Поле равномерно двигающегося заряда — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Закон Кулона]] <<  
 
  | width="40%"|[[Закон Кулона]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5])
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Уравнения Максвелла]]
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Уравнения Максвелла]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим точечный заряд <math>\textstyle Q</math>, находящийся в начале системы отсчёта <math>\textstyle S'</math>. Сила, с которой он действует на "пробный" заряд <math>\textstyle q</math>, равна: \parbox{7cm}{
 
  
:<center><math>\mathbf{F}' = \frac{qQ}{r'^3}\,\mathbf{r}'.</math></center>
 
 
} \parbox{7cm}{
 
  
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть точечный заряд <math>\textstyle Q</math> находится в начале системы отсчёта <math>\textstyle S'</math>. Сила, с которой он действует на "пробный" заряд <math>\textstyle q</math> в системе <math>\textstyle S'</math>, равна:
 
<center>[[File:Kulon.png]]</center>
 
<center>[[File:Kulon.png]]</center>
 +
Найдём, как будет выглядеть это же взаимодействие в "неподвижной" системе отсчёта <math>\textstyle S</math>, мимо которой система <math>\textstyle S'</math> движется с ''постоянной'' скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math>. Выпишем ещё раз законы преобразования различных величин. Базовыми являются преобразования Лоренца (стр. \pageref{lorenz_vec0}):
  
} \\ Заметим, что, записывая закон Кулона, мы предполагаем, что сила зависит от расстояния от неподвижного в системе <math>\textstyle S'</math> заряда <math>\textstyle Q</math>, но ''не зависит от скорости'' <math>\textstyle \mathbf{u}'</math> пробного заряда <math>\textstyle q</math>. Найдём, как будет выглядеть это же взаимодействие в "неподвижной" системе отсчёта <math>\textstyle S</math>, мимо которой система <math>\textstyle S'</math> двигается с произвольной ''постоянной'' скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math>.
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\, {\mathbf v}({\mathbf v}{\mathbf r}), </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Преобразования Лоренца (), стр. \pageref{lorenz_vec0_f}, для радиус-вектора <math>\textstyle \mathbf{r}</math> в момент времени <math>\textstyle t=0</math> (когда начала систем совпадали) имеют вид:
+
где <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2}</math> и <math>\textstyle \Gamma=\gamma^2/(\gamma+1)=(\gamma-1)/v^2</math>. Из них непосредственно следует закон сложения скоростей:
  
:<center><math>\mathbf{r}' = \mathbf{r}+(\gamma-1)\frac{(\mathbf{r}\mathbf{v})\mathbf{v}}{v^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{r}'^2 = \mathbf{r}^2+\frac{(\mathbf{r}\mathbf{v})^2}{1-v^2} = \gamma^2 r^2 \cdot\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right),</math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{u}'=\frac{{\mathbf u} - \gamma{\mathbf v} + \Gamma\,{\mathbf v}({\mathbf v}{\mathbf u})}{\gamma (1-{\mathbf v}{\mathbf u})}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
где <math>\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{r}/r</math> &mdash; единичный вектор в направлении от заряда <math>\textstyle Q</math> к пробному заряду <math>\textstyle q</math>. Квадрат векторного произведения <math>\textstyle [\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2=\mathbf{n}^2\mathbf{v}^2-(\mathbf{n}\mathbf{v})^2</math> можно записать при помощи угла <math>\textstyle \theta</math> между скоростью и радиус-вектором: <math>\textstyle [\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2=v^2\sin^2\theta</math>.
+
Кроме этого, в третьей главе (стр. \pageref{lorenz_force}) был получен закон преобразования силы <math>\textstyle \mathbf{F}=d\mathbf{p}/dt</math>, который мы запишем в обратном виде (слева сила в системе <math>\textstyle S</math>, а справа &mdash; в системе <math>\textstyle S'</math>):
  
Сила кулоновского взаимодействия <math>\textstyle \mathbf{F}'</math> в системе <math>\textstyle S'</math>, выраженная через величины измеряемые в системе <math>\textstyle S</math>, равна:
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\mathbf{F}}{\gamma\,(1-\mathbf{v}\mathbf{u})}\, = {\mathbf F}' + \gamma{\mathbf v} (\mathbf{u}'\mathbf{F}') + \Gamma\,{\mathbf v} ({\mathbf v}\,{\mathbf F}') . </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 
 +
Рассмотрим момент времени <math>\textstyle t=0</math> (''когда начала систем совпадают''). В этом случае из преобразований Лоренца () следует (<math>\textstyle \lessdot</math> H):
  
