Площадь под траекторией Винера — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 29: Строка 29:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> S_t= \sum^n_{k=1} W_{k-1}\Delta t= \left[\varepsilon_1 + (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)+...+(\varepsilon_1 +...+ \varepsilon_{n-1})\right](\Delta t)^{3/2}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> S_t= \sum^n_{k=1} W_{k-1}\Delta t= \left[\varepsilon_1 + (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)+...+(\varepsilon_1 +...+ \varepsilon_{n-1})\right](\Delta t)^{3/2}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.2)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.3)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 62: Строка 62:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> W_t = \varepsilon\, \sqrt{t},\;\;\;\;\;\;\;\;S_t = (\sqrt{3}\,\varepsilon + \eta)\,\frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}} = \frac{W_t}{2}\,t + \eta \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> W_t = \varepsilon\, \sqrt{t},\;\;\;\;\;\;\;\;S_t = (\sqrt{3}\,\varepsilon + \eta)\,\frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}} = \frac{W_t}{2}\,t + \eta \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.3)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.4)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 122: Строка 122:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_0 f(s) W_s\,ds = \sigma(t)\,\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2(t) = \int\limits^t_0 \Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr]^2 \, ds. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_0 f(s) W_s\,ds = \sigma(t)\,\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2(t) = \int\limits^t_0 \Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr]^2 \, ds. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.5)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.6)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  

Текущая версия на 19:28, 15 марта 2010

Уравнение для x << Оглавление >> Интегралы Ито

Для данной реализации независимых случайных величин , имеющих нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией: , мы получаем конкретную выборочную траекторию винеровского процесса со значениями, заданными по оси времени с шагом  :

(5.1)

Предел соответствует непрерывному стохастическому процессу.

Если использовать при итерационном решении некоторого стохастического уравнения:

получится выборочный процесс, однозначно связанный с траекторией . В этом смысле выборочные решения всех уравнений с общим шумом являются деформацией единственной траектории .

Несмотря на изломанный вид функции , можно вычислить площадь под ней, проинтегрировав от нуля до :

Winer square.png

Интеграл, как и в обычном анализе, определим при помощи интегральной суммы:

(5.3)

где интервал разбит на отрезков длительностью . Значение процесса Винера в конце - того отрезка равно накопленной сумме случайных независимых гауссовых изменений на каждом отрезке.

Для других реализаций мы получим другое значение, поэтому и аналогичные интегралы являются случайными процессами.

Процесс в момент времени не может быть выражен через , так как зависит не только от значения , но и от формы траектории во все моменты времени. Тем не менее, для можно получить простое представление через скалярные случайные величины.

Перегруппируем интегральную сумму (5.3) следующим образом:

Сумма гауссовых чисел статистически эквивалентна одному, которое мы обозначили через . В результате появляется соответствующий множитель. Сумма ряда равна . Устремляя , , так что , получаем:

Таким образом, — это гауссовый случайный процесс с волатильностью, увеличивающейся со временем как , т.е. . Однако это ещё не всё. Величина не является независимой от винеровского блуждания . Действительно, равен сумме гауссовых чисел , которые мы использовали для вычисления интеграла :

Первая строка — это запись винеровского процесса в момент времени через накопленную сумму изменений на каждом интервале. Вторая — это интегральная сумма, полученная выше. В обоих случаях и — это гауссовы числа . Однако, они скоррелированы друг с другом:

Две скоррелированные гауссовы переменные можно представить в виде линейной комбинации (см. стр. \pageref{n_dim_gauss_n2}) независимых гауссовых чисел , :

Поэтому окончательно получаем:

(5.4)

Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например .

Полученное соотношение для имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть площадь вычисляется от до , и в этих точках и . Тогда в формуле (5.4) необходимо заменить на и добавить нижний прямоугольник площадью :

Winer square2.png

Площадь трапеции между и равна . Второе слагаемое, пропорциональное гауссовой величине , представляет собой площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через и .

Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель предсказания площади по значению начальной и конечной точки траектории . Ошибка подобной модели пропорциональна , и её дисперсия увеличивается со временем как .

Если известно значений процесса , идущих с шагом на интервале , то сумма площадей трапеций и отклонений от них даст суммарную площадь:

где учтено, что . При дисперсия поправки стремится к нулю.

Рассмотрим теперь два отрезка времени и . Площадь в момент времени равна площади в момент плюс площадь на участке длительностью :

Винеровский процесс в момент времени можно разбить на сумму двух независимых процессов , где и пропорциональны независимым накопленным изменениям на каждом отрезке времени (см. стр. \pageref{sect_autocor_fun}). Поэтому:

(5.5)

где площадь вычисляется под независимым от процессом от нуля до и имеет нулевую корреляцию с . В качестве упражнения ( H) стоит вывести это же соотношение непосредственно из (5.3).

Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что — более гладкий процесс, чем . Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы и имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:

Воспользуемся записью (5.5) площади в два различных момента времени и . Так как независима от и , автоковариация легко вычисляется:

где учтено, что . Разделив ковариацию на волатильности и , получим автокорреляционный коэффициент для :

где . Аналогично проводятся вычисления для :

Корреляция для быстрее уменьшается с ростом по сравнению с корреляцией для . Графически это представлено ниже на левом графике:

Cor U W.png

Справа приведены выборочные траектории для и . Видно, что — существенно более гладкий процесс.

В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.

В качестве упражнения предлагается проверить справедливость для произвольной детерминированной функции и гауссового числа следующих соотношений:

(5.6)

Если процесс Винера , то коэффициент корреляции равен:

Например, для степенной функции :

В общем случае корреляционные коэффициенты зависят от времени . При вычислении средних от произведения произвольных моментов удобнее выразить через и независимую от неё случайную величину :

Теперь вычисление средних типа не составит труда.

Естественно, интеграл по времени можно вычислять не только от винеровского процесса, но и от любой случайной функции:

Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса , но и явная зависимость от времени: , как, например, в (5.6). Функция в общем случае может быть произвольным случайным процессом.

Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по случае интеграл оказывается нормально распределённым. В более общем случае это не так.

Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции и интеграла по времени от . Запишем в символическом виде интегральную сумму:

Ito eq01.png

где мы для краткости опустили внутри функций. Возьмём -тое слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией , необходимо сгруппировать в ней первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся — во второе:

Так так и — два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:

Ito eq02.png

Например:

Ito eq03.png

Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла:

Ito eq04.png

и его обобщение для момента того порядка ():

Ito eq05.png

Другие полезные соотношения можно найти в приложении "Стохастический справочник". Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.



Уравнение для x << Оглавление >> Интегралы Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения