Пластичность волатильности:Нестационарная статистика

Когда автокорреляции не затухают <<	Оглавление	>> Корреляция разностей

---

Пусть параметры распределения случайной величины $\textstyle x$ плавно изменяются со временем. Если мы, не учитывая этого, производим усреднение наблюдений за некоторый интервал времени $\textstyle T$, то среднее значение $\textstyle {\bar {x}}$ по всем данным фактически будет равно:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \bar{x} = \left\langle \bar{x}(t)\right\rangle =\frac{1}{T}\int\limits^T_0 \bar{x}(t) \;dt,\;\;\;\;где\;\;\;\;\bar{x}(t)=\int\limits^\infty_{-\infty} x\cdot P(x,t)\;dx. }

(7)

Другими словами, мы в каждый фиксированный момент времени вычисляем локальное среднее $\textstyle {\bar {x}}(t)$, а затем равномерно усредняем все такие средние по интервалу времени $\textstyle T$ (угловые скобки). Аналогично определим локальную дисперсию:

$\sigma ^{2}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-{\bar {x}}(t))^{2}\cdot P(x,t)\;dx={\overline {x^{2}}}(t)-{\overline {x}}(t)^{2}.$

(8)

Дисперсия, вычисленная по всем данным, будет равна:

$\sigma ^{2}\;=\;{\overline {(x-{\bar {x}})^{2}}}=\left\langle {\overline {x^{2}}}(t)\right\rangle -\left\langle {\overline {x}}(t)\right\rangle ^{2}=\left\langle \sigma (t)^{2}\right\rangle \;+\;\left\langle {\overline {x}}(t)^{2}\right\rangle -\left\langle {\overline {x}}(t)\right\rangle ^{2},$

(9)

где угловые скобки, как и выше, обозначают усреднение по интервалу времени $\textstyle T$. Таким образом, $\textstyle \sigma ^{2}$ определяется суммой взвешенной локальной дисперсии $\textstyle \left\langle \sigma ^{2}(t)\right\rangle$ и временной дисперсии среднего (второе и третье слагаемые).

В частном случае параметрической нестационарности величину $\textstyle x_{t}$ можно представить в виде $\textstyle x_{t}=\mu (t)+\sigma (t)\cdot \eta _{t}$, где $\textstyle \eta _{t}$ - стационарные независимые случайные числа с нулевым средним и единичной дисперсией ($\textstyle {\overline {\eta }}=0$, $\textstyle {\overline {\eta ^{2}}}=1$). Среднее этих величин равно $\textstyle \left\langle \mu (t)\right\rangle$, а дисперсия: $\textstyle \left\langle \sigma (t)^{2}\right\rangle +\left\langle \mu (t)^{2}\right\rangle -\left\langle \mu (t)\right\rangle ^{2}$.

Рассмотрим теперь две локально независимые величины $\textstyle x$ и $\textstyle y$. Их независимость означает, что плотность совместной вероятности в фиксированный момент времени $\textstyle t$ расщепляется $\textstyle P(x,y,t)=P(x,t)\cdot P(y,t)$, и

${\overline {x\cdot y}}\;(t)={\overline {x}}(t)\cdot {\overline {y}}(t).$

(10)

Однако при усреднении по всем данным эти величины уже перестают быть независимыми. Действительно, временное среднее произведения:

${\overline {x\cdot y}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\cdot y\;P(x,y,t)\;dxdydt={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{\bar {x}}(t){\bar {y}}(t)\;dt=\left\langle {\bar {x}}(t)\cdot {\bar {y}}(t)\right\rangle ,$

(11)

вообще говоря, не равно произведению временных средних: $\textstyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}=\left\langle {\bar {x}}(t)\right\rangle \cdot \left\langle {\bar {y}}(t)\right\rangle$. Если локальные средние $\textstyle {\bar {x}}(t)$, $\textstyle {\bar {y}}(t)$ отличны от нуля, то, в общем случае, будет не нулевым и корреляционный коэффициент. В примере предыдущего раздела среднее значение доходностей в каждом десятилетии было равно нулю, поэтому их автокорреляция не возникала. Для положительных величин $\textstyle |r|$ и $\textstyle a$ средние значения не нулевые, и, несмотря на независимость двух последовательных дней, возникает автокорреляция.

Таким образом, локально независимые величины, обладая однотипной долгосрочной нестационарностью, неизбежно становятся зависимыми. Однако эта зависимость имеет не стохастическую, а "детерминированную", гладкую природу, связанную временной синхронизацией.

Например, если нестационарность волатильности имеет форму ступеньки с одинаковой длительностью, среднее значение и дисперсия по всем данным равны:

${\bar {x}}={\frac {{\bar {x}}_{1}+{\bar {x}}_{1}}{2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma ^{2}={\frac {\sigma _{x1}^{2}+\sigma _{x2}^{2}}{2}}+{\frac {({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})^{2}}{4}},$

(12)

где $\textstyle x$ обозначает "$\textstyle |r|$" или "$\textstyle v$", статистические параметры первого десятилетия равны $\textstyle {\bar {x}}_{1}$, $\textstyle \sigma _{x1}$, а второго $\textstyle {\bar {x}}_{2}$, $\textstyle \sigma _{x2}$. Если сдвиг при вычислении автокорреляционного коэффициента мал по сравнению с длительностью $\textstyle T$, в первом приближении краевыми эффектами можно пренебречь и считать, что $\textstyle x=v_{t}$ и $\textstyle y=v_{t-1}$ - две независимые величины. Их ковариация равна:

${\overline {x\cdot y}}-{\overline {x}}\cdot {\overline {y}}\;=\;{\frac {{\bar {x}}_{1}{\bar {y}}_{1}+{\bar {x}}_{2}{\bar {y}}_{2}}{2}}-{\frac {{\bar {x}}_{1}+{\bar {x}}_{2}}{2}}\cdot {\frac {{\bar {y}}_{1}+{\bar {y}}_{2}}{2}}\;=\;{\frac {({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})({\bar {y}}_{1}-{\bar {y}}_{2})}{4}}.$

(13)

Так как $\textstyle {\bar {x}}_{i}={\bar {y}}_{i}$, то для автокорреляционного коэффициента получаем:

$cor(x,y)={\frac {({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})^{2}}{({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})^{2}+2(\sigma _{x1}^{2}+\sigma _{x2}^{2})}}.$

(14)

Явно видно, что такая "корреляция" для нестационарных данных возникает только у величин с неравными средними. Для $\textstyle v$ и $\textstyle |r|$ их средние и сигмы пропорциональны волатильности логарифмической доходности $\textstyle {\bar {x}}=\alpha \sigma$, $\textstyle \sigma _{x}=\beta \sigma$. Для модуля доходности $\textstyle \alpha =0.795$, $\textstyle \beta =0.605$, а для модифицированной амплитуды размаха цены $\textstyle \alpha =1.197$, $\textstyle \beta =0.300$. Если волатильность рынка изменяется, то изменяется и средние значения положительно определённых величин $\textstyle v$ и $\textstyle |r|$. При удвоении волатильности логарифмической доходности возникает корреляция $\textstyle 1/(1+10(\beta /\alpha )^{2})$. Для модуля доходности она равна 0.15, а для модифицированной амплитуды размаха 0.61. Именно это мы и наблюдали в численном эксперименте.

В общем случае для получения автокорреляционных коэффициентов, зависящих от сдвига $\textstyle s$, необходимо воспользоваться их определением в виде сумм. Однако более компактным будет непрерывный предел. Будем считать $\textstyle T$ и сдвиг $\textstyle s$ величинами непрерывными. В случае $\textstyle n$ лагов длительностью $\textstyle \tau$ каждый $\textstyle T=n\tau$, а $\textstyle s=k\tau$, причём $\textstyle k\ll n$. Пусть некоторая положительно определённая величина $\textstyle \sigma _{t}$, связанная с волатильностью, промодулирована нестационарной составляющей $\textstyle \sigma _{t}=\sigma (t)\cdot \theta _{t}$, где $\textstyle \theta _{t}$ - стационарное случайное число с единичным средним. Например, для модифицированной амплитуды $\textstyle \theta _{t}=v_{t}{\sqrt {2\pi }}/3$. Так как случайные числа $\textstyle \theta _{t}$ различных моментов времени нескоррелированы, но положительно определены, то $\textstyle {\overline {\theta _{t}\cdot \theta }}_{t-s}$ равно единице при $\textstyle s\neq 0$, и $\textstyle {\overline {\theta ^{2}}}$ при $\textstyle s=0$. Определим ковариационный коэффициент для случая $\textstyle s\neq 0$ следующим образом:

$\gamma _{s}(\sigma )=\left\langle \sigma _{t}\cdot \sigma _{t-s}\right\rangle -\left\langle \sigma _{t}\right\rangle ^{2}={\frac {1}{T-s}}\int \limits _{s}^{T}\sigma (t)\sigma (t-s)\;dt-\left[{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\sigma (t)\;dt\right]^{2}.$

(15)

Заметим, что это не единственная возможность в случае конечной выборки длительностью $\textstyle T$. В любом случае мы требуем, чтобы ковариация () была равна нулю, если $\textstyle \sigma (t)=const$. Дисперсия положительной величины $\textstyle \sigma _{t}$ равна $\textstyle \gamma _{0}={\overline {\theta ^{2}}}\,\left\langle \sigma ^{2}(t)\right\rangle -\left\langle \sigma (t)\right\rangle ^{2}$. Соответственно, автокорреляционный коэффициент $\textstyle \rho _{s}=\gamma _{s}/\gamma _{0}$ позволяет найти зависимость от параметра сдвига в различных ситуациях нестационарности (см. приложение D).

Таким образом, автокорреляции между мерами волатильности могут возникать по причине достаточно гладкой нестационарности, а не в силу стохастической природы волатильности. Возникает естественный вопрос: не обязаны ли наблюдаемые на различных финансовых рынках заметные автокорреляции волатильности подобному механизму?

Примчания

---

Когда автокорреляции не затухают <<	Оглавление	>> Корреляция разностей