:<center><math>\mathbf{F}'=\frac{qQ}{r^3}\cdot \frac{\mathbf{r}+(\gamma-1)\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{r})/v^2}{\gamma^3\left\{1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right\}^{3/2}}.</math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}+\Gamma\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{r}'^2 = \mathbf{r}^2+\gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{r})^2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{v}\mathbf{r}'=\gamma (\mathbf{v}\mathbf{r}). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Чтобы найти силу, действующую на заряд <math>\textstyle q</math>, двигающийся в системе <math>\textstyle S</math> со скоростью <math>\textstyle \mathbf{u}</math>, необходимо <math>\textstyle \mathbf{F}'</math> подставить в преобразования (стр. \pageref{lorenz_force2}):
+
Умножая <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> при <math>\textstyle t=0</math> на <math>\textstyle \mathbf{u}'</math> (), приходим к соотношению (<math>\textstyle \lessdot</math> H):
  
:<center><math>\mathbf{F} \;=\; \gamma\,\mathbf{F}'- (\gamma-1)\,\frac{(\mathbf{v}\mathbf{F}')\mathbf{v}}{v^2}\;+\;\gamma\,[\mathbf{u}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{F}']].</math></center>
+
:<center><math>\mathbf{u}'\mathbf{r}'=\frac{\mathbf{u}\mathbf{r}}{\gamma\,(1-\mathbf{v}\mathbf{u})} - \gamma (\mathbf{v}\mathbf{r}).</math></center>
  
После несложных вычислений находим:
+
Подставим в правую часть преобразования () силу Кулона для неподвижного заряда <math>\textstyle \mathbf{F'}</math> в системе <math>\textstyle S'</math> () и выражения для <math>\textstyle \mathbf{r}'</math>, <math>\textstyle \mathbf{u}'\mathbf{r}'</math>, <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}'</math>:
  
:<center><math>\mathbf{F}=\frac{qQ}{r^3}\,\frac{1-v^2}{\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right)^{3/2}}\,\bigl(\mathbf{r}+[\mathbf{u}\times[\mathbf{v}\times\mathbf{r}]]\bigr).</math></center>
+
:<center><math>\frac{\mathbf{F}}{\gamma\,(1-\mathbf{v}\mathbf{u})} =\frac{qQ}{r'^3}\left\{\mathbf{r}'+\gamma\mathbf{v}(\mathbf{u}'\mathbf{r}')+\Gamma\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}')\right\} =\frac{qQ}{r'^3}\left\{\mathbf{r}+\frac{\mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{r})}{1-\mathbf{v}\mathbf{u}}\right\}.</math></center>
  
Обратим внимание, что мы использовали ''постулат'' инвариантности зарядов частиц, оставив их неизменными в системе <math>\textstyle S</math>. Это очень сильное допущение. Аналогично инвариантности массы, мы считаем, что заряд &mdash; это собственная характеристика объекта, не зависящая от его скорости.
+
При переходе ко второму равенству учтено, что <math>\textstyle (\gamma+1)\Gamma=\gamma^2</math>.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Полученное выше выражение для силы зависит от скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math> заряда <math>\textstyle Q</math>, создающего силовое поле. Кроме этого оно разбивается на два слагаемых, первое из которых не зависит от скорости пробного заряда <math>\textstyle \mathbf{u}</math>, а второе зависит. Напомним, что в системе <math>\textstyle S'</math>, связанной с зарядом <math>\textstyle Q</math>, сила действия на пробный заряд не зависела от его скорости. Однако, если заряд, создающий поле, двигается, теория относительности приводит к тому, что должна появиться ещё одна компонента силового воздействия, зависящая не только от положения пробного заряда, но и от его скорости. Её удобно выделить в виде отдельного поля, переписав выражение для силы в форме ''закона Лоренца'':
+
Приводя к общему знаменателю и выражая <math>\textstyle r'=\sqrt{\mathbf{r}'^2}</math> через <math>\textstyle r=\sqrt{\mathbf{r}^2}</math> при помощи (), окончательно находим силу, действующую на <math>\textstyle q</math> в "неподвижной" системе <math>\textstyle S</math>:
 +
 
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{F}=\frac{qQ\,\gamma}{\bigl(r^2+\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2\bigr)^{3/2}}\,\bigl(\mathbf{r}+[\mathbf{u}\times[\mathbf{v}\times\mathbf{r}]]\bigr). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 
 +
Если бы кулоновская сила в () была регуляризована (стр.\pageref{kulon_a}), то в знаменателе дополнительно появилось бы слагаемое <math>\textstyle +a^2</math>.
 +
 
 +
Обратим внимание, что при выводе () мы использовали ''постулат'' инвариантности заряда частицы. Аналогично инвариантности массы, мы считаем, что заряд &mdash; это собственная характеристика объекта, не зависящая от его скорости. Другими словами:
 +
 
 +
:<center><math>Q'=Q.</math></center>
 +
 
 +
Выражение для силы () разбивается на два слагаемых, второе из которых зависит от скорости пробного заряда <math>\textstyle \mathbf{u}</math>. Напомним, что в системе <math>\textstyle S'</math>, связанной с зарядом <math>\textstyle Q</math>, сила действия на пробный заряд не зависела от его скорости. Однако, если заряд, создающий поле, движется, теория относительности приводит к тому, что должна появиться ещё одна компонента силового воздействия, зависящая не только от положения пробного заряда, но и от его скорости. Её удобно выделить в виде отдельного поля. В результате получается ''сила Лоренца'':
  
