Площадь под траекторией Винера

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Уравнение для x << Оглавление >> Интегралы Ито

Для данной реализации независимых случайных величин , имеющих нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией: , мы получаем конкретную выборочную траекторию винеровского процесса со значениями, заданными по оси времени с шагом  :

(EQN)

Предел соответствует непрерывному стохастическому процессу.

Если использовать при итерационном решении некоторого стохастического уравнения:

получится выборочный процесс, однозначно связанный с траекторией . В этом смысле выборочные решения всех уравнений с общим шумом являются деформацией единственной траектории .

Несмотря на изломанный вид функции , можно вычислить площадь под ней, проинтегрировав от нуля до :

Winer square.png

Интеграл, как и в обычном анализе, определим при помощи интегральной суммы:

(EQN)

где интервал разбит на отрезков длительностью . Значение процесса Винера в конце - того отрезка равно накопленной сумме случайных независимых гауссовых изменений на каждом отрезке.

Для других реализаций мы получим другое значение, поэтому и аналогичные интегралы являются случайными процессами.

Процесс в момент времени не может быть выражен через , так как зависит не только от значения , но и от формы траектории во все моменты времени. Тем не менее, для можно получить простое представление через скалярные случайные величины.

Перегруппируем интегральную сумму () следующим образом:

Сумма гауссовых чисел статистически эквивалентна одному, которое мы обозначили через . В результате появляется соответствующий множитель. Сумма ряда равна . Устремляя , , так что , получаем:

Таким образом, — это гауссовый случайный процесс с волатильностью, увеличивающейся со временем как , т.е. . Однако это ещё не всё. Величина не является независимой от винеровского блуждания . Действительно, равен сумме гауссовых чисел , которые мы использовали для вычисления интеграла :

Первая строка — это запись винеровского процесса в момент времени через накопленную сумму изменений на каждом интервале. Вторая — это интегральная сумма, полученная выше. В обоих случаях и — это гауссовы числа . Однако, они скоррелированы друг с другом:

Две скоррелированные гауссовы переменные можно представить в виде линейной комбинации (см. стр. \pageref{n_dim_gauss_n2}) независимых гауссовых чисел , :

Поэтому окончательно получаем:

(EQN)

Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например .

Полученное соотношение для имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть площадь вычисляется от до , и в этих точках и . Тогда в формуле () необходимо заменить на и добавить нижний прямоугольник площадью :

Winer square2.png

Площадь трапеции между и равна . Второе слагаемое, пропорциональное гауссовой величине , представляет собой площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через и .

Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель предсказания площади по значению начальной и конечной точки траектории . Ошибка подобной модели пропорциональна , и её дисперсия увеличивается со временем как .

Если известно значений процесса , идущих с шагом на интервале , то сумма площадей трапеций и отклонений от них даст суммарную площадь:

где учтено, что . При дисперсия поправки стремится к нулю.

Рассмотрим теперь два отрезка времени и . Площадь в момент времени равна площади в момент плюс площадь на участке длительностью :

Винеровский процесс в момент времени можно разбить на сумму двух независимых процессов , где и пропорциональны независимым накопленным изменениям на каждом отрезке времени (см. стр. \pageref{sect_autocor_fun}). Поэтому:

(EQN)

где площадь вычисляется под независимым от процессом от нуля до и имеет нулевую корреляцию с . В качестве упражнения ( H) стоит вывести это же соотношение непосредственно из ().

Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что — более гладкий процесс, чем . Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы и имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:

Воспользуемся записью () площади в два различных момента времени и . Так как независима от и , автоковариация легко вычисляется:

где учтено, что . Разделив ковариацию на волатильности и , получим автокорреляционный коэффициент для :

где . Аналогично проводятся вычисления для :

Корреляция для быстрее уменьшается с ростом по сравнению с корреляцией для . Графически это представлено ниже на левом графике:

Cor U W.png

Справа приведены выборочные траектории для и . Видно, что — существенно более гладкий процесс.

В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.

В качестве упражнения предлагается проверить справедливость для произвольной детерминированной функции и гауссового числа следующих соотношений:

(EQN)

Если процесс Винера , то коэффициент корреляции равен:

Например, для степенной функции :

В общем случае корреляционные коэффициенты зависят от времени . При вычислении средних от произведения произвольных моментов удобнее выразить через и независимую от неё случайную величину :

Теперь вычисление средних типа не составит труда.

Естественно, интеграл по времени можно вычислять не только от винеровского процесса, но и от любой случайной функции:

Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса , но и явная зависимость от времени: , как, например, в (). Функция в общем случае может быть произвольным случайным процессом.

Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по случае интеграл оказывается нормально распределённым. В более общем случае это не так.

Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции и интеграла по времени от . Запишем в символическом виде интегральную сумму:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Bigl< g_t(W_t)\cdot\int\limits^t_0 f_\tau(W_\tau)\, d\tau \Bigr> = \left< g_t(\varepsilon_1+...+\varepsilon_n) \Bigl[f_1(\varepsilon_1)+f_2(\varepsilon_1+\varepsilon_2)+...\Bigr]\, \Delta t \right>, }

где мы для краткости опустили внутри функций. Возьмём -тое слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией , необходимо сгруппировать в ней первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся — во второе:

Так так и — два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Bigl< g_t(W_t)\cdot\int\limits^t_0 f_\tau(W_\tau)\, d\tau \Bigr> = \int\limits^t_0 \Bigl<g_t\bigl(\varepsilon_a\sqrt{\tau}+\varepsilon_b\sqrt{t-\tau}\bigr)\cdot f_\tau\bigl(\varepsilon_a\sqrt{\tau}\bigr)\Bigr>\, d\tau. }
(EQN)

Например:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Bigl< W^2_t\cdot\int\limits^t_0 W^2_\tau\, d\tau \Bigr> = \int\limits^t_0 \Bigl(3\,\tau^2 + \tau\cdot(t-\tau)\Bigr)\, d\tau = \frac{7}{6}\,t^3.}

Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Bigl<\left(\int\limits^{t}_0 f_\tau(W_\tau)\,d\tau\right)^2\Bigr> = 2\int\limits^t_{0} dt_2 \int\limits^{t_2}_{0} dt_1 \Bigr<f_{t_1}\bigl(\varepsilon_1\sqrt{t_1}\bigr)f_{t_2}\bigl(\varepsilon_1\sqrt{t_1}+\varepsilon_2\sqrt{t_2-t_1}\bigr)\Bigr>}

и его обобщение для момента того порядка ():

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Bigl<\left(\int\limits^{t}_{t_0} f_\tau(W_\tau)\,d\tau\right)^k\Bigr> = k! \prod^k_{j=1} \int\limits^{t_{j+1}}_{t_0} dt_j \, \Bigr< f_{t_j}\bigl(\sum^{j}_{i=1}\varepsilon_i\sqrt{t_i-t_{i-1}}\bigr) \Bigr>.}

Другие полезные соотношения можно найти в приложении "Стохастический справочник". Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.



Уравнение для x << Оглавление >> Интегралы Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения