Пластичность волатильности:Приложение:Броуновское блуждание — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 12: | Строка 12: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> p(-l<L, H<h, r) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} \left\{ \mathbf{N}\bigl(r+2ka \bigr)-\mathbf{N}\bigl(r+2l+2ka\bigr) \right\}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> p(-l<L, H<h, r) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} \left\{ \mathbf{N}\bigl(r+2ka \bigr)-\mathbf{N}\bigl(r+2l+2ka\bigr) \right\}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(27)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Эту формулу получил Феллер в 1951 <ref name="Feller1951"> W. Feller, 1950, The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables, ''The Annals of Mathematical Statistics'', pp.427-432. | + | Эту формулу получил Феллер в 1951 <ref name="Feller1951"> W. Feller, 1950, The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables, ''The Annals of Mathematical Statistics'', pp.427-432.</ref>. Отметим также исключительно полезный справочник <ref name="Borodin2000"> A.N. Borodin, P. Salminen, 2000 {Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae}, Basel: Birkhauser.</ref>. |
− | + | Из вероятности Феллера (27) выводятся другие распределения. Так, для доходности, высоты и глубины имеем: | |
− | </ref>. Отметим также исключительно полезный справочник <ref name="Borodin2000"> A.N. Borodin, P. Salminen, 2000 {Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae}, Basel: Birkhauser. | ||
− | |||
− | </ref>. Из вероятности Феллера () выводятся другие распределения. Так, для доходности, высоты и глубины имеем: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> P(r) = \mathbf{N}(r),\;\;\;\;\;P(h)=2\mathbf{N}(h),\;\;\;\;\;\;P(l)=2\mathbf{N}(l). </math> | | width="90%" align="center"|<math> P(r) = \mathbf{N}(r),\;\;\;\;\;P(h)=2\mathbf{N}(h),\;\;\;\;\;\;P(l)=2\mathbf{N}(l). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(28)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 30: | Строка 27: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> P(a)=8\sum^\infty_{k=1}(-1)^{k+1}\cdot k^2\cdot \mathbf{N}(ka). </math> | | width="90%" align="center"|<math> P(a)=8\sum^\infty_{k=1}(-1)^{k+1}\cdot k^2\cdot \mathbf{N}(ka). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(29)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Ряд достаточно быстро сходится для всех <math>\textstyle a\neq 0</math>. Характерным свойством распределения Феллера <math>\textstyle P(a)</math> является экстремально быстрое снижение плотности вероятности при уменьшении <math>\textstyle a</math>. Приведём некоторые значения интегральных вероятностей <math>\textstyle F(a)=p(H-L<a)</math>: | + | Ряд достаточно быстро сходится для всех <math>\textstyle a\neq 0</math>. Характерным свойством распределения Феллера <math>\textstyle P(a)</math> является экстремально быстрое снижение плотности вероятности при уменьшении <math>\textstyle a</math>. Приведём некоторые значения интегральных вероятностей <math>\textstyle F(a)=p(H-L<a)</math>: |
+ | |||
+ | <center>[[File:volat_tbl1g.png]]</center> | ||
+ | |||
+ | Ниже значения 0.75 (<math>\textstyle \sigma=1</math>) параметр <math>\textstyle a</math> опускается только в 2-х случаях из 1000. Среднее значение <math>\textstyle \bar{a}=1.5958</math>, сигма <math>\textstyle \sigma_a = 0.29798\cdot \bar{a}</math>. В интервал одной сигмы <math>\textstyle \bar{a}\pm \sigma_a</math> = [1.120 .. 2.071] попадает 71.6\% значений <math>\textstyle a</math>. В двойную сигму <math>\textstyle \bar{a}\pm 2\sigma_a</math> = [0.645 .. 2.547] попадет 95.6\% значений, причём выпадания из этого интервала, практически, ''должны встречаться только сверху''. | ||
Совместные плотности вероятности для высоты (<math>\textstyle r \leqslant h</math>) глубины (<math>\textstyle -l \leqslant r</math>) и амплитуды (<math>\textstyle |r| \leqslant a</math>) имеют вид: | Совместные плотности вероятности для высоты (<math>\textstyle r \leqslant h</math>) глубины (<math>\textstyle -l \leqslant r</math>) и амплитуды (<math>\textstyle |r| \leqslant a</math>) имеют вид: | ||
Строка 39: | Строка 40: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> P(h, r) = 2(2h-r)\cdot \mathbf{N}(2h-r),\;\;\;\;\;P(l,r)=2(2l+r)\cdot\mathbf{N}(2l+r). </math> | | width="90%" align="center"|<math> P(h, r) = 2(2h-r)\cdot \mathbf{N}(2h-r),\;\;\;\;\;P(l,r)=2(2l+r)\cdot\mathbf{N}(2l+r). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(30)'''</div> |
|} | |} | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> P(a, r) = 4\sum^{\infty}_{k=-\infty}k\cdot \Bigl\{-|r|-k(2k+3)a+k\cdot\bigl(a-|r|\bigr)\bigl(2ka+|r|\bigr)^2\Bigr\}\cdot \mathbf{N}\bigl(|r|+2ka\bigr). </math> | | width="90%" align="center"|<math> P(a, r) = 4\sum^{\infty}_{k=-\infty}k\cdot \Bigl\{-|r|-k(2k+3)a+k\cdot\bigl(a-|r|\bigr)\bigl(2ka+|r|\bigr)^2\Bigr\}\cdot \mathbf{N}\bigl(|r|+2ka\bigr). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(31)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 79: | Строка 80: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \overline {h} =\sqrt{\frac{2}{\pi}} + \frac{\mu}{2} + \frac{\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{60\sqrt{2\pi}}+.., \;\;\;\;\overline{|r|} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} + \frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{12\sqrt{2\pi}} +.., </math> | | width="90%" align="center"|<math> \overline {h} =\sqrt{\frac{2}{\pi}} + \frac{\mu}{2} + \frac{\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{60\sqrt{2\pi}}+.., \;\;\;\;\overline{|r|} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} + \frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{12\sqrt{2\pi}} +.., </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(32)'''</div> |
|} | |} | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \overline {l} =\sqrt{\frac{2}{\pi}} - \frac{\mu}{2} + \frac{\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{60\sqrt{2\pi}}+.., \;\;\;\;\overline{a} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} + \frac{2\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{30\sqrt{2\pi}} +... </math> | | width="90%" align="center"|<math> \overline {l} =\sqrt{\frac{2}{\pi}} - \frac{\mu}{2} + \frac{\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{60\sqrt{2\pi}}+.., \;\;\;\;\overline{a} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} + \frac{2\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{30\sqrt{2\pi}} +... </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(33)'''</div> |
|} | |} | ||
Текущая версия на 20:40, 6 марта 2010
Заключение << | Оглавление | >> Приложение: Меры волатильности |
---|
Приведём основные соотношения теории броуновского движения, описываемого стохастическим уравнением . Рассмотрим сначала случай отсутствия сноса (). Без потери общности можно считать, что в начальный момент времени . Максимальное и минимальное значения за период равны и , и . Высота подъема и глубина опускания всегда положительны, и . Амплитуда размаха равна . Ниже рассматривается случай единичной волатильности и единичного интервала времени . Для их восстановления необходимо во всех "размерных" величинах , , , проделать замену . Это же необходимо сделать и в дифференциалах и т.п. при интегрировании плотностей вероятностей. Для сокращения используется функция нормального распределения: .
Исходным соотношением является вероятность того, что не поднимется выше и не опустится ниже , закрывшись на доходности :
(27)
|
Эту формулу получил Феллер в 1951 [1]. Отметим также исключительно полезный справочник [2]. Из вероятности Феллера (27) выводятся другие распределения. Так, для доходности, высоты и глубины имеем:
(28)
|
Плотность вероятности размаха выражается в виде бесконечного ряда по гауссовому базису:
(29)
|
Ряд достаточно быстро сходится для всех . Характерным свойством распределения Феллера является экстремально быстрое снижение плотности вероятности при уменьшении . Приведём некоторые значения интегральных вероятностей :
Ниже значения 0.75 () параметр опускается только в 2-х случаях из 1000. Среднее значение , сигма . В интервал одной сигмы = [1.120 .. 2.071] попадает 71.6\% значений . В двойную сигму = [0.645 .. 2.547] попадет 95.6\% значений, причём выпадания из этого интервала, практически, должны встречаться только сверху.
Совместные плотности вероятности для высоты () глубины () и амплитуды () имеют вид:
(30)
|
(31)
|
Заметим, что , и .
Приведём таблицу средних значений различных величин:
где - функция Римана. Средние для и эквивалентны . Ниже даны значения некоторых смешанных произведений:
Другие средние, а также их производящую функцию можно найти в [3].
Для блуждания со сносом будем использовать уже определённые ранее плотности без сноса. Для того, чтобы восстановить время и волатильность, необходимо дополнительно сделать замену сноса . Плотность вероятности для доходности равна:
Выражения для совместных плотностей [2]:
Таким образом, во всех случаях плотности соответствующие умножаются на фактор . При наличии сноса:
Выражения для средних значений других величин достаточно громоздки. Однако, так как для финансовых данных , уместно разложить в ряд фактор и использовать средние для случая . В результате:
(32)
|
(33)
|
Средние значения высоты и глубины линейны по , и далее в разложении идут только чётные степени. Амплитуды размаха и модуля доходности зависят только от чётных степеней . Отметим также простые конечные соотношения: , , , .
Примчания
- ↑ W. Feller, 1950, The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables, The Annals of Mathematical Statistics, pp.427-432.
- ↑ 2,0 2,1 A.N. Borodin, P. Salminen, 2000 {Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae}, Basel: Birkhauser.
- ↑ M.B. Garman, M.J.Klass, 1980, {On the estimation of security price volatilities from historical data}, The Journal of Business, Vol.53, No.1.
Заключение << | Оглавление | >> Приложение: Меры волатильности |
---|