 
:<center><math>\mathbf{F}=q\mathbf{E}+q[\mathbf{u}\times\mathbf{B}],</math></center>
 
:<center><math>\mathbf{F}=q\mathbf{E}+q[\mathbf{u}\times\mathbf{B}],</math></center>
Строка 42: Строка 67:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{E} = \frac{Q}{r^3}\,\mathbf{r}\cdot \frac{1-v^2}{\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right)^{3/2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B} = [\mathbf{v}\times\mathbf{E}]. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{E} = \frac{Q\,\gamma\,\mathbf{r}}{\bigl(r^2+\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2\bigr)^{3/2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B} = [\mathbf{v}\times\mathbf{E}]. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 
 +
Подчеркнём, что появление магнитного поля <math>\textstyle \mathbf{B}</math> (а точнее, силового воздействия <math>\textstyle q[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]</math>, зависящего от скорости пробной частицы) &mdash; это чисто релятивистский эффект, возникающий благодаря преобразованию силы между двумя системами отсчёта. Как мы увидим чуть позже, уравнения Максвелла &mdash; это "лишь" закон Кулона плюс преобразования Лоренца! Магнит, притягивающий металл, является самым первым известным человечеству релятивистским эффектом (конечно, после видимого света).
 +
 
 +
Выражение для напряжённости электрического поля может быть записано следующим образом:
 +
 
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{E} = \frac{Q\,\mathbf{r}}{r^3}\, \frac{\gamma}{(1+\gamma^2 v^2 \cos^2\theta)^{3/2}}, </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Появление магнитного поля (т.е. силового воздействия, зависящего от скорости пробной частицы) это чисто релятивистский эффект, возникающий благодаря преобразованию силы между двумя системами отсчёта. Как мы увидим чуть позже, уравнения Максвелла &mdash; это "лишь" закон Кулона плюс преобразования Лоренца! Магнит, притягивающий металл, является самым первым известным человечеству релятивистским эффектом (конечно, после видимого света).
+
где <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=vr\cos \theta</math>, а <math>\textstyle \theta</math> &mdash; угол между радиус-вектором и скоростью.
 +
 
 +
Изучим подробнее характер электрического и магнитного полей, создаваемых движущимся зарядом. На одном и том же расстоянии эти поля достигают минимального значения в точках, находящихся на линии движения заряда <math>\textstyle Q</math>, когда <math>\textstyle \theta=0</math> в (), и максимального на плоскости, перпендикулярной к скорости и проходящей через заряд <math>\textstyle Q</math>. Например, для электрического поля:
 +
 
 +
:<center><math>|\mathbf{E}_{min}|=\frac{1}{\gamma^2}\,\frac{Q}{r^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\mathbf{E}_{max}|=\gamma\,\frac{Q}{r^2}.</math></center>
 +
 
 +
"Густота" ''линий напряженности'' символизирует величину поля, поэтому электрическое поле движущегося заряда выглядит примерно так, как изображено на левом рисунке:
 +
 
 +
<center>[[File:Kulon2.png]]</center>
 +
 
 +
Образно говоря, силовые линии "сплющиваются", прижимаясь к плоскости, перпендикулярной скорости заряда <math>\textstyle \mathbf{v}</math>.
  
Напомним также, что в книге принята система единиц, в которой <math>\textstyle c=1</math>. Для "восстановления" фундаментальной скорости <math>\textstyle c</math> мы должны величины, имеющие размерность времени в некоторой степени, умножить на <math>\textstyle c</math> в той же степени. При применении этого правила сила делится на <math>\textstyle c^2</math>. Чтобы при этом ''нерелятивистский'' закон Кулона не изменился, заряд необходимо разделить на <math>\textstyle c</math>, поэтому:
+
На правом рисунке изображены силовые линии магнитного поля. Так как <math>\textstyle \mathbf{B}</math> равно векторному произведению скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math> на электрическое поле <math>\textstyle \mathbf{E}</math>, то магнитные силовые линии оказываются замкнутыми (см. правило штопора, стр. \pageref{m_vectors}). В отличие от электрической составляющей силы, для которой линии напряжённости начинаются на заряде, магнитное поле не имеет зарядов. Это ''кинематический эффект'', родственный замедлению времени, аберрации и т.п.
 +
 
 +
В книге принята система единиц, в которой <math>\textstyle c=1</math>. Для "восстановления" константы <math>\textstyle c</math> мы должны умножить величины, имеющие размерность времени в некоторой степени, на <math>\textstyle c</math> в той же степени. При применении этого правила сила делится на <math>\textstyle c^2</math>. Чтобы при этом ''нерелятивистский'' закон Кулона не изменился, заряд необходимо разделить на <math>\textstyle c</math>, поэтому:
  
 
:<center><math>\mathbf{F} \mapsto \frac{\mathbf{F}}{c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Q \mapsto \frac{Q}{c},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{E} \mapsto \frac{\mathbf{E}}{c},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B} \mapsto \frac{\mathbf{B}}{c}.</math></center>
 
:<center><math>\mathbf{F} \mapsto \frac{\mathbf{F}}{c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Q \mapsto \frac{Q}{c},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{E} \mapsto \frac{\mathbf{E}}{c},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B} \mapsto \frac{\mathbf{B}}{c}.</math></center>
Строка 58: Строка 104:
 
Дальше мы будем по-прежнему использовать систему <math>\textstyle c=1</math>, считая, что восстановление <math>\textstyle c</math> в любой формуле не составит для Читателя труда.
 
Дальше мы будем по-прежнему использовать систему <math>\textstyle c=1</math>, считая, что восстановление <math>\textstyle c</math> в любой формуле не составит для Читателя труда.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Изучим теперь подробнее характер электрического и магнитного полей, создаваемых двигающимся зарядом. На одном и том же расстоянии эти поля достигают минимального значения в точках находящихся на линии движения заряда <math>\textstyle Q</math>, когда <math>\textstyle [\mathbf{n}\times \mathbf{v}]=0</math> и максимального на плоскости, перпендикулярной к скорости и проходящей через заряд <math>\textstyle Q</math>. Например, для электрического поля:
+
<math>\textstyle \bullet</math> В первом разделе при помощи закона Кулона для неподвижного заряда и принципа суперпозиции мы получили уравнения электростатики (), стр.\pageref{electrostatic}, для электрического поля. Выясним, каким дифференциальным уравнениям удовлетворяют электрическое и магнитное поля движущегося заряда.
  
:<center><math>|\mathbf{E}_{min}|=\frac{1}{\gamma^2}\,\frac{Q}{r^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\mathbf{E}_{max}|=\gamma\,\frac{Q}{r^2}.</math></center>
+
Проведя регуляризацию, вычислим (<math>\textstyle \lessdot</math> H) дивергенцию от электрического поля движущегося заряда:
 +
 
 +
:<center><math>\nabla\mathbf{E} = \nabla \frac{Q\,\gamma\,\mathbf{r}}{\bigl(r^2+\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2+a^2\bigr)^{3/2}} = 4\pi \,Q\,\delta_a(\mathbf{r}),</math></center>
 +
 
 +
где введена функция:
 +
 
 +
:<center><math>\delta_a(\mathbf{r}) =\frac{3}{4\pi}\, \frac{\gamma\,a^2}{\bigl(r^2+\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2+a^2\bigr)^{5/2}}.</math></center>
 +
 
 +
При <math>\textstyle r\neq 0</math>, если <math>\textstyle a\to 0</math>, функция <math>\textstyle \delta_a</math> равна нулю. При <math>\textstyle r=0</math>, <math>\textstyle a\to 0</math> она стремится к бесконечности. Убедимся, что в этом пределе <math>\textstyle \delta_a</math> не зависит от скорости и равна <math>\textstyle \delta</math>-функции Дирака. Проинтегрируем электрическое поле по сфере, окружающей заряд (<math>\textstyle |d\mathbf{S}|=r^2\,d\Omega</math>):
 +
 
 +
:<center><math>\int\limits_S \mathbf{E}d\mathbf{S} = \int\limits^{2\pi}_0\,d\phi \int\limits^{\pi}_{0} \frac{Q\gamma }{\left(1+\gamma^2 v^2\cos^2\theta\right)^{3/2}} \sin\theta d\theta = 4\pi\,Q.</math></center>
 +
 
 +
Интегрирование проводится по сферическим углам на фиксированном расстоянии <math>\textstyle r</math> от заряда. Ось <math>\textstyle z</math> направлена вдоль скорости. Интеграл по углу <math>\textstyle \phi</math> даёт множитель <math>\textstyle 2\pi</math>. В интеграле по <math>\textstyle \theta</math> сделаем замену <math>\textstyle z=\cos\theta</math>:
 +
 
 +
:<center><math>\int\limits^{1}_{-1} \frac{2\pi Q\gamma dz}{\left(1+\gamma^2 v^2 z^2\right)^{3/2}} = \frac{2\pi Q\gamma\,z}{(1+\gamma^2 v^2 z^2)^{1/2}}\Bigr|^{+1}_{-1}=4\pi Q.</math></center>
 +
 
 +
Первообразная интеграла проверяется прямым дифференцированием. Таким образом, поток через сферу, окружающую заряд, при <math>\textstyle a\to 0</math> равен <math>\textstyle 4\pi Q</math>. Следовательно, для движущегося заряда по-прежнему справедливо электростатическое уравнение:
 +
 
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \nabla\mathbf{E} = 4\pi Q\delta(\mathbf{r}). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 
 +
Мы видим, что, несмотря на то, что вектор напряжённости электрического поля ''не обладает'' сферической симметрией, дивергенция имеет такое же сингулярное значение, как и в случае неподвижного заряда.
 +
 
 +
Найдём теперь дивергенцию от магнитного поля:
 +
 
 +
:<center><math>\nabla\mathbf{B} = \nabla\,[\mathbf{v}\times\mathbf{E}]=- \mathbf{v}\,[\nabla\times\mathbf{E}].</math></center>
 +
 
 +
Так как <math>\textstyle \nabla\times\mathbf{r}=0</math>, ротор электрического поля равен:
  
"Густота" ''линий напряженности'' символизирует величину поля, поэтому электрическое поле двигающегося заряда выглядит примерно так, как изображено на левом рисунке:
+
{| width="100%"  
 +
| width="90%" align="center"|<math> \nabla\times\mathbf{E} = -[\mathbf{r}\times\nabla] \frac{Q\,\gamma}{\bigl(r^2+\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2\bigr)^{3/2}} = \frac{3Q\gamma^3[\mathbf{r}\times\mathbf{v}](\mathbf{v}\mathbf{r})}{\bigl(r^2+\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2\bigr)^{5/2}}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
<center>[[File:Kulon2.png]]</center>
+
Так как для смешанного произведения <math>\textstyle \mathbf{v}\,[\mathbf{r}\times\mathbf{v}]=[\mathbf{v}\times\mathbf{v}]\mathbf{r}=0</math>, то дивергенция магнитного поля равна нулю во всём пространстве, включая положение электрического заряда:
  
Образно говоря, силовые линии "сплющиваются", прижимаясь к плоскости перпендикулярной скорости заряда <math>\textstyle \mathbf{v}</math>.
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \nabla\mathbf{B} = 0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
На правом рисунке изображены силовые линии магнитного поля. Так как <math>\textstyle \mathbf{B}</math> равно векторному произведению скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math> на электрическое поле <math>\textstyle \mathbf{E}</math>, то магнитные силовые линии оказываются замкнутыми (см. правило штопора, стр. \pageref{m_vectors}). В отличие от электрической составляющей силы, для которой линии напряжённости всегда начинаются на заряде, магнитное поле не имеет зарядов. Это чисто кинематический эффект, родственный замедлению времени, аберрации и т.п.
+
Выше мы выбрали момент времени <math>\textstyle t'=t=0</math>, когда заряд находился в началах систем <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle S'</math>. Так как заряд вместе с <math>\textstyle S'</math> движется, поле в фиксированной точке <math>\textstyle \mathbf{r}^*=\mathbf{r}+\mathbf{v}t</math> неподвижной системы отсчёта <math>\textstyle S</math> изменяется. Поэтому для произвольного положения заряда необходимо везде подставить <math>\textstyle \mathbf{r}\mapsto \mathbf{r}^* -\mathbf{v}t</math> (звёздочку будем опускать). В частности:
  
Заметим, что "сплющивание" силы является эффектом второго порядка по скорости, поэтому при малых скоростях заряда <math>\textstyle \mathbf{v}</math> для электрической составляющей силы приближённо справедлив закон Кулона, а магнитная составляющая имеет первый порядок по скорости:
+
:<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = Q\gamma\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{v}t}{\bigl\{(\mathbf{r}-\mathbf{v}t)^2+\gamma^2 (\mathbf{v}\,(\mathbf{r}-\mathbf{v}t))^2\bigr\}^{3/2}}.</math></center>
  
:<center><math>\mathbf{E} \approx \frac{Q}{r^3}\,\mathbf{r},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B} \approx \frac{Q[\mathbf{v}\times\mathbf{r}]}{r^3}.</math></center>
+
Производную электрического поля по времени можно вычислить следующим образом (по <math>\textstyle i</math> сумма от 1 до 3):
 +
<center>[[File:charge_move.png]]</center>
 +
Используя это соотношение, найдём ротор магнитного поля ():
  
Действие магнитного поля на двигающийся пробный заряд зависит от его скорости <math>\textstyle \mathbf{u}</math> и, благодаря векторному произведению в силе Лоренца, всегда перпендикулярно к скорости и магнитному полю. Магнитная составляющая силы в данной точке пространства всегда меньше электрической, приближаясь к последней только при <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, <math>\textstyle \mathbf{u}</math> стремящимся к единице (скорости света).
+
:<center><math>\nabla\times \mathbf{B} = \nabla\times [\mathbf{v}\times\mathbf{E}] = \mathbf{v}(\nabla\mathbf{E})-(\mathbf{v}\nabla)\mathbf{E}.</math></center>
  
