|
|
| Строка 26: |
Строка 26: |
| | Форма области <math>\textstyle \sigma_t=f(\sigma_{t-s})</math> практически не зависит от величины сдвига и способа измерения волатильности. Для валютной пары EURUSD на интервале 2004-2008 мы имеем следующие точечные диаграммы внутридневных волатильностей, полученных по 15-минутным лагам: \includegraphics{pic/cor_s_1_5_10_EUR.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Зависимости <math>\textstyle \sigma_t(\sigma_{t-s})</math>, <math>\textstyle s=1,5,10</math>, EURUSD } На этих рисунках в качестве сдвига взят один день (<math>\textstyle s=1</math>), неделя (<math>\textstyle s=5</math>), и две недели (<math>\textstyle s=10</math>). Видно, что форма "веника" заметным образом не изменяется, постепенно расплываясь с понижением автокорреляционного коэффициента. | | Форма области <math>\textstyle \sigma_t=f(\sigma_{t-s})</math> практически не зависит от величины сдвига и способа измерения волатильности. Для валютной пары EURUSD на интервале 2004-2008 мы имеем следующие точечные диаграммы внутридневных волатильностей, полученных по 15-минутным лагам: \includegraphics{pic/cor_s_1_5_10_EUR.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Зависимости <math>\textstyle \sigma_t(\sigma_{t-s})</math>, <math>\textstyle s=1,5,10</math>, EURUSD } На этих рисунках в качестве сдвига взят один день (<math>\textstyle s=1</math>), неделя (<math>\textstyle s=5</math>), и две недели (<math>\textstyle s=10</math>). Видно, что форма "веника" заметным образом не изменяется, постепенно расплываясь с понижением автокорреляционного коэффициента. |
| | | | |
| − | ==Когда автокорреляции не затухают==
| |
| − |
| |
| − | Медленное снижение значений автокорреляционного коэффициента с увеличением параметра сдвига, на самом деле, должно настораживать. Существуют очень простые модели, не связанные со стохастичностью волатильности, в которых возникает подобный эффект.
| |
| − |
| |
| − | Рассмотрим, например, обычное логарифмическое блуждание:
| |
| − |
| |
| − | {| width="100%"
| |
| − | | width="90%" align="center"|<math> \frac{dx}{x} = \mu\;dt+\sigma\;\delta W. </math>
| |
| − | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − | Смоделируем "двадцатилетнюю" (5000=20<math>\textstyle \cdot</math>250 торговых дней) эволюцию цены, при которой в первые 10 лет волатильность была постоянной и равной <math>\textstyle \sigma_1=1\%</math>, а во второе десятилетие она скачком повысилась до <math>\textstyle \sigma_2=2\%</math>. При этом винеровская переменная представляется в виде <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math>, где <math>\textstyle \varepsilon</math> - нормально распределённое случайное число с нулевым средним и единичной дисперсией. В качестве малого интервала времени <math>\textstyle dt</math> выбрана одна секунда <math>\textstyle dt=1/(24\cdot 60\cdot 60)</math>, см. приложение С.
| |
| − |
| |
| − | Динамика ежедневных значений модифицированной амплитуды размаха <math>\textstyle v_t=a_t-|r_t|/2</math> на "переломных" 10-м и 11-ом годах имела вид (время в "днях"): \includegraphics{pic/cor_2s.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Два года блуждания на "перескоке" волатильности}
| |
| − |
| |
| − | Подобный ряд с нестационарностью в виде ступеньки обладает заметными автокорреляционными коэффициентами для модуля доходности (второй рисунок) и ещё большими - для амплитуды размаха (третий рисунок): \includegraphics{pic/cor_2s_cor.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Автокорреляции доходности, её модуля и модифицированной амплитуды.} Характерно, что они очень медленно убывают с ростом параметра сдвига <math>\textstyle s</math>. В противоположность <math>\textstyle |r_t|</math> и <math>\textstyle v_t</math>, корреляции доходностей цены <math>\textstyle r_t</math> (первый рисунок ниже), в пределах двух стандартных ошибок, равны нулю.
| |
| − |
| |
| − | Таким образом, несмотря на статистическую независимость двух соседних дней, возникают корреляционные закономерности. Обратим внимание, что независимыми являются не только доходности <math>\textstyle r</math>, но и их модули <math>\textstyle |r|</math>, или амплитуды размаха <math>\textstyle v</math>. Если бы волатильность была постоянной двадцать лет, то все коррелограммы <math>\textstyle \rho_s(|r|)</math> и <math>\textstyle \rho_s(v)</math> были бы равны нулю. При появлении нестационарности ситуация изменяется.
| |
| − |
| |
| − | Причину подобного эффекта несложно понять. Ниже на трёх точечных диаграммах представлены значения логарифмических доходностей, их модулей и модифицированных амплитуд двух соседних дней в течение первого десятилетия эволюции с постоянной волатильностью <math>\textstyle \sigma=1\%</math>. \includegraphics{pic/cor_2s_rr1.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Первое десятилетие} В первом случае точки образуют практически симметричное облако, и, естественно, корреляция равна нулю. Во втором и третьем - полной симметрии нет, так как этим свойством не обладают плотности вероятности <math>\textstyle P(|r|)</math> и <math>\textstyle P(v)</math>. Однако, в силу независимости последовательных дней, корреляционный коэффициент равен нулю. Если, например, <math>\textstyle x=v_t</math>, а <math>\textstyle y=v_{t-1}</math>, то независимость означает, что совместная плотность вероятности равна произведению плотностей вероятности каждой величины <math>\textstyle P(x,y)=P(x)\cdot P(y)</math>. Поэтому ''при любом'' распределении ковариация будет равна нулю: <math>\textstyle \overline{(x-\bar{x})(y-\bar{y})}=0</math>.
| |
| − |
| |
| − | Важным является тот факт, что для доходностей <math>\textstyle r_t</math> центр облака расположен в начале координат, тогда как для положительно определённых величин <math>\textstyle |r_t|</math> и <math>\textstyle v_t</math> он сдвинут вправо и вверх в область положительных значений.
| |
| − |
| |
| − | Добавим теперь на диаграммы точки второго десятилетия: \includegraphics{pic/cor_2s_rr2.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Оба десятилетия} Для логарифмических доходностей (первая диаграмма) происходит наложение двух облаков с одинаковым центром <math>\textstyle \bar{r}=0</math>. Результирующее облако остаётся симметричным, поэтому автокорреляция по-прежнему равна нулю. В случае амплитуд размаха (третья диаграмма) возникают два несовпадающих облака, одно их которых соответствует <math>\textstyle \sigma_1=1\%</math>, а второе <math>\textstyle \sigma_2=2\%</math> (напомним, что <math>\textstyle \bar{v}=1.197\sigma</math>). Перемычка между облаками размывается, и в результате получается фигура с характерной формой веника (верхнее облако имеет больший размер). Через неё можно, методом наименьших квадратов, провести прямую, наклон которой и будет пропорционален корреляционному коэффициенту.
| |
| − |
| |
| − | Диаграмма не изменится, если мы возьмём сдвиг в два дня <math>\textstyle \{v_{t}, v_{t-2}\}</math>, так как, за исключением переходных точек в момент скачка волатильности, значения каждого десятилетия будут кластеризоваться в своём облаке.
| |
| − |
| |
| − | Несколько сложнее ситуация обстоит со второй точечной диаграммой для модулей доходности <math>\textstyle \{|r_{t-1}|, |r_t|\}</math>. Визуально она не отличается от аналогичной для первого десятилетия. Корреляция, тем не менее, возникает. Чтобы понять её происхождение, необходимо расширить стандартные статистические соотношения на случай нестационарных данных.
| |
| | | | |
| | === Примчания === | | === Примчания === |
В целях дальнейшего анализа отметим ряд особенностей поведения автокорреляционных коэффициентов, связанных с волатильностью.
1. Автокорреляции убывают монотонно и очень медленно.
Этот результат широко известен. Существует ряд исследований по определению функциональной зависимости автокорреляционного коэффициента от параметра сдвига 
. Обычно автокорреляции аппроксимируют степенной функцией 
. При этом параметр 
оказывается достаточно маленьким.
2. Автокорреляции тем выше, чем шире временной интервал.
Рассмотрим поведение автокорреляционных коэффициентов ежедневной модифицированной амплитуды размаха 
для фондового индекса S\&P500 за период с 2001 по 2006 год. Разобьём этот интервал на два трёхлетних периода 2001-2003 и 2004-2006. В первом случае было 
торговых дня, а во втором - 
. Вычислим автокорреляционные коэффициенты каждого периода по отдельности и автокорреляцию по объединённым данным.
Результирующие автокоррелограммы представлены на рисунке ниже (объединённая автокорреляция повторена на каждом из них): \includegraphics{pic/cor_sp_2001_2006.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Коррелограммы S\&P500 за различные интервалы времени} Видно, что суммарная коррелограмма лежит выше коррелограмм каждого из периодов. Эта закономерность, вообще говоря, выполняется не всегда, и условия, при которых она возникает, будут понятны из дальнейших рассуждений.
Здесь и далее пунктирные горизонтальные линии на коррелограммах образуют коридор с двойной ошибкой 
, где 
- количество чисел, участвующих в вычислении автокорреляционных коэффициентов. В таблице приведены основные статистические параметры ежедневной логарифмической доходности индекса S\&P500 на различных этапах: \small ::TABLE DELETED Кроме среднего (
), дневной волатильности 
, асимметрии (
) и эксцесса (
) вычислены доля в процентах положительных доходностей 
и доля их попаданий в одну сигму: 
. Отметим, что 
существенно устойчивее по отношению к большим выбросам, чем эксцесс. Так, за период 1950-2008 (
) мы получим 
, 
. Замена только трех последовательных дней, сопровождающих биржевой крах 1987 года с понедельника, 19 октября, 
, на одно суммарное падение 
в три раза уменьшает эксцесс 
, и лишь незначительно - вероятность 
.
Из приведенной выше таблицы видно, что когда рынок спокоен (2004-2006: 
), он достаточно близок к нормальному (
). После расширения интервалов времени нормальность существенно ухудшается. Одновременно с этим начинает возрастать автокорреляция волатильностей 
.
Аналогично обстоит ситуация на валютном рынке. Отбрасывание кризисного 4-го квартала 2008 года существенно снижает автокорреляционные коэффициенты статистик, связанных с волатильностью для EURUSD: \small ::TABLE DELETED Заметим, что при этом происходит уменьшение количества дней, по которым вычисляются автокорреляционные коэффициенты, всего на 7\%.
3. Точечная диаграмма волатильности имеет форму "веника".
Построим точечные графики модифицированных амплитуд размаха 
, иллюстрирующие "наличие временной памяти" волатильности для трёх рассмотренных выше периодов индекса Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\AndP»): {\displaystyle \textstyle S\AndP500}
: \includegraphics{pic/cor_a_r_a_r1.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Зависимости 
, S\&P500 } Как видно из диаграммы, точки заполняют область с характерной формой "веника", расширяющегося в область положительных значений. Естественно, он тем более ярко выражен, чем выше автокорреляционные коэффициенты.
Форма области 
практически не зависит от величины сдвига и способа измерения волатильности. Для валютной пары EURUSD на интервале 2004-2008 мы имеем следующие точечные диаграммы внутридневных волатильностей, полученных по 15-минутным лагам: \includegraphics{pic/cor_s_1_5_10_EUR.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Зависимости 
, 
, EURUSD } На этих рисунках в качестве сдвига взят один день (
), неделя (
), и две недели (
). Видно, что форма "веника" заметным образом не изменяется, постепенно расплываясь с понижением автокорреляционного коэффициента.
Примчания
