Пластичность волатильности:Эмпирические особенности автокорреляций

Внутридневная волатильность <<	Оглавление	>> Когда автокорреляции не затухают

В целях дальнейшего анализа отметим ряд особенностей поведения автокорреляционных коэффициентов, связанных с волатильностью.

1. Автокорреляции убывают монотонно и очень медленно.

Этот результат широко известен. Существует ряд исследований по определению функциональной зависимости автокорреляционного коэффициента от параметра сдвига $\textstyle s$ . Обычно автокорреляции аппроксимируют степенной функцией $\textstyle s^{-\mu }$ . При этом параметр $\textstyle \mu$ оказывается достаточно маленьким.

2. Автокорреляции тем выше, чем шире временной интервал.

Рассмотрим поведение автокорреляционных коэффициентов ежедневной модифицированной амплитуды размаха $\textstyle v=a-|r|/2$ для фондового индекса S\&P500 за период с 2001 по 2006 год. Разобьём этот интервал на два трёхлетних периода 2001-2003 и 2004-2006. В первом случае было $\textstyle n=752$ торговых дня, а во втором - $\textstyle n=755$ . Вычислим автокорреляционные коэффициенты каждого периода по отдельности и автокорреляцию по объединённым данным.

Результирующие автокоррелограммы представлены на рисунке ниже (объединённая автокорреляция повторена на каждом из них): \includegraphics{pic/cor_sp_2001_2006.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Коррелограммы S\&P500 за различные интервалы времени} Видно, что суммарная коррелограмма лежит выше коррелограмм каждого из периодов. Эта закономерность, вообще говоря, выполняется не всегда, и условия, при которых она возникает, будут понятны из дальнейших рассуждений.

Здесь и далее пунктирные горизонтальные линии на коррелограммах образуют коридор с двойной ошибкой $\textstyle \pm 2/{\sqrt {n}}$ , где $\textstyle n$ - количество чисел, участвующих в вычислении автокорреляционных коэффициентов. В таблице приведены основные статистические параметры ежедневной логарифмической доходности индекса S\&P500 на различных этапах: \small ::TABLE DELETED Кроме среднего ( $\textstyle {\overline {r}}$ ), дневной волатильности $\textstyle \sigma$ , асимметрии ( $\textstyle as$ ) и эксцесса ( $\textstyle ex$ ) вычислены доля в процентах положительных доходностей $\textstyle p_{0}=p(r>0)$ и доля их попаданий в одну сигму: $\textstyle p_{1}=p(|r-{\bar {r}}|<\sigma )$ . Отметим, что $\textstyle p_{1}$ существенно устойчивее по отношению к большим выбросам, чем эксцесс. Так, за период 1950-2008 ( $\textstyle n=14844$ ) мы получим $\textstyle ex=32.2$ , $\textstyle p_{1}=78.9$ . Замена только трех последовательных дней, сопровождающих биржевой крах 1987 года с понедельника, 19 октября, $\textstyle r=-22.9\%,\;+5.2\%,\;+8.7\%$ , на одно суммарное падение $\textstyle r=-9\%$ в три раза уменьшает эксцесс $\textstyle ex=10.5$ , и лишь незначительно - вероятность $\textstyle p_{1}=78.3$ .

Из приведенной выше таблицы видно, что когда рынок спокоен (2004-2006: $\textstyle \sigma =0.659\%$ ), он достаточно близок к нормальному ( $\textstyle ex=0.25$ ). После расширения интервалов времени нормальность существенно ухудшается. Одновременно с этим начинает возрастать автокорреляция волатильностей $\textstyle \rho _{1}(v)=cor(v_{t},v_{t-1})$ .

Аналогично обстоит ситуация на валютном рынке. Отбрасывание кризисного 4-го квартала 2008 года существенно снижает автокорреляционные коэффициенты статистик, связанных с волатильностью для EURUSD: \small ::TABLE DELETED Заметим, что при этом происходит уменьшение количества дней, по которым вычисляются автокорреляционные коэффициенты, всего на 7\%.

3. Точечная диаграмма волатильности имеет форму "веника".

Построим точечные графики модифицированных амплитуд размаха $\textstyle \{v_{t-1},v_{t}\}$ , иллюстрирующие "наличие временной памяти" волатильности для трёх рассмотренных выше периодов индекса Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\AndP»): {\displaystyle \textstyle S\AndP500} : \includegraphics{pic/cor_a_r_a_r1.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Зависимости $\textstyle a_{t}(a_{t-1})$ , S\&P500 } Как видно из диаграммы, точки заполняют область с характерной формой "веника", расширяющегося в область положительных значений. Естественно, он тем более ярко выражен, чем выше автокорреляционные коэффициенты.

Форма области $\textstyle \sigma _{t}=f(\sigma _{t-s})$ практически не зависит от величины сдвига и способа измерения волатильности. Для валютной пары EURUSD на интервале 2004-2008 мы имеем следующие точечные диаграммы внутридневных волатильностей, полученных по 15-минутным лагам: \includegraphics{pic/cor_s_1_5_10_EUR.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Зависимости $\textstyle \sigma _{t}(\sigma _{t-s})$ , $\textstyle s=1,5,10$ , EURUSD } На этих рисунках в качестве сдвига взят один день ( $\textstyle s=1$ ), неделя ( $\textstyle s=5$ ), и две недели ( $\textstyle s=10$ ). Видно, что форма "веника" заметным образом не изменяется, постепенно расплываясь с понижением автокорреляционного коэффициента.