<math>\textstyle \bullet</math> Проинтегрируем электрическое поле по сфере, окружающей заряд:
+
Во втором равенстве применена формула "бац минус цаб". Воспользовавшись уравнением <math>\textstyle \nabla\mathbf{E}=4\pi\,Q\delta(\mathbf{r}-\mathbf{v}t)</math> и подставив вместо <math>\textstyle -(\mathbf{v}\nabla)\mathbf{E}</math> производную электрического поля по времени, получаем:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits_S \mathbf{E}d\mathbf{S} = Q \int\limits^{2\pi}_0\,d\varphi \int\limits^{\pi}_{0} \frac{1-v^2}{\left(1-v^2\sin^2\theta\right)^{3/2}} \sin\theta d\theta = 4\pi\,Q. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> \nabla\times \mathbf{B} = 4\pi\mathbf{j}+\frac{\partial {\mathbf{E}}}{\partial t}, </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Интегрирование проводится по сферическим углам на фиксированном расстоянии <math>\textstyle r</math> от заряда (<math>\textstyle \lessdot</math> H). Таким образом, полный поток электрического поля через сферу не зависит от скорости заряда и определяется только величиной заряда. Несмотря на то, что вектор напряжённости электрического поля ''не обладает'' сферической симметрией, значение интеграла такое же, как и в случае неподвижного заряда.
+
где <math>\textstyle \mathbf{j}=Q\delta(\mathbf{r}-\mathbf{v}t)\,\mathbf{v}</math> называется ''плотностью тока'' точечного заряда.
 +
 
 +
Аналогично производной электрического поля, производная магнитного поля по времени равна:
 +
 
 +
:<center><math>-\frac{\partial {\mathbf{B}}}{\partial t}= (\mathbf{v}\nabla)\mathbf{B} = (\mathbf{v}\nabla)\,[\mathbf{v}\times \mathbf{E}].</math></center>
  
Этот же результат можно получить в дифференциальной форме, вычислив дивергенцию:
+
В силу тождества <math>\textstyle (\mathbf{v}\nabla)[\mathbf{v}\times\mathbf{r}]=0</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H) можно вынести <math>\textstyle [\mathbf{v}\times\mathbf{r}]</math> за оператор набла и получить (<math>\textstyle \lessdot</math> H):
  
:<center><math>\nabla \mathbf{E} = Q\nabla\left(\frac{\mathbf{r}}{r^3}\right) \cdot \frac{1-v^2}{\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right)^{3/2}} + \frac{Q}{r^3}\,(\mathbf{r}\nabla) \frac{1-v^2}{\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right)^{3/2}}.</math></center>
+
:<center><math>-\frac{\partial {\mathbf{B}}}{\partial t} = [\mathbf{v}\times\mathbf{r}] (\mathbf{v}\nabla)\, \frac{Q\,\gamma}{\bigl(r^2+\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2\bigr)^{3/2}}= \frac{3Q\gamma(1+\gamma^2v^2)[\mathbf{r}\times\mathbf{v}](\mathbf{v}\mathbf{r})}{\bigl(r^2+\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2\bigr)^{5/2}},</math></center>
  
Действие наблы в первом слагаемом равно <math>\textstyle 4\pi\delta(\mathbf{r})</math>. Для вычисления второго слагаемого заметим, что <math>\textstyle [\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2=\mathbf{v}^2-(\mathbf{n}\mathbf{v})^2</math>, поэтому (<math>\textstyle \lessdot</math> H):
+
где для краткости <math>\textstyle t=0</math>. Учитывая, что <math>\textstyle 1+\gamma^2v^2=\gamma^2</math>, в правой части получим ротор электрического поля (), поэтому:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> \nabla \frac{1}{\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right)^{3/2}} =\frac{3(\mathbf{n}\mathbf{v})\,[\mathbf{n}\times[\mathbf{v}\times\mathbf{n}]]}{r\,\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right)^{5/2}}. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> \nabla\times \mathbf{E} = -\frac{\partial {\mathbf{B}}}{\partial t}. </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Так как <math>\textstyle \mathbf{r}\cdot[\mathbf{n}\times[\mathbf{v}\times\mathbf{n}]]=0</math>, второе слагаемое в <math>\textstyle \nabla \mathbf{E}</math> равно нулю. Поэтому для двигающегося заряда <math>\textstyle Q</math> по-прежнему справедлив закон Гаусса в дифференциальной форме:
+
Если магнитное поле постоянно или отсутствует, ротор электрического поля равен нулю, как это было в электростатике. В общем же случае ротор <math>\textstyle \mathbf{E}</math> отличен от нуля.
  
:<center><math>\nabla\mathbf{E}=4\pi\,Q\,\delta(\mathbf{r}).</math></center>
+
Соотношения (),(),(),() являются дифференциальными уравнениями, которым удовлетворяют электрическое и магнитное поля движущегося с постоянной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math> заряда. Эти уравнения линейны, что является отражением ''принципа суперпозиции''. Поэтому, если в пространстве находится множество зарядов, движущихся с различными постоянными скоростями, результирующее электромагнитное поле будет равно векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом. В этом случае плотность заряда и плотность тока равны сумме <math>\textstyle \delta</math> &mdash; функций Дирака:
  
То, что коэффициент при дельта функции равен <math>\textstyle 4\pi</math>, следует из (). Стоит обратить внимание, что это уравнение оказывается более общим, чем закон Кулона в исходной записи. Оно имеет в качестве решения как сферически симметричный вектор <math>\textstyle \mathbf{E}</math> для <math>\textstyle \mathbf{v}=0</math>, так и сплюснутый "ёжик" для двигающегося заряда.
+
:<center><math>\rho(\mathbf{r},t) = \sum_a Q_a \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_a(t)),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{j}(\mathbf{r},t) = \sum_a Q_a \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_a(t)) \mathbf{v}_a,</math></center>
  
Полученные выражения для электрического и магнитного полей позволяют описать поля, создаваемые любой системой равномерно двигающихся зарядов, имеющих произвольные скорости и положения в пространстве. Для этого, используя принцип суперпозиции, необходимо сложить силовые воздействия от каждого заряда системы. В частности, электрическое поле по-прежнему удовлетворяет уравнению
+
где <math>\textstyle \mathbf{r}_a(t)</math> &mdash; положение <math>\textstyle a</math>-того заряда <math>\textstyle Q_a</math>, а <math>\textstyle \mathbf{v}_a</math> &mdash; его скорость. Выше предполагалось, что скорости всех зарядов постоянны. Соответственно, их траектории равны <math>\textstyle \mathbf{r}_a(t)=\mathbf{r}_{a0}+\mathbf{v}_a\,t</math>.
  
:<center><math>\nabla\mathbf{E}=4\pi\,\rho(\mathbf{r}),</math></center>
+
Так же, как это было сделано в электростатике, можно перейти к непрерывному пределу, усредняя точечные заряды в некотором небольшом объёме (если эти заряды расположены достаточно близко). Тогда плотность заряда <math>\textstyle \rho=\rho(\mathbf{r},t)</math> будет "гладкой" функцией координат. Аналогично гладкой становится векторная функция, определяющая плотность тока зарядов <math>\textstyle \mathbf{j}(\mathbf{r},t)=\rho\mathbf{v}</math>, где <math>\textstyle \mathbf{v}</math> &mdash; средняя скорость движения зарядов в объёме.
  
где <math>\textstyle \rho(\mathbf{r})</math> &mdash; плотность зарядов, равномерно двигающихся с различными скоростями.
+
----
 +
{| width="100%" 
 +
| width="40%"|[[Закон Кулона]] <<  
 +
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5])
 +
| width="40%" align="right"| >> [[Уравнения Максвелла]]
 +
|}
 +
----
 +
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 18:50, 2 июля 2013

Закон Кулона << Оглавление (Глава 5) >> Уравнения Максвелла


Пусть точечный заряд находится в начале системы отсчёта . Сила, с которой он действует на "пробный" заряд в системе , равна:

Kulon.png

Найдём, как будет выглядеть это же взаимодействие в "неподвижной" системе отсчёта , мимо которой система движется с постоянной скоростью . Выпишем ещё раз законы преобразования различных величин. Базовыми являются преобразования Лоренца (стр. \pageref{lorenz_vec0}):

(EQN)

где и . Из них непосредственно следует закон сложения скоростей:

(EQN)

Кроме этого, в третьей главе (стр. \pageref{lorenz_force}) был получен закон преобразования силы , который мы запишем в обратном виде (слева сила в системе , а справа — в системе ):

(EQN)

Рассмотрим момент времени (когда начала систем совпадают). В этом случае из преобразований Лоренца () следует ( H):

(EQN)

Умножая при на (), приходим к соотношению ( H):

Подставим в правую часть преобразования () силу Кулона для неподвижного заряда в системе () и выражения для , , :

При переходе ко второму равенству учтено, что .

Приводя к общему знаменателю и выражая через при помощи (), окончательно находим силу, действующую на в "неподвижной" системе :

(EQN)

Если бы кулоновская сила в () была регуляризована (стр.\pageref{kulon_a}), то в знаменателе дополнительно появилось бы слагаемое .

Обратим внимание, что при выводе () мы использовали постулат инвариантности заряда частицы. Аналогично инвариантности массы, мы считаем, что заряд — это собственная характеристика объекта, не зависящая от его скорости. Другими словами:

Выражение для силы () разбивается на два слагаемых, второе из которых зависит от скорости пробного заряда . Напомним, что в системе , связанной с зарядом , сила действия на пробный заряд не зависела от его скорости. Однако, если заряд, создающий поле, движется, теория относительности приводит к тому, что должна появиться ещё одна компонента силового воздействия, зависящая не только от положения пробного заряда, но и от его скорости. Её удобно выделить в виде отдельного поля. В результате получается сила Лоренца:

где введены электрическое и магнитное поля:

(EQN)

Подчеркнём, что появление магнитного поля (а точнее, силового воздействия , зависящего от скорости пробной частицы) — это чисто релятивистский эффект, возникающий благодаря преобразованию силы между двумя системами отсчёта. Как мы увидим чуть позже, уравнения Максвелла — это "лишь" закон Кулона плюс преобразования Лоренца! Магнит, притягивающий металл, является самым первым известным человечеству релятивистским эффектом (конечно, после видимого света).

Выражение для напряжённости электрического поля может быть записано следующим образом:

(EQN)

где , а — угол между радиус-вектором и скоростью.

Изучим подробнее характер электрического и магнитного полей, создаваемых движущимся зарядом. На одном и том же расстоянии эти поля достигают минимального значения в точках, находящихся на линии движения заряда , когда в (), и максимального на плоскости, перпендикулярной к скорости и проходящей через заряд . Например, для электрического поля:

"Густота" линий напряженности символизирует величину поля, поэтому электрическое поле движущегося заряда выглядит примерно так, как изображено на левом рисунке:

Kulon2.png

Образно говоря, силовые линии "сплющиваются", прижимаясь к плоскости, перпендикулярной скорости заряда .

На правом рисунке изображены силовые линии магнитного поля. Так как равно векторному произведению скорости на электрическое поле , то магнитные силовые линии оказываются замкнутыми (см. правило штопора, стр. \pageref{m_vectors}). В отличие от электрической составляющей силы, для которой линии напряжённости начинаются на заряде, магнитное поле не имеет зарядов. Это кинематический эффект, родственный замедлению времени, аберрации и т.п.

В книге принята система единиц, в которой . Для "восстановления" константы мы должны умножить величины, имеющие размерность времени в некоторой степени, на в той же степени. При применении этого правила сила делится на . Чтобы при этом нерелятивистский закон Кулона не изменился, заряд необходимо разделить на , поэтому:

Учитывая, что для скорости , сила Лоренца и связь магнитного и электрического полей с восстановленной константой имеют вид:

Дальше мы будем по-прежнему использовать систему , считая, что восстановление в любой формуле не составит для Читателя труда.

В первом разделе при помощи закона Кулона для неподвижного заряда и принципа суперпозиции мы получили уравнения электростатики (), стр.\pageref{electrostatic}, для электрического поля. Выясним, каким дифференциальным уравнениям удовлетворяют электрическое и магнитное поля движущегося заряда.

Проведя регуляризацию, вычислим ( H) дивергенцию от электрического поля движущегося заряда:

где введена функция:

При , если , функция равна нулю. При , она стремится к бесконечности. Убедимся, что в этом пределе не зависит от скорости и равна -функции Дирака. Проинтегрируем электрическое поле по сфере, окружающей заряд ():

Интегрирование проводится по сферическим углам на фиксированном расстоянии от заряда. Ось направлена вдоль скорости. Интеграл по углу даёт множитель . В интеграле по сделаем замену :

Первообразная интеграла проверяется прямым дифференцированием. Таким образом, поток через сферу, окружающую заряд, при равен . Следовательно, для движущегося заряда по-прежнему справедливо электростатическое уравнение:

(EQN)

Мы видим, что, несмотря на то, что вектор напряжённости электрического поля не обладает сферической симметрией, дивергенция имеет такое же сингулярное значение, как и в случае неподвижного заряда.

Найдём теперь дивергенцию от магнитного поля:

Так как , ротор электрического поля равен:

(EQN)

Так как для смешанного произведения , то дивергенция магнитного поля равна нулю во всём пространстве, включая положение электрического заряда:

(EQN)

Выше мы выбрали момент времени , когда заряд находился в началах систем и . Так как заряд вместе с движется, поле в фиксированной точке неподвижной системы отсчёта изменяется. Поэтому для произвольного положения заряда необходимо везде подставить (звёздочку будем опускать). В частности:

Производную электрического поля по времени можно вычислить следующим образом (по сумма от 1 до 3):

Charge move.png

Используя это соотношение, найдём ротор магнитного поля ():

Во втором равенстве применена формула "бац минус цаб". Воспользовавшись уравнением и подставив вместо производную электрического поля по времени, получаем:

(EQN)

где называется плотностью тока точечного заряда.

Аналогично производной электрического поля, производная магнитного поля по времени равна:

В силу тождества ( H) можно вынести за оператор набла и получить ( H):

где для краткости . Учитывая, что , в правой части получим ротор электрического поля (), поэтому:

(EQN)

Если магнитное поле постоянно или отсутствует, ротор электрического поля равен нулю, как это было в электростатике. В общем же случае ротор отличен от нуля.

Соотношения (),(),(),() являются дифференциальными уравнениями, которым удовлетворяют электрическое и магнитное поля движущегося с постоянной скоростью заряда. Эти уравнения линейны, что является отражением принципа суперпозиции. Поэтому, если в пространстве находится множество зарядов, движущихся с различными постоянными скоростями, результирующее электромагнитное поле будет равно векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом. В этом случае плотность заряда и плотность тока равны сумме — функций Дирака:

где — положение -того заряда , а — его скорость. Выше предполагалось, что скорости всех зарядов постоянны. Соответственно, их траектории равны .

Так же, как это было сделано в электростатике, можно перейти к непрерывному пределу, усредняя точечные заряды в некотором небольшом объёме (если эти заряды расположены достаточно близко). Тогда плотность заряда будет "гладкой" функцией координат. Аналогично гладкой становится векторная функция, определяющая плотность тока зарядов , где — средняя скорость движения зарядов в объёме.


Закон Кулона << Оглавление (Глава 5) >> Уравнения Максвелла

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии