Поле равномерно двигающегося заряда

Закон Кулона <<	Оглавление (Глава 5)	>> Уравнения Максвелла

---

$\textstyle \bullet$ Пусть точечный заряд $\textstyle Q$ находится в начале системы отсчёта $\textstyle S'$. Сила, с которой он действует на "пробный" заряд $\textstyle q$ в системе $\textstyle S'$, равна: \parbox{7cm}{

} \parbox{8cm}{

$\mathbf {F} '={\frac {qQ}{r'^{3}}}\,\mathbf {r} '.$

(EQN)

} \\ Найдём, как будет выглядеть это же взаимодействие в "неподвижной" системе отсчёта $\textstyle S$, мимо которой система $\textstyle S'$ движется с постоянной скоростью $\textstyle \mathbf {v}$. Выпишем ещё раз законы преобразования различных величин. Базовыми являются преобразования Лоренца (стр. \pageref{lorenz_vec0}):

$t'=\gamma \,(t-{\mathbf {v} }{\mathbf {r} }),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {r} }'={\mathbf {r} }-\gamma {\mathbf {v} }t+\Gamma \,{\mathbf {v} }({\mathbf {v} }{\mathbf {r} }),$

(EQN)

где $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}$ и $\textstyle \Gamma =\gamma ^{2}/(\gamma +1)=(\gamma -1)/v^{2}$. Из них непосредственно следует закон сложения скоростей:

$\mathbf {u} '={\frac {{\mathbf {u} }-\gamma {\mathbf {v} }+\Gamma \,{\mathbf {v} }({\mathbf {v} }{\mathbf {u} })}{\gamma (1-{\mathbf {v} }{\mathbf {u} })}},$

(EQN)

Кроме этого, в третьей главе (стр. \pageref{lorenz_force}) был получен закон преобразования силы $\textstyle \mathbf {F} =d\mathbf {p} /dt$, который мы запишем в обратном виде (слева сила в системе $\textstyle S$, а справа — в системе $\textstyle S'$):

${\frac {\mathbf {F} }{\gamma \,(1-\mathbf {v} \mathbf {u} )}}\,={\mathbf {F} }'+\gamma {\mathbf {v} }(\mathbf {u} '\mathbf {F} ')+\Gamma \,{\mathbf {v} }({\mathbf {v} }\,{\mathbf {F} }').$

(EQN)

Рассмотрим момент времени $\textstyle t=0$ (когда начала систем совпадают). В этом случае из преобразований Лоренца () следует ($\textstyle \lessdot$ H):

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} +\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {r} '^{2}=\mathbf {r} ^{2}+\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {r} )^{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {v} \mathbf {r} '=\gamma (\mathbf {v} \mathbf {r} ).$

(EQN)

Умножая $\textstyle \mathbf {r} '$ при $\textstyle t=0$ на $\textstyle \mathbf {u} '$ (), приходим к соотношению ($\textstyle \lessdot$ H):

$\mathbf {u} '\mathbf {r} '={\frac {\mathbf {u} \mathbf {r} }{\gamma \,(1-\mathbf {v} \mathbf {u} )}}-\gamma (\mathbf {v} \mathbf {r} ).$

Подставим в правую часть преобразования () силу Кулона для неподвижного заряда $\textstyle \mathbf {F'}$ в системе $\textstyle S'$ () и выражения для $\textstyle \mathbf {r} '$, $\textstyle \mathbf {u} '\mathbf {r} '$, $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {r} '$:

${\frac {\mathbf {F} }{\gamma \,(1-\mathbf {v} \mathbf {u} )}}={\frac {qQ}{r'^{3}}}\left\{\mathbf {r} '+\gamma \mathbf {v} (\mathbf {u} '\mathbf {r} ')+\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} ')\right\}={\frac {qQ}{r'^{3}}}\left\{\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {u} \mathbf {r} )}{1-\mathbf {v} \mathbf {u} }}\right\}.$

При переходе ко второму равенству учтено, что $\textstyle (\gamma +1)\Gamma =\gamma ^{2}$.

Приводя к общему знаменателю и выражая $\textstyle r'={\sqrt {\mathbf {r} '^{2}}}$ через $\textstyle r={\sqrt {\mathbf {r} ^{2}}}$ при помощи (), окончательно находим силу, действующую на $\textstyle q$ в "неподвижной" системе $\textstyle S$:

$\mathbf {F} ={\frac {qQ\,\gamma }{{\bigl (}r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {r} )^{2}{\bigr )}^{3/2}}}\,{\bigl (}\mathbf {r} +[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]]{\bigr )}.$

(EQN)

Если бы кулоновская сила в () была регуляризована (стр.\pageref{kulon_a}), то в знаменателе дополнительно появилось бы слагаемое $\textstyle +a^{2}$.

