Поле точечного заряда

Точечный заряд $Q$, неподвижный в данной инерциальной системе отсчёта, создаёт вокруг себя только электрическое поле, напряжённость которого выражается законом Кулона:

${\vec {E}}=k{\frac {Q}{r^{3}}}{\vec {r}},~~~~~~~~~{\vec {B}}=0$,

где в системе СГС коэффициент $k=1$, а в системе СИ $k=(4\pi \varepsilon _{0})^{-1}$. Вектор ${\vec {r}}$ направлен от заряда к точке измерения напряжённости поля.

Если заряд движется с постоянной скоростью ${\vec {v}}$, то вокруг него возникает магнитное поле ${\vec {B}}$, а напряжённость электрического перестаёт быть сферически симметричной:

${\vec {E}}=k{\frac {Q}{r^{3}}}{\vec {r}}\cdot {\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-[{\vec {n}}\times {\vec {v}}]^{2}/c^{2})^{3/2}}},~~~~~~~~~{\vec {B}}={\frac {[{\vec {v}}\times {\vec {E}}]}{k_{m}c}}$,

где $c$ - скорость света, а коэффициент $k_{m}=1$ в системе СГС и $k_{m}=c$ в системе СИ. Единичный вектор ${\vec {n}}={\vec {r}}/r$ направлен от заряда к точке измерения напряжённости поля. Если ввести угол $\theta$ между векторами ${\vec {v}}$ и ${\vec {n}}$, то $[{\vec {n}}\times {\vec {v}}]^{2}=v^{2}\sin ^{2}\theta$. Напряжённость электрического поля, при фиксированном расстоянии от заряда, минимальна в точках находящихся на линии движения заряда, и максимальна в плоскости перпендикулярной скорости и проходящей через заряд. Магнитная индукция, в силу векторного произведения, перпендикулярна скорости и электрическому полю. Так как заряд движется, в фиксированной точке пространства электрическое и магнитное поле изменяются со временем. Они удовлетворяют уравнениям Максвелла с плотностью заряда и тока пропорциональных дельта функции Дирака:

$\rho ({\vec {r}})=Q\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}),~~~~~~~~~~~{\vec {j}}({\vec {r}})=Q{\vec {v}}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})$,

где ${\vec {r}}_{0}$ - текущее положение заряда.

На пробный заряд $q$, имеющий в той же системе отсчёта скорость ${\vec {u}}$ действует сила Лоренца:

${\vec {F}}=q{\vec {E}}+{\frac {k_{m}}{c}}[{\vec {u}}\times {\vec {B}}]$.

Она может быть получена при помощи преобразований Лоренца из закона Кулона и принципа инвариантности заряда[Берклеевский курс]. В этом смысле магнитное поле, по своей природе является релятивистским эффектом.

Если точечный заряд двигается с ускорением, то создаваемое им поле зависит не только от скорости, но и от ускорения. Составляющая поля зависящая от ускорения соответствует излечению электромагнитной волны [Ландау]