Пластичность волатильности:Эмпирические особенности автокорреляций — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Когда автокорреляции не затухают)
Строка 12: Строка 12:
 
<blockquote> 2. ''Автокорреляции тем выше, чем шире временной интервал''. </blockquote> Рассмотрим поведение автокорреляционных коэффициентов ежедневной модифицированной амплитуды размаха <math>\textstyle v=a-|r|/2</math> для фондового индекса S\&P500 за период с 2001 по 2006 год. Разобьём этот интервал на два трёхлетних периода 2001-2003 и 2004-2006. В первом случае было <math>\textstyle n=752</math> торговых дня, а во втором - <math>\textstyle n=755</math>. Вычислим автокорреляционные коэффициенты каждого периода по отдельности и автокорреляцию по объединённым данным.
 
<blockquote> 2. ''Автокорреляции тем выше, чем шире временной интервал''. </blockquote> Рассмотрим поведение автокорреляционных коэффициентов ежедневной модифицированной амплитуды размаха <math>\textstyle v=a-|r|/2</math> для фондового индекса S\&P500 за период с 2001 по 2006 год. Разобьём этот интервал на два трёхлетних периода 2001-2003 и 2004-2006. В первом случае было <math>\textstyle n=752</math> торговых дня, а во втором - <math>\textstyle n=755</math>. Вычислим автокорреляционные коэффициенты каждого периода по отдельности и автокорреляцию по объединённым данным.
  
Результирующие автокоррелограммы представлены на рисунке ниже (объединённая автокорреляция повторена на каждом из них): \includegraphics{pic/cor_sp_2001_2006.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Коррелограммы S\&P500 за различные интервалы времени} Видно, что суммарная коррелограмма лежит выше коррелограмм каждого из периодов. Эта закономерность, вообще говоря, выполняется не всегда, и условия, при которых она возникает, будут понятны из дальнейших рассуждений.
+
Результирующие автокоррелограммы представлены на рисунке ниже (объединённая автокорреляция повторена на каждом из них):  
  
Здесь и далее пунктирные горизонтальные линии на коррелограммах образуют коридор с двойной ошибкой <math>\textstyle \pm 2/\sqrt{n}</math>, где <math>\textstyle n</math> - количество чисел, участвующих в вычислении автокорреляционных коэффициентов. В таблице приведены основные статистические параметры ежедневной логарифмической доходности индекса S\&P500 на различных этапах: \small ::TABLE DELETED Кроме среднего (<math>\textstyle \overline{r}</math>), дневной волатильности <math>\textstyle \sigma</math>, асимметрии (<math>\textstyle as</math>) и эксцесса (<math>\textstyle ex</math>) вычислены доля в процентах положительных доходностей <math>\textstyle p_0=p(r>0)</math> и доля их попаданий в одну сигму: <math>\textstyle p_1=p(|r-\bar{r}|<\sigma)</math>. Отметим, что <math>\textstyle p_1</math> существенно устойчивее по отношению к большим выбросам, чем эксцесс. Так, за период 1950-2008 (<math>\textstyle n=14844</math>) мы получим <math>\textstyle ex=32.2</math>, <math>\textstyle p_1=78.9</math>. Замена только трех последовательных дней, сопровождающих биржевой крах 1987 года с понедельника, 19 октября, <math>\textstyle r=-22.9\%,\;+5.2\%,\;+8.7\%</math>, на одно суммарное падение <math>\textstyle r=-9\%</math> в три раза уменьшает эксцесс <math>\textstyle ex=10.5</math>, и лишь незначительно - вероятность <math>\textstyle p_1=78.3</math>.
+
<center>[[File:volat_pic7.png]]</center>
 +
 
 +
Видно, что суммарная коррелограмма лежит выше коррелограмм каждого из периодов. Эта закономерность, вообще говоря, выполняется не всегда, и условия, при которых она возникает, будут понятны из дальнейших рассуждений.
 +
 
 +
Здесь и далее пунктирные горизонтальные линии на коррелограммах образуют коридор с двойной ошибкой <math>\textstyle \pm 2/\sqrt{n}</math>, где <math>\textstyle n</math> - количество чисел, участвующих в вычислении автокорреляционных коэффициентов. В таблице приведены основные статистические параметры ежедневной логарифмической доходности индекса S\&P500 на различных этапах:  
 +
 
 +
<center>[[File:volat_tbl1b.png]]</center>
 +
 
 +
Кроме среднего (<math>\textstyle \overline{r}</math>), дневной волатильности <math>\textstyle \sigma</math>, асимметрии (<math>\textstyle as</math>) и эксцесса (<math>\textstyle ex</math>) вычислены доля в процентах положительных доходностей <math>\textstyle p_0=p(r>0)</math> и доля их попаданий в одну сигму: <math>\textstyle p_1=p(|r-\bar{r}|<\sigma)</math>. Отметим, что <math>\textstyle p_1</math> существенно устойчивее по отношению к большим выбросам, чем эксцесс. Так, за период 1950-2008 (<math>\textstyle n=14844</math>) мы получим <math>\textstyle ex=32.2</math>, <math>\textstyle p_1=78.9</math>. Замена только трех последовательных дней, сопровождающих биржевой крах 1987 года с понедельника, 19 октября, <math>\textstyle r=-22.9\%,\;+5.2\%,\;+8.7\%</math>, на одно суммарное падение <math>\textstyle r=-9\%</math> в три раза уменьшает эксцесс <math>\textstyle ex=10.5</math>, и лишь незначительно - вероятность <math>\textstyle p_1=78.3</math>.
  
 
Из приведенной выше таблицы видно, что когда рынок спокоен (2004-2006: <math>\textstyle \sigma=0.659\%</math>), он достаточно близок к нормальному (<math>\textstyle ex=0.25</math>). После расширения интервалов времени нормальность существенно ухудшается. Одновременно с этим начинает возрастать автокорреляция волатильностей <math>\textstyle \rho_1(v)=cor(v_t, v_{t-1})</math>.
 
Из приведенной выше таблицы видно, что когда рынок спокоен (2004-2006: <math>\textstyle \sigma=0.659\%</math>), он достаточно близок к нормальному (<math>\textstyle ex=0.25</math>). После расширения интервалов времени нормальность существенно ухудшается. Одновременно с этим начинает возрастать автокорреляция волатильностей <math>\textstyle \rho_1(v)=cor(v_t, v_{t-1})</math>.
  
Аналогично обстоит ситуация на валютном рынке. Отбрасывание кризисного 4-го квартала 2008 года существенно снижает автокорреляционные коэффициенты статистик, связанных с волатильностью для EURUSD: \small ::TABLE DELETED Заметим, что при этом происходит уменьшение количества дней, по которым вычисляются автокорреляционные коэффициенты, всего на 7\%.
+
Аналогично обстоит ситуация на валютном рынке. Отбрасывание кризисного 4-го квартала 2008 года существенно снижает автокорреляционные коэффициенты статистик, связанных с волатильностью для EURUSD:  
 +
 
 +
<center>[[File:volat_tbl1c.png]]</center>
 +
 
 +
Заметим, что при этом происходит уменьшение количества дней, по которым вычисляются автокорреляционные коэффициенты, всего на 7\%.
  
 
<blockquote> 3. ''Точечная диаграмма волатильности имеет форму "веника"''. </blockquote>
 
<blockquote> 3. ''Точечная диаграмма волатильности имеет форму "веника"''. </blockquote>
  
Построим точечные графики модифицированных амплитуд размаха <math>\textstyle \{v_{t-1}, v_t\}</math>, иллюстрирующие "наличие временной памяти" волатильности для трёх рассмотренных выше периодов индекса <math>\textstyle S\AndP500</math>: \includegraphics{pic/cor_a_r_a_r1.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Зависимости <math>\textstyle a_t(a_{t-1})</math>, S\&P500 } Как видно из диаграммы, точки заполняют область с характерной формой "веника", расширяющегося в область положительных значений. Естественно, он тем более ярко выражен, чем выше автокорреляционные коэффициенты.
+
Построим точечные графики модифицированных амплитуд размаха <math>\textstyle \{v_{t-1}, v_t\}</math>, иллюстрирующие "наличие временной памяти" волатильности для трёх рассмотренных выше периодов индекса <math>\textstyle S\AndP500</math>:  
 +
 
 +
<center>[[File:volat_pic8.png]]</center>
 +
 
 +
Как видно из диаграммы, точки заполняют область с характерной формой "веника", расширяющегося в область положительных значений. Естественно, он тем более ярко выражен, чем выше автокорреляционные коэффициенты.
 +
 
 +
Форма области <math>\textstyle \sigma_t=f(\sigma_{t-s})</math> практически не зависит от величины сдвига и способа измерения волатильности. Для валютной пары EURUSD на интервале 2004-2008 мы имеем следующие точечные диаграммы внутридневных волатильностей, полученных по 15-минутным лагам:
 +
 
 +
<center>[[File:volat_pic9.png]]</center>
  
Форма области <math>\textstyle \sigma_t=f(\sigma_{t-s})</math> практически не зависит от величины сдвига и способа измерения волатильности. Для валютной пары EURUSD на интервале 2004-2008 мы имеем следующие точечные диаграммы внутридневных волатильностей, полученных по 15-минутным лагам: \includegraphics{pic/cor_s_1_5_10_EUR.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Зависимости <math>\textstyle \sigma_t(\sigma_{t-s})</math>, <math>\textstyle s=1,5,10</math>, EURUSD } На этих рисунках в качестве сдвига взят один день (<math>\textstyle s=1</math>), неделя (<math>\textstyle s=5</math>), и две недели (<math>\textstyle s=10</math>). Видно, что форма "веника" заметным образом не изменяется, постепенно расплываясь с понижением автокорреляционного коэффициента.
+
На этих рисунках в качестве сдвига взят один день (<math>\textstyle s=1</math>), неделя (<math>\textstyle s=5</math>), и две недели (<math>\textstyle s=10</math>). Видно, что форма "веника" заметным образом не изменяется, постепенно расплываясь с понижением автокорреляционного коэффициента.
  
  

Версия 18:58, 6 марта 2010

Внутридневная волатильность << Оглавление >> Когда автокорреляции не затухают

В целях дальнейшего анализа отметим ряд особенностей поведения автокорреляционных коэффициентов, связанных с волатильностью.

1. Автокорреляции убывают монотонно и очень медленно.

Этот результат широко известен. Существует ряд исследований по определению функциональной зависимости автокорреляционного коэффициента от параметра сдвига . Обычно автокорреляции аппроксимируют степенной функцией . При этом параметр оказывается достаточно маленьким.

2. Автокорреляции тем выше, чем шире временной интервал.

Рассмотрим поведение автокорреляционных коэффициентов ежедневной модифицированной амплитуды размаха для фондового индекса S\&P500 за период с 2001 по 2006 год. Разобьём этот интервал на два трёхлетних периода 2001-2003 и 2004-2006. В первом случае было торговых дня, а во втором - . Вычислим автокорреляционные коэффициенты каждого периода по отдельности и автокорреляцию по объединённым данным.

Результирующие автокоррелограммы представлены на рисунке ниже (объединённая автокорреляция повторена на каждом из них):

Volat pic7.png

Видно, что суммарная коррелограмма лежит выше коррелограмм каждого из периодов. Эта закономерность, вообще говоря, выполняется не всегда, и условия, при которых она возникает, будут понятны из дальнейших рассуждений.

Здесь и далее пунктирные горизонтальные линии на коррелограммах образуют коридор с двойной ошибкой , где - количество чисел, участвующих в вычислении автокорреляционных коэффициентов. В таблице приведены основные статистические параметры ежедневной логарифмической доходности индекса S\&P500 на различных этапах:

Volat tbl1b.png

Кроме среднего (), дневной волатильности , асимметрии () и эксцесса () вычислены доля в процентах положительных доходностей и доля их попаданий в одну сигму: . Отметим, что существенно устойчивее по отношению к большим выбросам, чем эксцесс. Так, за период 1950-2008 () мы получим , . Замена только трех последовательных дней, сопровождающих биржевой крах 1987 года с понедельника, 19 октября, , на одно суммарное падение в три раза уменьшает эксцесс , и лишь незначительно - вероятность .

Из приведенной выше таблицы видно, что когда рынок спокоен (2004-2006: ), он достаточно близок к нормальному (). После расширения интервалов времени нормальность существенно ухудшается. Одновременно с этим начинает возрастать автокорреляция волатильностей .

Аналогично обстоит ситуация на валютном рынке. Отбрасывание кризисного 4-го квартала 2008 года существенно снижает автокорреляционные коэффициенты статистик, связанных с волатильностью для EURUSD:

Volat tbl1c.png

Заметим, что при этом происходит уменьшение количества дней, по которым вычисляются автокорреляционные коэффициенты, всего на 7\%.

3. Точечная диаграмма волатильности имеет форму "веника".

Построим точечные графики модифицированных амплитуд размаха , иллюстрирующие "наличие временной памяти" волатильности для трёх рассмотренных выше периодов индекса Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\AndP»): {\displaystyle \textstyle S\AndP500} :

Volat pic8.png

Как видно из диаграммы, точки заполняют область с характерной формой "веника", расширяющегося в область положительных значений. Естественно, он тем более ярко выражен, чем выше автокорреляционные коэффициенты.

Форма области практически не зависит от величины сдвига и способа измерения волатильности. Для валютной пары EURUSD на интервале 2004-2008 мы имеем следующие точечные диаграммы внутридневных волатильностей, полученных по 15-минутным лагам:

Volat pic9.png

На этих рисунках в качестве сдвига взят один день (), неделя (), и две недели (). Видно, что форма "веника" заметным образом не изменяется, постепенно расплываясь с понижением автокорреляционного коэффициента.


Примчания


Внутридневная волатильность << Оглавление >> Когда автокорреляции не затухают