Обратим внимание, что при выводе () мы использовали постулат инвариантности заряда частицы. Аналогично инвариантности массы, мы считаем, что заряд — это собственная характеристика объекта, не зависящая от его скорости. Другими словами:

$Q'=Q.$

Выражение для силы () разбивается на два слагаемых, второе из которых зависит от скорости пробного заряда $\textstyle \mathbf {u}$. Напомним, что в системе $\textstyle S'$, связанной с зарядом $\textstyle Q$, сила действия на пробный заряд не зависела от его скорости. Однако, если заряд, создающий поле, движется, теория относительности приводит к тому, что должна появиться ещё одна компонента силового воздействия, зависящая не только от положения пробного заряда, но и от его скорости. Её удобно выделить в виде отдельного поля. В результате получается сила Лоренца:

$\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ],$

где введены электрическое и магнитное поля:

$\mathbf {E} ={\frac {Q\,\gamma \,\mathbf {r} }{{\bigl (}r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {r} )^{2}{\bigr )}^{3/2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} =[\mathbf {v} \times \mathbf {E} ].$

(EQN)

Подчеркнём, что появление магнитного поля $\textstyle \mathbf {B}$ (а точнее, силового воздействия $\textstyle q[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$, зависящего от скорости пробной частицы) — это чисто релятивистский эффект, возникающий благодаря преобразованию силы между двумя системами отсчёта. Как мы увидим чуть позже, уравнения Максвелла — это "лишь" закон Кулона плюс преобразования Лоренца! Магнит, притягивающий металл, является самым первым известным человечеству релятивистским эффектом (конечно, после видимого света).

Выражение для напряжённости электрического поля может быть записано следующим образом:

$\mathbf {E} ={\frac {Q\,\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\frac {\gamma }{(1+\gamma ^{2}v^{2}\cos ^{2}\theta )^{3/2}}},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {r} =vr\cos \theta$, а $\textstyle \theta$ — угол между радиус-вектором и скоростью.

Изучим подробнее характер электрического и магнитного полей, создаваемых движущимся зарядом. На одном и том же расстоянии эти поля достигают минимального значения в точках, находящихся на линии движения заряда $\textstyle Q$, когда $\textstyle \theta =0$ в (), и максимального на плоскости, перпендикулярной к скорости и проходящей через заряд $\textstyle Q$. Например, для электрического поля:

$|\mathbf {E} _{min}|={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\,{\frac {Q}{r^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\mathbf {E} _{max}|=\gamma \,{\frac {Q}{r^{2}}}.$

"Густота" линий напряженности символизирует величину поля, поэтому электрическое поле движущегося заряда выглядит примерно так, как изображено на левом рисунке:

Образно говоря, силовые линии "сплющиваются", прижимаясь к плоскости, перпендикулярной скорости заряда $\textstyle \mathbf {v}$.

На правом рисунке изображены силовые линии магнитного поля. Так как $\textstyle \mathbf {B}$ равно векторному произведению скорости $\textstyle \mathbf {v}$ на электрическое поле $\textstyle \mathbf {E}$, то магнитные силовые линии оказываются замкнутыми (см. правило штопора, стр. \pageref{m_vectors}). В отличие от электрической составляющей силы, для которой линии напряжённости начинаются на заряде, магнитное поле не имеет зарядов. Это кинематический эффект, родственный замедлению времени, аберрации и т.п.

В книге принята система единиц, в которой $\textstyle c=1$. Для "восстановления" константы $\textstyle c$ мы должны умножить величины, имеющие размерность времени в некоторой степени, на $\textstyle c$ в той же степени. При применении этого правила сила делится на $\textstyle c^{2}$. Чтобы при этом нерелятивистский закон Кулона не изменился, заряд необходимо разделить на $\textstyle c$, поэтому:

$\mathbf {F} \mapsto {\frac {\mathbf {F} }{c^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Q\mapsto {\frac {Q}{c}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {E} \mapsto {\frac {\mathbf {E} }{c}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} \mapsto {\frac {\mathbf {B} }{c}}.$

Учитывая, что для скорости $\textstyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} /c$, сила Лоренца и связь магнитного и электрического полей с восстановленной константой $\textstyle c$ имеют вид:

$\mathbf {F} =q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\,[\mathbf {v} \times \mathbf {E} ].$

Дальше мы будем по-прежнему использовать систему $\textstyle c=1$, считая, что восстановление $\textstyle c$ в любой формуле не составит для Читателя труда.

$\textstyle \bullet$ В первом разделе при помощи закона Кулона для неподвижного заряда и принципа суперпозиции мы получили уравнения электростатики (), стр.\pageref{electrostatic}, для электрического поля. Выясним, каким дифференциальным уравнениям удовлетворяют электрическое и магнитное поля движущегося заряда.

Проведя регуляризацию, вычислим ($\textstyle \lessdot$ H) дивергенцию от электрического поля движущегося заряда:

$\nabla \mathbf {E} =\nabla {\frac {Q\,\gamma \,\mathbf {r} }{{\bigl (}r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {r} )^{2}+a^{2}{\bigr )}^{3/2}}}=4\pi \,Q\,\delta _{a}(\mathbf {r} ),$

где введена функция:

$\delta _{a}(\mathbf {r} )={\frac {3}{4\pi }}\,{\frac {\gamma \,a^{2}}{{\bigl (}r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {r} )^{2}+a^{2}{\bigr )}^{5/2}}}.$

При $\textstyle r\neq 0$, если $\textstyle a\to 0$, функция $\textstyle \delta _{a}$ равна нулю. При $\textstyle r=0$, $\textstyle a\to 0$ она стремится к бесконечности. Убедимся, что в этом пределе $\textstyle \delta _{a}$ не зависит от скорости и равна $\textstyle \delta$-функции Дирака. Проинтегрируем электрическое поле по сфере, окружающей заряд ($\textstyle |d\mathbf {S} |=r^{2}\,d\Omega$):

$\int \limits _{S}\mathbf {E} d\mathbf {S} =\int \limits _{0}^{2\pi }\,d\phi \int \limits _{0}^{\pi }{\frac {Q\gamma }{\left(1+\gamma ^{2}v^{2}\cos ^{2}\theta \right)^{3/2}}}\sin \theta d\theta =4\pi \,Q.$

Интегрирование проводится по сферическим углам на фиксированном расстоянии $\textstyle r$ от заряда. Ось $\textstyle z$ направлена вдоль скорости. Интеграл по углу $\textstyle \phi$ даёт множитель $\textstyle 2\pi$. В интеграле по $\textstyle \theta$ сделаем замену $\textstyle z=\cos \theta$:

$\int \limits _{-1}^{1}{\frac {2\pi Q\gamma dz}{\left(1+\gamma ^{2}v^{2}z^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {2\pi Q\gamma \,z}{(1+\gamma ^{2}v^{2}z^{2})^{1/2}}}{\Bigr |}_{-1}^{+1}=4\pi Q.$

Первообразная интеграла проверяется прямым дифференцированием. Таким образом, поток через сферу, окружающую заряд, при $\textstyle a\to 0$ равен $\textstyle 4\pi Q$. Следовательно, для движущегося заряда по-прежнему справедливо электростатическое уравнение:

$\nabla \mathbf {E} =4\pi Q\delta (\mathbf {r} ).$

(EQN)

Мы видим, что, несмотря на то, что вектор напряжённости электрического поля не обладает сферической симметрией, дивергенция имеет такое же сингулярное значение, как и в случае неподвижного заряда.

Найдём теперь дивергенцию от магнитного поля:

$\nabla \mathbf {B} =\nabla \,[\mathbf {v} \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {v} \,[\nabla \times \mathbf {E} ].$

Так как $\textstyle \nabla \times \mathbf {r} =0$, ротор электрического поля равен:

$\nabla \times \mathbf {E} =-[\mathbf {r} \times \nabla ]{\frac {Q\,\gamma }{{\bigl (}r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {r} )^{2}{\bigr )}^{3/2}}}={\frac {3Q\gamma ^{3}[\mathbf {r} \times \mathbf {v} ](\mathbf {v} \mathbf {r} )}{{\bigl (}r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {r} )^{2}{\bigr )}^{5/2}}}.$

(EQN)

Так как для смешанного произведения $\textstyle \mathbf {v} \,[\mathbf {r} \times \mathbf {v} ]=[\mathbf {v} \times \mathbf {v} ]\mathbf {r} =0$, то дивергенция магнитного поля равна нулю во всём пространстве, включая положение электрического заряда:

$\nabla \mathbf {B} =0.$

(EQN)

Выше мы выбрали момент времени $\textstyle t'=t=0$, когда заряд находился в началах систем $\textstyle S$ и $\textstyle S'$. Так как заряд вместе с $\textstyle S'$ движется, поле в фиксированной точке $\textstyle \mathbf {r} ^{*}=\mathbf {r} +\mathbf {v} t$ неподвижной системы отсчёта $\textstyle S$ изменяется. Поэтому для произвольного положения заряда необходимо везде подставить $\textstyle \mathbf {r} \mapsto \mathbf {r} ^{*}-\mathbf {v} t$ (звёздочку будем опускать). В частности:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=Q\gamma \,{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {v} t}{{\bigl \{}(\mathbf {r} -\mathbf {v} t)^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {v} \,(\mathbf {r} -\mathbf {v} t))^{2}{\bigr \}}^{3/2}}}.$

Производную электрического поля по времени можно вычислить следующим образом (по $\textstyle i$ сумма от 1 до 3): \parbox{11cm}{

${\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial (r_{i}-v_{i}t)}}\,{\frac {\partial (r_{i}-v_{i}t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial r_{i}}}\,v_{i}=-(\mathbf {v} \nabla )\mathbf {E} .$

} \parbox{4cm}{

} Используя это соотношение, найдём ротор магнитного поля ():

$\nabla \times \mathbf {B} =\nabla \times [\mathbf {v} \times \mathbf {E} ]=\mathbf {v} (\nabla \mathbf {E} )-(\mathbf {v} \nabla )\mathbf {E} .$

Во втором равенстве применена формула "бац минус цаб". Воспользовавшись уравнением $\textstyle \nabla \mathbf {E} =4\pi \,Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {v} t)$ и подставив вместо $\textstyle -(\mathbf {v} \nabla )\mathbf {E}$ производную электрического поля по времени, получаем:

$\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {j} +{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {j} =Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {v} t)\,\mathbf {v}$ называется плотностью тока точечного заряда.

Аналогично производной электрического поля, производная магнитного поля по времени равна:

$-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=(\mathbf {v} \nabla )\mathbf {B} =(\mathbf {v} \nabla )\,[\mathbf {v} \times \mathbf {E} ].$

В силу тождества $\textstyle (\mathbf {v} \nabla )[\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]=0$ ($\textstyle \lessdot$ H) можно вынести $\textstyle [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]$ за оператор набла и получить ($\textstyle \lessdot$ H):

$-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=[\mathbf {v} \times \mathbf {r} ](\mathbf {v} \nabla )\,{\frac {Q\,\gamma }{{\bigl (}r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {r} )^{2}{\bigr )}^{3/2}}}={\frac {3Q\gamma (1+\gamma ^{2}v^{2})[\mathbf {r} \times \mathbf {v} ](\mathbf {v} \mathbf {r} )}{{\bigl (}r^{2}+\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {r} )^{2}{\bigr )}^{5/2}}},$

где для краткости $\textstyle t=0$. Учитывая, что $\textstyle 1+\gamma ^{2}v^{2}=\gamma ^{2}$, в правой части получим ротор электрического поля (), поэтому:

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}.$

(EQN)

Если магнитное поле постоянно или отсутствует, ротор электрического поля равен нулю, как это было в электростатике. В общем же случае ротор $\textstyle \mathbf {E}$ отличен от нуля.

Соотношения (),(),(),() являются дифференциальными уравнениями, которым удовлетворяют электрическое и магнитное поля движущегося с постоянной скоростью $\textstyle \mathbf {v}$ заряда. Эти уравнения линейны, что является отражением принципа суперпозиции. Поэтому, если в пространстве находится множество зарядов, движущихся с различными постоянными скоростями, результирующее электромагнитное поле будет равно векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом. В этом случае плотность заряда и плотность тока равны сумме $\textstyle \delta$ — функций Дирака:

$\rho (\mathbf {r} ,t)=\sum _{a}Q_{a}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{a}(t)),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{a}Q_{a}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{a}(t))\mathbf {v} _{a},$

где $\textstyle \mathbf {r} _{a}(t)$ — положение $\textstyle a$-того заряда $\textstyle Q_{a}$, а $\textstyle \mathbf {v} _{a}$ — его скорость. Выше предполагалось, что скорости всех зарядов постоянны. Соответственно, их траектории равны $\textstyle \mathbf {r} _{a}(t)=\mathbf {r} _{a0}+\mathbf {v} _{a}\,t$.

Так же, как это было сделано в электростатике, можно перейти к непрерывному пределу, усредняя точечные заряды в некотором небольшом объёме (если эти заряды расположены достаточно близко). Тогда плотность заряда $\textstyle \rho =\rho (\mathbf {r} ,t)$ будет "гладкой" функцией координат. Аналогично гладкой становится векторная функция, определяющая плотность тока зарядов $\textstyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\rho \mathbf {v}$, где $\textstyle \mathbf {v}$ — средняя скорость движения зарядов в объёме.

---

Закон Кулона <<	Оглавление (Глава 5)	>> Уравнения Максвелла

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии