Пластичность волатильности:Назад к нормальному распределению

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Автокорреляция остатков << Оглавление >> Квазистационарность волатильности

Как уже упоминалось во введении, существует большое число исследований, которые изучают распределение вероятности логарифмической доходности. Общепринятым стал факт его ненормальности. Однако, когда мы говорим о плотности вероятности как функции только доходности , мы, очевидно, подразумеваем стационарность случайных чисел , так как не вводим зависимости от времени. Чтобы получить более или менее надёжные статистические результаты, при построении выбирается как можно более широкий интервал времени, содержащий большое число данных .

В условиях нестационарности подобные действия заметно искажают "истинный" вид распределения. Если статистические параметры зависят от времени, то и плотность распределения также не будет стационарной . Будем считать, что нестационарность является параметрической и сосредоточена только в волатильности . Пусть для справедливо распределение Гаусса ():

(23)

Второй и четвёртый моменты равны: и в общем случае, несмотря на гауссовость распределения, его "интегральный" эксцесс без учёта нестационарности становится отличным от нуля:

(24)

В модельном примере 20-летнего блуждания с удвоением волатильности эксцесс объединённых данных равен 27/25=1.08. В более общем случае на негауссовость могут влиять и другие виды нестационарности, например, снос доходности: .

Посмотрим, что произойдёт с эмпирическими данными после устранения нестационарности. Для этого разделим все на величину волатильности в данный момент времени. Её текущее значение будем получать при помощи сглаживания HP-фильтром дневных модифицированных амплитуд размаха . Таким образом, мы проводим следующее преобразование исходных логарифмических доходностей:

(25)

Подобная нормализация делает промодулированные функцией случайные числа стационарными.

Ниже в таблице приведены статистические параметры логарифмической доходности индекса S\&P500 за период 1990-2008. Общее число торговых дней равно , доля положительных значений во всех случаях 52.8\%.

Volat tbl1d.png

Первая строка соответствует статистикам до преобразования нормирования (). Затем идут статистики после преобразования, в котором использовалось сглаживание с различным параметром .

Стоит обратить внимание на колонки и . Видно, что сглаживание радикально уменьшает значение этих параметров. Это происходит даже для достаточно плавной функции , соответствующей . Ниже на рисунке она представлена более толстой линией:

Volat pic24.png

Отметим также тот факт, что волатильность после нормирования несколько больше единицы. Это свидетельствует о том, что для фондового рынка необходимо использовать поправочный множитель в отношении и фактически без коэффициента .

Чем меньше парамер , тем сильнее изгибы волатильности , так как на усреднении начинают сказываться флуктуации доходности. Понятно, что в этом случае происходит уменьшение эксцесса даже для стационарных негауссовых случайных чисел. Чтобы контролировать этот эффект, проведём следующий эксперимент. Исходные пары ежедневной доходности и волатильности произвольным образом перемешаем для устранения нестационарности. После этого будем применять сглаживание HP-фильтром и нормализацию () как к исходным данным (original), так и к перемешанным (mixed). Ниже на рисунках представлена зависимость эксцесса (слева) и вероятности попадания доходности в одну сигму (справа), как функций параметра сглаживания .

Volat pic25.png

Хорошо видно, что выше значений эксцесс и вероятность для перемешанных данных убывают очень слабо. В то же время статистические параметры негауссовости исходных данных стремительно падают.

В качестве некоторого критерия оптимального значения можно выбрать точку, в которой разница между статистикой по перемешанным и исходным данным достигает своего максимального значения.

Ещё одним аргументом существенного вклада эффектов нестационарности в негауссовость распределения является разворачивающийся в 2008-м году финансовый кризис. Как видно из таблицы, эксцесс за период 1990-2008 составил . Однако, достаточно отбросить волатильный 2008-й год, и эксцесс уменьшится в три раза до значения . Количество торговых дней, по которым он вычислялся, уменьшается при этом всего на 5\% до .

Ниже приведен график зависимости эксцесса и вероятности от параметра сглаживания для перемешанных и исходных данных ежедневных доходностей индекса S\&P500 за период 1990-2007:

Volat pic26.png

Видно, что, хотя начальное значение эксцесса достаточно невелико, оно, тем не менее, статистически значимо падает при устранении в данных нестационарности. Можно считать значимым для нормализованных данных эксцесс порядка , т.е. в 4-е раза меньше, чем у исходных.

Приведём гистограммы распределения плотности вероятности и граф нормальной вероятности [1], формально построенные по исходным нестационарным данным:

Volat pic27.png

и данным после процедуры их нормализации ():

Volat pic28.png

Линия без маркеров на рисунках соответствует распределению Гаусса. Граф нормальной вероятности является зависимостью связи , где - интегральное нормальное распределение, а - эмпирическое интегральное распределение для доходностей. Если эмпирическое распределение является гауссовым, то этот граф должен быть прямой линией. Видно, что после нормализации плотность вероятности становится существенно более нормальной. Отклонения от прямой на графе особенно заметны для больших отрицательных выбросов, что связано с редкими негативными шоковыми воздействиями на рынок.

Рассмотрим, для сравнения, распределение вероятности ежедневных доходностей валютного рынка на примере курса EURUSD за период 1999-2008. Основные статистические параметры до нормирования (первая строка) и после сглаживания с различными параметрами приведены в таблице ниже:

Volat tbl1e.png

Видно, что у исходных данных сравнительно небольшой эксцесс, однако после сглаживания он уменьшается ещё сильнее. Среднее значение волатильности после нормировки близко к единице. Это говорит о том, что является хорошей несмещённой оценкой ежедневной волатильности доходности курса.

Тест на статистическую значимость падения эксцесса и вероятности свидетельствует о близком к нулю эксцессе нормированных доходностей:

Volat pic29.png

Соответствующая гистограмма и граф нормальной вероятности имеют вид:

Volat pic30.png

В результате получается практически каноническое нормальное распределение с отклонениями, достаточно типичными для сравнительно небольшой выборки ().

Мы не будем проводить более детальный статистический анализ формы распределения, ограничившись этими иллюстративными примерами. Предполагается (см. Заключение), что наблюдаемые данные являются смесью нормально распределённых флуктуаций рынка, промодулированных нестационарной волатильностью, и редких шоковых воздействий. Поэтому даже после устранения нестационарности данных в них могут оставаться шоковые выбросы, которые делают суммарное распределение слабо-негауссовым.

Примчания

  1. E.F. Fama, 1965, The behavior of stock-market prices, The Journal of Business, Vol.38, No.1, pp.34-105

Автокорреляция остатков << Оглавление >> Квазистационарность волатильности