Площадь под траекторией Винера — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 9 промежуточных версий этого же участника)
Строка 10: Строка 10:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> W_n=W(t_n)=(\varepsilon_1+...+\varepsilon_n)\,\sqrt{\Delta t} =\varepsilon\,\sqrt{n\Delta t} = \varepsilon\,\sqrt{t}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> W_n=W(t_n)=(\varepsilon_1+...+\varepsilon_n)\,\sqrt{\Delta t} =\varepsilon\,\sqrt{n\Delta t} = \varepsilon\,\sqrt{t}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.1)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 21: Строка 21:
 
получится выборочный процесс, однозначно связанный с траекторией <math>\textstyle W_t</math>. В этом смысле ''выборочные'' решения всех уравнений с общим шумом <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math> являются деформацией ''единственной'' траектории <math>\textstyle W_t</math>.
 
получится выборочный процесс, однозначно связанный с траекторией <math>\textstyle W_t</math>. В этом смысле ''выборочные'' решения всех уравнений с общим шумом <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math> являются деформацией ''единственной'' траектории <math>\textstyle W_t</math>.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Несмотря на изломанный вид функции <math>\textstyle W_t=W(t)</math>, можно вычислить площадь под ней, проинтегрировав от нуля до <math>\textstyle t</math>: \parbox{8cm}{ <center> \includegraphics{pic/winer_square.eps}\\ } \parbox{7.5cm}{ \\
+
<math>\textstyle \bullet</math> Несмотря на изломанный вид функции <math>\textstyle W_t=W(t)</math>, можно вычислить площадь под ней, проинтегрировав от нуля до <math>\textstyle t</math>:  
  
{| width="100%"
+
<center> [[File:winer_square.png]]</center>
| width="90%" align="center"|<math> \;\;\;\;\;\;\;S_t= \int\limits^t_0 W_\tau\,d\tau. </math>
 
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
|}
 
 
 
} </center>
 
  
 
Интеграл, как и в обычном анализе, определим при помощи интегральной суммы:
 
Интеграл, как и в обычном анализе, определим при помощи интегральной суммы:
Строка 34: Строка 29:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> S_t= \sum^n_{k=1} W_{k-1}\Delta t= \left[\varepsilon_1 + (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)+...+(\varepsilon_1 +...+ \varepsilon_{n-1})\right](\Delta t)^{3/2}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> S_t= \sum^n_{k=1} W_{k-1}\Delta t= \left[\varepsilon_1 + (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)+...+(\varepsilon_1 +...+ \varepsilon_{n-1})\right](\Delta t)^{3/2}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.3)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 43: Строка 38:
 
Процесс <math>\textstyle S_t</math> в момент времени <math>\textstyle t</math> не может быть выражен через <math>\textstyle W_t</math>, так как зависит не только от значения <math>\textstyle W_t=W(t)</math>, но и от формы траектории во все моменты времени. Тем не менее, для <math>\textstyle S_t</math> можно получить простое представление через скалярные случайные величины.
 
Процесс <math>\textstyle S_t</math> в момент времени <math>\textstyle t</math> не может быть выражен через <math>\textstyle W_t</math>, так как зависит не только от значения <math>\textstyle W_t=W(t)</math>, но и от формы траектории во все моменты времени. Тем не менее, для <math>\textstyle S_t</math> можно получить простое представление через скалярные случайные величины.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Перегруппируем интегральную сумму () следующим образом:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Перегруппируем интегральную сумму (5.3) следующим образом:
  
 
:<center><math>\bigl[ (n-1)\cdot\varepsilon_1 +...+ 1\cdot\varepsilon_{n-1}\bigr]\, (\Delta t)^{3/2} = \eta_1 \sqrt{1^2+2^2+...+(n-1)^2}\, (\Delta t)^{3/2}.</math></center>
 
:<center><math>\bigl[ (n-1)\cdot\varepsilon_1 +...+ 1\cdot\varepsilon_{n-1}\bigr]\, (\Delta t)^{3/2} = \eta_1 \sqrt{1^2+2^2+...+(n-1)^2}\, (\Delta t)^{3/2}.</math></center>
Строка 67: Строка 62:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> W_t = \varepsilon\, \sqrt{t},\;\;\;\;\;\;\;\;S_t = (\sqrt{3}\,\varepsilon + \eta)\,\frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}} = \frac{W_t}{2}\,t + \eta \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> W_t = \varepsilon\, \sqrt{t},\;\;\;\;\;\;\;\;S_t = (\sqrt{3}\,\varepsilon + \eta)\,\frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}} = \frac{W_t}{2}\,t + \eta \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.4)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например <math>\textstyle \left\langle W^2_t\,S^2_t\right\rangle =5\,t^4/6</math>.
 
Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например <math>\textstyle \left\langle W^2_t\,S^2_t\right\rangle =5\,t^4/6</math>.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Полученное соотношение для <math>\textstyle S_t</math> имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть площадь вычисляется от <math>\textstyle t_0</math> до <math>\textstyle t</math>, и в этих точках <math>\textstyle W_0=W(t_0)</math> и <math>\textstyle W_t=W(t)</math>. Тогда в формуле () необходимо заменить <math>\textstyle W_t</math> на <math>\textstyle W_t-W_0</math> и добавить нижний прямоугольник площадью <math>\textstyle W_0\cdot(t-t_0)</math>: \parbox{10cm}{ \\
+
<math>\textstyle \bullet</math> Полученное соотношение для <math>\textstyle S_t</math> имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть площадь вычисляется от <math>\textstyle t_0</math> до <math>\textstyle t</math>, и в этих точках <math>\textstyle W_0=W(t_0)</math> и <math>\textstyle W_t=W(t)</math>. Тогда в формуле (5.4) необходимо заменить <math>\textstyle W_t</math> на <math>\textstyle W_t-W_0</math> и добавить нижний прямоугольник площадью <math>\textstyle W_0\cdot(t-t_0)</math>:  
  
:<center><math>S_t = \frac{W_0+W_t}{2}\,(t-t_0) + \eta\,\frac{(t-t_0)^{3/2}}{2\sqrt{3}}.</math></center>
+
<center>[[File:winer_square2.png]]</center>  
  
} \parbox{5cm}{ <center> \includegraphics{pic/winer_square2.eps}\\ } </center> Площадь трапеции между <math>\textstyle W_0</math> и <math>\textstyle W_t</math> равна <math>\textstyle (W_0+W_t)(t-t_0)/2</math>. Второе слагаемое, пропорциональное гауссовой величине <math>\textstyle \eta</math>, представляет собой площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через <math>\textstyle W_0</math> и <math>\textstyle W_t</math>.
+
Площадь трапеции между <math>\textstyle W_0</math> и <math>\textstyle W_t</math> равна <math>\textstyle (W_0+W_t)(t-t_0)/2</math>. Второе слагаемое, пропорциональное гауссовой величине <math>\textstyle \eta</math>, представляет собой площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через <math>\textstyle W_0</math> и <math>\textstyle W_t</math>.
  
 
Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель предсказания площади по значению начальной и конечной точки траектории <math>\textstyle S=f(W_0, W_t)</math>. Ошибка подобной модели пропорциональна <math>\textstyle \eta</math>, и её дисперсия увеличивается со временем как <math>\textstyle (t-t_0)^3</math>.
 
Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель предсказания площади по значению начальной и конечной точки траектории <math>\textstyle S=f(W_0, W_t)</math>. Ошибка подобной модели пропорциональна <math>\textstyle \eta</math>, и её дисперсия увеличивается со временем как <math>\textstyle (t-t_0)^3</math>.
Строка 94: Строка 89:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> S_{t+\tau}=S_t + W_t\cdot\tau + \tilde{S}_\tau, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> S_{t+\tau}=S_t + W_t\cdot\tau + \tilde{S}_\tau, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.5)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
где площадь <math>\textstyle \tilde{S}_\tau</math> вычисляется под независимым от <math>\textstyle W_t</math> процессом <math>\textstyle \tilde{W}_\tau</math> от нуля до <math>\textstyle \tau</math> и имеет нулевую корреляцию с <math>\textstyle S_t</math>. В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math> H) стоит вывести это же соотношение непосредственно из ().
+
где площадь <math>\textstyle \tilde{S}_\tau</math> вычисляется под независимым от <math>\textstyle W_t</math> процессом <math>\textstyle \tilde{W}_\tau</math> от нуля до <math>\textstyle \tau</math> и имеет нулевую корреляцию с <math>\textstyle S_t</math>. В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math> H) стоит вывести это же соотношение непосредственно из (5.3).
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что <math>\textstyle S_t</math> &mdash; более гладкий процесс, чем <math>\textstyle W_t</math>. Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы <math>\textstyle W_t</math> и <math>\textstyle S_t</math> имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что <math>\textstyle S_t</math> &mdash; более гладкий процесс, чем <math>\textstyle W_t</math>. Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы <math>\textstyle W_t</math> и <math>\textstyle S_t</math> имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:
Строка 103: Строка 98:
 
:<center><math>\left\langle W^2_t\right\rangle =\left\langle \varepsilon^2\right\rangle \, t = t,\;\;\;\;\;\;\;\left\langle S^2_t\right\rangle =\left\langle \eta^2\right\rangle \,\frac{t^{3}}{3}=\frac{t^{3}}{3}.</math></center>
 
:<center><math>\left\langle W^2_t\right\rangle =\left\langle \varepsilon^2\right\rangle \, t = t,\;\;\;\;\;\;\;\left\langle S^2_t\right\rangle =\left\langle \eta^2\right\rangle \,\frac{t^{3}}{3}=\frac{t^{3}}{3}.</math></center>
  
Воспользуемся записью () площади <math>\textstyle S_t</math> в два различных момента времени <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle t+\tau</math>. Так как <math>\textstyle \tilde{S}_\tau</math> независима от <math>\textstyle S_t</math> и <math>\textstyle W_t</math>, автоковариация легко вычисляется:
+
Воспользуемся записью (5.5) площади <math>\textstyle S_t</math> в два различных момента времени <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle t+\tau</math>. Так как <math>\textstyle \tilde{S}_\tau</math> независима от <math>\textstyle S_t</math> и <math>\textstyle W_t</math>, автоковариация легко вычисляется:
  
 
:<center><math>\left\langle S_{t}\,S_{t+\tau}\right\rangle =\left\langle S^2_{t}\right\rangle + \left\langle S_{t}\,W_t\right\rangle \,\tau = \frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\,\tau,</math></center>
 
:<center><math>\left\langle S_{t}\,S_{t+\tau}\right\rangle =\left\langle S^2_{t}\right\rangle + \left\langle S_{t}\,W_t\right\rangle \,\tau = \frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\,\tau,</math></center>
Строка 115: Строка 110:
 
:<center><math>\rho(W_t, W_{t+\tau})=\frac{\left\langle W_{t}\,W_{t+\tau}\right\rangle }{\sqrt{\left\langle W^2_{t}\right\rangle \left\langle W^2_{t+\tau}\right\rangle }}=\frac{1}{\sqrt{1+T}} \approx 1-T+...</math></center>
 
:<center><math>\rho(W_t, W_{t+\tau})=\frac{\left\langle W_{t}\,W_{t+\tau}\right\rangle }{\sqrt{\left\langle W^2_{t}\right\rangle \left\langle W^2_{t+\tau}\right\rangle }}=\frac{1}{\sqrt{1+T}} \approx 1-T+...</math></center>
  
Корреляция для <math>\textstyle W_t</math> быстрее уменьшается с ростом <math>\textstyle T</math> по сравнению с корреляцией для <math>\textstyle S_t</math>. Графически это представлено ниже на левом графике: \includegraphics{pic/cor_U_W.eps}\\ Справа приведены выборочные траектории для <math>\textstyle W_t</math> и <math>\textstyle S_t</math>. Видно, что <math>\textstyle S_t</math> &mdash; существенно более гладкий процесс.
+
Корреляция для <math>\textstyle W_t</math> быстрее уменьшается с ростом <math>\textstyle T</math> по сравнению с корреляцией для <math>\textstyle S_t</math>. Графически это представлено ниже на левом графике:  
 +
 
 +
<center>[[File:cor_U_W.png]]</center>
 +
 
 +
Справа приведены выборочные траектории для <math>\textstyle W_t</math> и <math>\textstyle S_t</math>. Видно, что <math>\textstyle S_t</math> &mdash; существенно более гладкий процесс.
  
 
В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.
 
В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.
Строка 123: Строка 122:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_0 f(s) W_s\,ds = \sigma(t)\,\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2(t) = \int\limits^t_0 \Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr]^2 \, ds. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \int\limits^t_0 f(s) W_s\,ds = \sigma(t)\,\eta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2(t) = \int\limits^t_0 \Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr]^2 \, ds. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.6)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
Если процесс Винера <math>\textstyle W_t=\varepsilon \sqrt{t}</math>, то коэффициент корреляции равен:
 
Если процесс Винера <math>\textstyle W_t=\varepsilon \sqrt{t}</math>, то коэффициент корреляции равен:
  
:<center><math>\rho \;=\; \left\langle \varepsilon\,\eta\right\rangle \;=\; \frac{1}{\sigma(t)\,\sqrt{t}}\cdot\int\limits^t_0 \Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr] \, ds.\\</math></center>
+
:<center><math>
 +
\rho \;=\; \left\langle \varepsilon\,\eta\right\rangle \;=\;  
 +
\frac{1}{\sigma(t)\,\sqrt{t}}\cdot\int\limits^t_0  
 +
\Bigl[\int\limits^t_s f(\tau)\,d\tau\Bigr] \, ds.</math></center>
  
 
Например, для степенной функции <math>\textstyle f(t)=t^n</math>:
 
Например, для степенной функции <math>\textstyle f(t)=t^n</math>:
Строка 144: Строка 146:
 
:<center><math>I_t = \int\limits^t_{t_0} f_\tau(W_\tau)\, d\tau</math></center>
 
:<center><math>I_t = \int\limits^t_{t_0} f_\tau(W_\tau)\, d\tau</math></center>
  
Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса <math>\textstyle W</math>, но и явная зависимость от времени: <math>\textstyle f_t(W_t)=f(t,\,W_t)</math>, как, например, в (). Функция <math>\textstyle f</math> в общем случае может быть произвольным случайным процессом.
+
Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса <math>\textstyle W</math>, но и явная зависимость от времени: <math>\textstyle f_t(W_t)=f(t,\,W_t)</math>, как, например, в (5.6). Функция <math>\textstyle f</math> в общем случае может быть произвольным случайным процессом.
  
 
Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по <math>\textstyle W_t</math> случае интеграл оказывается нормально распределённым. В более общем случае это не так.
 
Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по <math>\textstyle W_t</math> случае интеграл оказывается нормально распределённым. В более общем случае это не так.
Строка 150: Строка 152:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции <math>\textstyle g_t(W_t)</math> и интеграла по времени от <math>\textstyle f_t(W_t)</math>. Запишем в символическом виде интегральную сумму:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции <math>\textstyle g_t(W_t)</math> и интеграла по времени от <math>\textstyle f_t(W_t)</math>. Запишем в символическом виде интегральную сумму:
  
:<center><math>\Bigl< g_t(W_t)\cdot\int\limits^t_0 f_\tau(W_\tau)\, d\tau \Bigr> = \left\langle g_t(\varepsilon_1+...+\varepsilon_n) \Bigl[f_1(\varepsilon_1)+f_2(\varepsilon_1+\varepsilon_2)+...\Bigr]\, \Delta t \right\rangle ,</math></center>
+
<center>
 +
[[File:ito_eq01.png]]
 +
</center>
  
 
где мы для краткости опустили <math>\textstyle \sqrt{\Delta t}</math> внутри функций. Возьмём <math>\textstyle k</math>-тое слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией <math>\textstyle g</math>, необходимо сгруппировать в ней <math>\textstyle k</math> первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся <math>\textstyle n-k</math> &mdash; во второе:
 
где мы для краткости опустили <math>\textstyle \sqrt{\Delta t}</math> внутри функций. Возьмём <math>\textstyle k</math>-тое слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией <math>\textstyle g</math>, необходимо сгруппировать в ней <math>\textstyle k</math> первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся <math>\textstyle n-k</math> &mdash; во второе:
Строка 158: Строка 162:
 
Так так <math>\textstyle \varepsilon_a</math> и <math>\textstyle \varepsilon_b</math> &mdash; два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:
 
Так так <math>\textstyle \varepsilon_a</math> и <math>\textstyle \varepsilon_b</math> &mdash; два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:
  
{| width="100%"
+
<center>
| width="90%" align="center"|<math> \Bigl< g_t(W_t)\cdot\int\limits^t_0 f_\tau(W_\tau)\, d\tau \Bigr> = \int\limits^t_0 \Bigl<g_t\bigl(\varepsilon_a\sqrt{\tau}+\varepsilon_b\sqrt{t-\tau}\bigr)\cdot f_\tau\bigl(\varepsilon_a\sqrt{\tau}\bigr)\Bigr>\, d\tau. </math>
+
[[File:ito_eq02.png]]
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
</center>
|}
 
  
 
Например:
 
Например:
  
:<center><math>\Bigl< W^2_t\cdot\int\limits^t_0 W^2_\tau\, d\tau \Bigr> = \int\limits^t_0 \Bigl(3\,\tau^2 + \tau\cdot(t-\tau)\Bigr)\, d\tau = \frac{7}{6}\,t^3.</math></center>
+
<center>
 +
[[File:ito_eq03.png]]
 +
</center>
  
 
Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла:
 
Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла:
  
:<center><math>\Bigl<\left(\int\limits^{t}_0 f_\tau(W_\tau)\,d\tau\right)^2\Bigr> = 2\int\limits^t_{0} dt_2 \int\limits^{t_2}_{0} dt_1 \Bigr<f_{t_1}\bigl(\varepsilon_1\sqrt{t_1}\bigr)f_{t_2}\bigl(\varepsilon_1\sqrt{t_1}+\varepsilon_2\sqrt{t_2-t_1}\bigr)\Bigr></math></center>
+
<center>
 +
[[File:ito_eq04.png]]
 +
</center>
  
 
и его обобщение для момента <math>\textstyle k-</math>того порядка (<math>\textstyle t_{k+1}=t</math>):
 
и его обобщение для момента <math>\textstyle k-</math>того порядка (<math>\textstyle t_{k+1}=t</math>):
  
:<center><math>\Bigl<\left(\int\limits^{t}_{t_0} f_\tau(W_\tau)\,d\tau\right)^k\Bigr> = k! \prod^k_{j=1} \int\limits^{t_{j+1}}_{t_0} dt_j \, \Bigr< f_{t_j}\bigl(\sum^{j}_{i=1}\varepsilon_i\sqrt{t_i-t_{i-1}}\bigr) \Bigr>.</math></center>
+
<center>
 +
[[File:ito_eq05.png]]
 +
</center>
  
 
Другие полезные соотношения можно найти в приложении "Стохастический справочник". Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.
 
Другие полезные соотношения можно найти в приложении "Стохастический справочник". Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.

Текущая версия на 19:28, 15 марта 2010

Уравнение для x << Оглавление >> Интегралы Ито

Для данной реализации независимых случайных величин , имеющих нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией: , мы получаем конкретную выборочную траекторию винеровского процесса со значениями, заданными по оси времени с шагом  :

(5.1)

Предел соответствует непрерывному стохастическому процессу.

Если использовать при итерационном решении некоторого стохастического уравнения:

получится выборочный процесс, однозначно связанный с траекторией . В этом смысле выборочные решения всех уравнений с общим шумом являются деформацией единственной траектории .

Несмотря на изломанный вид функции , можно вычислить площадь под ней, проинтегрировав от нуля до :

Winer square.png

Интеграл, как и в обычном анализе, определим при помощи интегральной суммы:

(5.3)

где интервал разбит на отрезков длительностью . Значение процесса Винера в конце - того отрезка равно накопленной сумме случайных независимых гауссовых изменений на каждом отрезке.

Для других реализаций мы получим другое значение, поэтому и аналогичные интегралы являются случайными процессами.

Процесс в момент времени не может быть выражен через , так как зависит не только от значения , но и от формы траектории во все моменты времени. Тем не менее, для можно получить простое представление через скалярные случайные величины.

Перегруппируем интегральную сумму (5.3) следующим образом:

Сумма гауссовых чисел статистически эквивалентна одному, которое мы обозначили через . В результате появляется соответствующий множитель. Сумма ряда равна . Устремляя , , так что , получаем:

Таким образом, — это гауссовый случайный процесс с волатильностью, увеличивающейся со временем как , т.е. . Однако это ещё не всё. Величина не является независимой от винеровского блуждания . Действительно, равен сумме гауссовых чисел , которые мы использовали для вычисления интеграла :

Первая строка — это запись винеровского процесса в момент времени через накопленную сумму изменений на каждом интервале. Вторая — это интегральная сумма, полученная выше. В обоих случаях и — это гауссовы числа . Однако, они скоррелированы друг с другом:

Две скоррелированные гауссовы переменные можно представить в виде линейной комбинации (см. стр. \pageref{n_dim_gauss_n2}) независимых гауссовых чисел , :

Поэтому окончательно получаем:

(5.4)

Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например .

Полученное соотношение для имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть площадь вычисляется от до , и в этих точках и . Тогда в формуле (5.4) необходимо заменить на и добавить нижний прямоугольник площадью :

Winer square2.png

Площадь трапеции между и равна . Второе слагаемое, пропорциональное гауссовой величине , представляет собой площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через и .

Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель предсказания площади по значению начальной и конечной точки траектории . Ошибка подобной модели пропорциональна , и её дисперсия увеличивается со временем как .

Если известно значений процесса , идущих с шагом на интервале , то сумма площадей трапеций и отклонений от них даст суммарную площадь:

где учтено, что . При дисперсия поправки стремится к нулю.

Рассмотрим теперь два отрезка времени и . Площадь в момент времени равна площади в момент плюс площадь на участке длительностью :

Винеровский процесс в момент времени можно разбить на сумму двух независимых процессов , где и пропорциональны независимым накопленным изменениям на каждом отрезке времени (см. стр. \pageref{sect_autocor_fun}). Поэтому:

(5.5)

где площадь вычисляется под независимым от процессом от нуля до и имеет нулевую корреляцию с . В качестве упражнения ( H) стоит вывести это же соотношение непосредственно из (5.3).

Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что — более гладкий процесс, чем . Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы и имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:

Воспользуемся записью (5.5) площади в два различных момента времени и . Так как независима от и , автоковариация легко вычисляется:

где учтено, что . Разделив ковариацию на волатильности и , получим автокорреляционный коэффициент для :

где . Аналогично проводятся вычисления для :

Корреляция для быстрее уменьшается с ростом по сравнению с корреляцией для . Графически это представлено ниже на левом графике:

Cor U W.png

Справа приведены выборочные траектории для и . Видно, что — существенно более гладкий процесс.

В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.

В качестве упражнения предлагается проверить справедливость для произвольной детерминированной функции и гауссового числа следующих соотношений:

(5.6)

Если процесс Винера , то коэффициент корреляции равен:

Например, для степенной функции :

В общем случае корреляционные коэффициенты зависят от времени . При вычислении средних от произведения произвольных моментов удобнее выразить через и независимую от неё случайную величину :

Теперь вычисление средних типа не составит труда.

Естественно, интеграл по времени можно вычислять не только от винеровского процесса, но и от любой случайной функции:

Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса , но и явная зависимость от времени: , как, например, в (5.6). Функция в общем случае может быть произвольным случайным процессом.

Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по случае интеграл оказывается нормально распределённым. В более общем случае это не так.

Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции и интеграла по времени от . Запишем в символическом виде интегральную сумму:

Ito eq01.png

где мы для краткости опустили внутри функций. Возьмём -тое слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией , необходимо сгруппировать в ней первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся — во второе:

Так так и — два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:

Ito eq02.png

Например:

Ito eq03.png

Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла:

Ito eq04.png

и его обобщение для момента того порядка ():

Ito eq05.png

Другие полезные соотношения можно найти в приложении "Стохастический справочник". Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.



Уравнение для x << Оглавление >> Интегралы Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения