Пластичность волатильности:Эмпирические особенности автокорреляций — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) (→Когда автокорреляции не затухают) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 12: | Строка 12: | ||
<blockquote> 2. ''Автокорреляции тем выше, чем шире временной интервал''. </blockquote> Рассмотрим поведение автокорреляционных коэффициентов ежедневной модифицированной амплитуды размаха <math>\textstyle v=a-|r|/2</math> для фондового индекса S\&P500 за период с 2001 по 2006 год. Разобьём этот интервал на два трёхлетних периода 2001-2003 и 2004-2006. В первом случае было <math>\textstyle n=752</math> торговых дня, а во втором - <math>\textstyle n=755</math>. Вычислим автокорреляционные коэффициенты каждого периода по отдельности и автокорреляцию по объединённым данным. | <blockquote> 2. ''Автокорреляции тем выше, чем шире временной интервал''. </blockquote> Рассмотрим поведение автокорреляционных коэффициентов ежедневной модифицированной амплитуды размаха <math>\textstyle v=a-|r|/2</math> для фондового индекса S\&P500 за период с 2001 по 2006 год. Разобьём этот интервал на два трёхлетних периода 2001-2003 и 2004-2006. В первом случае было <math>\textstyle n=752</math> торговых дня, а во втором - <math>\textstyle n=755</math>. Вычислим автокорреляционные коэффициенты каждого периода по отдельности и автокорреляцию по объединённым данным. | ||
− | Результирующие автокоррелограммы представлены на рисунке ниже (объединённая автокорреляция повторена на каждом из них): | + | Результирующие автокоррелограммы представлены на рисунке ниже (объединённая автокорреляция повторена на каждом из них): |
− | Здесь и далее пунктирные горизонтальные линии на коррелограммах образуют коридор с двойной ошибкой <math>\textstyle \pm 2/\sqrt{n}</math>, где <math>\textstyle n</math> - количество чисел, участвующих в вычислении автокорреляционных коэффициентов. В таблице приведены основные статистические параметры ежедневной логарифмической доходности индекса S\&P500 на различных этапах: | + | <center>[[File:volat_pic7.png]]</center> |
+ | |||
+ | Видно, что суммарная коррелограмма лежит выше коррелограмм каждого из периодов. Эта закономерность, вообще говоря, выполняется не всегда, и условия, при которых она возникает, будут понятны из дальнейших рассуждений. | ||
+ | |||
+ | Здесь и далее пунктирные горизонтальные линии на коррелограммах образуют коридор с двойной ошибкой <math>\textstyle \pm 2/\sqrt{n}</math>, где <math>\textstyle n</math> - количество чисел, участвующих в вычислении автокорреляционных коэффициентов. В таблице приведены основные статистические параметры ежедневной логарифмической доходности индекса S\&P500 на различных этапах: | ||
+ | |||
+ | <center>[[File:volat_tbl1b.png]]</center> | ||
+ | |||
+ | Кроме среднего (<math>\textstyle \overline{r}</math>), дневной волатильности <math>\textstyle \sigma</math>, асимметрии (<math>\textstyle as</math>) и эксцесса (<math>\textstyle ex</math>) вычислены доля в процентах положительных доходностей <math>\textstyle p_0=p(r>0)</math> и доля их попаданий в одну сигму: <math>\textstyle p_1=p(|r-\bar{r}|<\sigma)</math>. Отметим, что <math>\textstyle p_1</math> существенно устойчивее по отношению к большим выбросам, чем эксцесс. Так, за период 1950-2008 (<math>\textstyle n=14844</math>) мы получим <math>\textstyle ex=32.2</math>, <math>\textstyle p_1=78.9</math>. Замена только трех последовательных дней, сопровождающих биржевой крах 1987 года с понедельника, 19 октября, <math>\textstyle r=-22.9\%,\;+5.2\%,\;+8.7\%</math>, на одно суммарное падение <math>\textstyle r=-9\%</math> в три раза уменьшает эксцесс <math>\textstyle ex=10.5</math>, и лишь незначительно - вероятность <math>\textstyle p_1=78.3</math>. | ||
Из приведенной выше таблицы видно, что когда рынок спокоен (2004-2006: <math>\textstyle \sigma=0.659\%</math>), он достаточно близок к нормальному (<math>\textstyle ex=0.25</math>). После расширения интервалов времени нормальность существенно ухудшается. Одновременно с этим начинает возрастать автокорреляция волатильностей <math>\textstyle \rho_1(v)=cor(v_t, v_{t-1})</math>. | Из приведенной выше таблицы видно, что когда рынок спокоен (2004-2006: <math>\textstyle \sigma=0.659\%</math>), он достаточно близок к нормальному (<math>\textstyle ex=0.25</math>). После расширения интервалов времени нормальность существенно ухудшается. Одновременно с этим начинает возрастать автокорреляция волатильностей <math>\textstyle \rho_1(v)=cor(v_t, v_{t-1})</math>. | ||
− | Аналогично обстоит ситуация на валютном рынке. Отбрасывание кризисного 4-го квартала 2008 года существенно снижает автокорреляционные коэффициенты статистик, связанных с волатильностью для EURUSD: | + | Аналогично обстоит ситуация на валютном рынке. Отбрасывание кризисного 4-го квартала 2008 года существенно снижает автокорреляционные коэффициенты статистик, связанных с волатильностью для EURUSD: |
+ | |||
+ | <center>[[File:volat_tbl1c.png]]</center> | ||
+ | |||
+ | Заметим, что при этом происходит уменьшение количества дней, по которым вычисляются автокорреляционные коэффициенты, всего на 7\%. | ||
<blockquote> 3. ''Точечная диаграмма волатильности имеет форму "веника"''. </blockquote> | <blockquote> 3. ''Точечная диаграмма волатильности имеет форму "веника"''. </blockquote> | ||
− | Построим точечные графики модифицированных амплитуд размаха <math>\textstyle \{v_{t-1}, v_t\}</math>, иллюстрирующие "наличие временной памяти" волатильности для трёх рассмотренных выше периодов индекса <math>\textstyle S\AndP500</math>: | + | Построим точечные графики модифицированных амплитуд размаха <math>\textstyle \{v_{t-1}, v_t\}</math>, иллюстрирующие "наличие временной памяти" волатильности для трёх рассмотренных выше периодов индекса <math>\textstyle S\AndP500</math>: |
+ | |||
+ | <center>[[File:volat_pic8.png]]</center> | ||
+ | |||
+ | Как видно из диаграммы, точки заполняют область с характерной формой "веника", расширяющегося в область положительных значений. Естественно, он тем более ярко выражен, чем выше автокорреляционные коэффициенты. | ||
+ | |||
+ | Форма области <math>\textstyle \sigma_t=f(\sigma_{t-s})</math> практически не зависит от величины сдвига и способа измерения волатильности. Для валютной пары EURUSD на интервале 2004-2008 мы имеем следующие точечные диаграммы внутридневных волатильностей, полученных по 15-минутным лагам: | ||
+ | |||
+ | <center>[[File:volat_pic9.png]]</center> | ||
− | + | На этих рисунках в качестве сдвига взят один день (<math>\textstyle s=1</math>), неделя (<math>\textstyle s=5</math>), и две недели (<math>\textstyle s=10</math>). Видно, что форма "веника" заметным образом не изменяется, постепенно расплываясь с понижением автокорреляционного коэффициента. | |
Версия 18:58, 6 марта 2010
Внутридневная волатильность << | Оглавление | >> Когда автокорреляции не затухают |
---|
В целях дальнейшего анализа отметим ряд особенностей поведения автокорреляционных коэффициентов, связанных с волатильностью.
1. Автокорреляции убывают монотонно и очень медленно.
Этот результат широко известен. Существует ряд исследований по определению функциональной зависимости автокорреляционного коэффициента от параметра сдвига . Обычно автокорреляции аппроксимируют степенной функцией . При этом параметр оказывается достаточно маленьким.
2. Автокорреляции тем выше, чем шире временной интервал.
Рассмотрим поведение автокорреляционных коэффициентов ежедневной модифицированной амплитуды размаха для фондового индекса S\&P500 за период с 2001 по 2006 год. Разобьём этот интервал на два трёхлетних периода 2001-2003 и 2004-2006. В первом случае было торговых дня, а во втором - . Вычислим автокорреляционные коэффициенты каждого периода по отдельности и автокорреляцию по объединённым данным.
Результирующие автокоррелограммы представлены на рисунке ниже (объединённая автокорреляция повторена на каждом из них):
Видно, что суммарная коррелограмма лежит выше коррелограмм каждого из периодов. Эта закономерность, вообще говоря, выполняется не всегда, и условия, при которых она возникает, будут понятны из дальнейших рассуждений.
Здесь и далее пунктирные горизонтальные линии на коррелограммах образуют коридор с двойной ошибкой , где - количество чисел, участвующих в вычислении автокорреляционных коэффициентов. В таблице приведены основные статистические параметры ежедневной логарифмической доходности индекса S\&P500 на различных этапах:
Кроме среднего (), дневной волатильности , асимметрии () и эксцесса () вычислены доля в процентах положительных доходностей и доля их попаданий в одну сигму: . Отметим, что существенно устойчивее по отношению к большим выбросам, чем эксцесс. Так, за период 1950-2008 () мы получим , . Замена только трех последовательных дней, сопровождающих биржевой крах 1987 года с понедельника, 19 октября, , на одно суммарное падение в три раза уменьшает эксцесс , и лишь незначительно - вероятность .
Из приведенной выше таблицы видно, что когда рынок спокоен (2004-2006: ), он достаточно близок к нормальному (). После расширения интервалов времени нормальность существенно ухудшается. Одновременно с этим начинает возрастать автокорреляция волатильностей .
Аналогично обстоит ситуация на валютном рынке. Отбрасывание кризисного 4-го квартала 2008 года существенно снижает автокорреляционные коэффициенты статистик, связанных с волатильностью для EURUSD:
Заметим, что при этом происходит уменьшение количества дней, по которым вычисляются автокорреляционные коэффициенты, всего на 7\%.
3. Точечная диаграмма волатильности имеет форму "веника".
Построим точечные графики модифицированных амплитуд размаха , иллюстрирующие "наличие временной памяти" волатильности для трёх рассмотренных выше периодов индекса Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\AndP»): {\displaystyle \textstyle S\AndP500} :
Как видно из диаграммы, точки заполняют область с характерной формой "веника", расширяющегося в область положительных значений. Естественно, он тем более ярко выражен, чем выше автокорреляционные коэффициенты.
Форма области практически не зависит от величины сдвига и способа измерения волатильности. Для валютной пары EURUSD на интервале 2004-2008 мы имеем следующие точечные диаграммы внутридневных волатильностей, полученных по 15-минутным лагам:
На этих рисунках в качестве сдвига взят один день (), неделя (), и две недели (). Видно, что форма "веника" заметным образом не изменяется, постепенно расплываясь с понижением автокорреляционного коэффициента.
Примчания
Внутридневная волатильность << | Оглавление | >> Когда автокорреляции не затухают |
---|