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}f^{2}(\tau )\,d\tau ,\;\;\;\;\;\;\;\;G^{2}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}g^{2}(\tau )\,d\tau$

На каждой итерации, в обоих суммах стоят одинаковые случайные числа $\textstyle \varepsilon _{k}$. Однако так как они умножаются на различные коэффициенты $\textstyle f_{i}$ и $\textstyle g_{i}$, результирующие гауссовы числа будут скоррелированы:

$F(t)\,G(t)\cdot \left\langle \varepsilon \eta \right\rangle =\sum _{i,j=1}f_{i-1}g_{j-1}\left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle \Delta t=\sum _{i=1}f_{i-1}g_{i-1}\Delta t=\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau )g(\tau )\,d\tau ,$

так как $\textstyle \left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle$ отлично от нуля только при $\textstyle i=j$. Таким образом:

$\left\langle \varepsilon \eta \right\rangle =\rho (t)={\frac {1}{F(t)\,G(t)}}\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau )g(\tau )\,d\tau \neq 1.$

Заметим, что в общем случае $\textstyle \left\langle \varepsilon \eta \right\rangle$ зависит от времени.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим конкретное применение этих формул на примере процесса Орнштейна-Уленбека:

$dx=-\beta \cdot (x-\alpha )\,dt+\sigma \,\delta W.$

Перейдём при помощи леммы Ито к процессу $\textstyle y(t)=F(t,x)=e^{\beta t}\,(x-\alpha )$:

$dy=\sigma e^{\beta t}\,\delta W\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;y(t)=y_{0}+{\frac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}}{\sqrt {e^{2\beta t}-1}}\cdot \eta ,$

где $\textstyle \eta \sim N(0,1)$, а $\textstyle y_{0}=x_{0}-\alpha$. Поэтому решение для $\textstyle x$ имеет вид ($\textstyle \beta >0$):

$x(t)=\alpha +(x_{0}-\alpha )e^{-\beta t}+{\frac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}}{\sqrt {1-e^{-2\beta t}}}\cdot \eta ,$

Если мы интересуемся свойствами этого процесса как такового, данного решения вполне достаточно. Однако, если мы хотим прояснить его связь с порождающим винеровским процессом $\textstyle W_{t}$, необходимо записать:

$W_{t}=\varepsilon {\sqrt {t}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \varepsilon \,\eta \right\rangle =\rho ={\sqrt {{\frac {2}{\beta t}}\,{\frac {1-e^{-\beta t}}{1+e^{-\beta t}}}}},$

где мы воспользовались () с $\textstyle f(t)=1$ и $\textstyle g(t)=\sigma \,e^{\beta t}$. Так как $\textstyle \varepsilon$ и $\textstyle \eta$ — скоррелированные гауссовы числа, для вычисления моментов произвольных порядков удобно перейти к паре независимых гауссовых величин:

$\varepsilon =\varepsilon _{1},\;\;\;\;\;\;\eta =\rho \,\varepsilon _{1}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\,\varepsilon _{2}.$

В результате:

$\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =\left\langle \eta ^{2}\right\rangle =1,\;\;\;\;\left\langle \varepsilon \eta \right\rangle =\rho ,\;\;\;\;\;\;\left\langle \varepsilon ^{2}\eta ^{2}\right\rangle =1+2\rho ^{2},$

и т.д. Теперь мы можем вычислить любые статистики, в которых участвуют и процесс Орнштейна-Уленбека $\textstyle x$, и порождающий его винеровский процесс $\textstyle x$:

$\left\langle W_{t}\cdot x_{t}\right\rangle ={\frac {\sigma {\sqrt {t}}}{\sqrt {2\beta }}}\,{\sqrt {1-e^{-2\beta t}}}\cdot \left\langle \varepsilon \eta \right\rangle ={\frac {\sigma }{\beta }}\left(1-e^{-\beta \,t}\right).$

Если нас интересуют предсказательные возможности порождающего процесса, необходимо записать решение со сдвигом:

$x_{t+\tau }=\alpha +(x_{t}-\alpha )e^{-\beta \tau }+{\frac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}}{\sqrt {1-e^{-2\beta \tau }}}\cdot \eta ',$

и вычислить:

$\left\langle W_{t}\cdot x_{t+\tau }\right\rangle =\left\langle W_{t}\cdot x_{t}\right\rangle \,e^{-\beta \tau }={\frac {\sigma }{\beta }}\,(1-e^{-\beta \tau }),$

так как $\textstyle \eta '$ на интервале $\textstyle [t...t+\tau ]$ не зависит от винеровского процесса в момент $\textstyle t$.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим ещё одну задачу для двух процессов с одинаковым шумом $\textstyle \delta W$:

$\left\{{\begin{array}{l}dx=\delta W\\dy=f(x,t)\,\delta W.\\\end{array}}\right.$

Если $\textstyle x_{0}=x(0)=0$, то $\textstyle x(t)=W_{t}$ — это винеровский процесс, предоставляющий уравнению для $\textstyle y$ не только изменения $\textstyle \delta W$, но и накопленное значение $\textstyle W_{t}$, от которого зависит амплитуда шума.

Будем, как обычно, использовать итерационный метод: \begin{eqnarray*} x_i &=&x_0 + \sum^{i}_{j=1} \varepsilon_j \, \sqrt{\Delta t}\\ y_n &=&y_0 + \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i, t_i) \,\varepsilon_{i+1} \, \sqrt{\Delta t}. \end{eqnarray*} В решении для $\textstyle y_{n}$ величины $\textstyle x_{i}$ содержат сумму гауссовых переменных по $\textstyle \varepsilon _{i}$ включительно. Они не зависят от $\textstyle \varepsilon _{i+1}$, поэтому $\textstyle \left\langle y_{n}\right\rangle =y_{0}$. Аналогично вычисляется дисперсия второго процесса:

$\left\langle (y_{n}-y_{0})^{2}\right\rangle =\sum _{i,j=0}^{n-1}\left\langle f(x_{i},t_{i})f(x_{j},t_{j})\,\varepsilon _{i+1}\varepsilon _{j+1}\right\rangle \,\Delta t.$

Эту сумму необходимо разбить на три части, когда индекс $\textstyle i$ меньше $\textstyle j$, больше, и равен:

$\sum _{i,j}=\sum _{i<j}+\sum _{i>j}+\sum _{i=j}.$

Первая и вторая суммы равны нулю, так как они содержат члены типа $\textstyle \left\langle f(x_{1},t_{1})f(x_{2},t_{2})\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}\right\rangle$. Величина $\textstyle \varepsilon _{3}$ не зависит от всех остальных случайных чисел, среднее разбивается на произведение средних и оказывается равным нулю $\textstyle \left\langle \varepsilon _{3}\right\rangle =0$. В результате ненулевое значение имеет последняя сумма со слагаемыми типа $\textstyle \left\langle f^{2}(x_{1},t_{1})\varepsilon _{2}^{2}\right\rangle =\left\langle f^{2}(x_{1},t_{1})\right\rangle \left\langle \varepsilon _{2}^{2}\right\rangle$. Поэтому для дисперсии имеем следующее выражение:

$\sigma ^{2}(t)=\left\langle (y(t)-y_{0})^{2}\right\rangle =\int \limits _{t_{0}}^{t}\left\langle f^{2}(x_{0}+\varepsilon {\sqrt {\tau }},\tau )\right\rangle d\tau ,$

где в явном виде подставлено решение для $\textstyle x$. Таким образом, усредняя с гауссовой плотностью вероятности подынтегральную функцию и вычисляя интеграл от обычной функции времени, мы получаем значение дисперсии случайного процесса. Подчеркнём, что сначала происходит усреднение, и только после этого проводится интегрирование.

$\textstyle \bullet$ Системы уравнений с одинаковым шумом позволят прояснить ещё одну важную особенность стохастической математики. Рассмотрим следующий пример с начальными условиями $\textstyle x_{0}=x(0)$ и $\textstyle y_{0}=y(0)$:

$\left\{{\begin{array}{l}dx=\;\;\,\delta W\\dy=x\,\delta W,\end{array}}\right.$

Может появиться искушение разделить одно уравнение на второе и проинтегрировать обыкновенное дифференциальное уравнение:

$dy=x\,dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\nRightarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y-y_{0}={\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{2}}.$

Если так можно, то решение должно оставаться на детерминированной кривой $\textstyle y=y(x)$. Однако на самом деле это неверно! Дело в том, что, хотя стохастический член $\textstyle \delta W$ сократился, дифференциалы $\textstyle dx$, $\textstyle dy$ по-прежнему являются изменением случайных функций, для которых неприменимы обычные правила интегрирования. В частности, $\textstyle x\,dx\neq d(x^{2})/2$. Для подобных операций служит лемма Ито.

Решение системы () на самом деле имеет вид:

$\left\{{\begin{array}{ll}x&=x_{0}+W\\y&=y_{0}+x_{0}\,W+{\frac {1}{2}}\,(W^{2}-t).\\\end{array}}\right.$

Действительно, рассматривая $\textstyle y=F(t,W)$, как функцию времени и $\textstyle W$, мы можем воспользоваться леммой Ито. При этом $\textstyle dW=\delta W$, поэтому снос равен нулю $\textstyle a=0$, а волатильность — единице $\textstyle b=1$:

$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial W^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial y}{\partial W}}\,\delta W=(x_{0}+W)\,\delta W=x\,\delta W,$

что совпадает со вторым уравнением системы (). В качестве упражнения предлагается решить () при помощи итераций и проверить выполнимость ().

Таким образом, необходимо помнить, что дифференциалы типа $\textstyle dx$ не являются обычными "малыми" приращения функции $\textstyle x(t)$. Это случайные величины. Нельзя под дифференциал "как обычно" "затаскивать" функции: $\textstyle 2xdx\neq d(x^{2})$. Следует также помнить, что

дифференциальные стохастические уравнения — это лишь символическая запись непрерывного предела итерационной схемы.

Ни когда не будет лишним проверить полученный результат при помощи численного моделирования на компьютере. То, что при этом сложно сделать предельный переход $\textstyle \Delta t\to 0$, не должно останавливать. В конечном счёте, большинство реальных случайных процессов в Природе на определённом временном масштабе являются дискретными!

---

Автокорреляция и спектр <<	Оглавление	>> Динамическое уравнение для средних

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения