Пластичность волатильности:Корреляция разностей

Материал из synset
Версия от 18:52, 27 февраля 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад) (Выделение гладкой нестационарности)
Перейти к: навигация, поиск
Нестационарная статистика << Оглавление >> Выделение гладкой нестационарности

Простейший способ устранения относительно гладких нестационарностей во временных рядах - это переход к разностям величин. Если испытывает локально постоянный снос, то это будет приводить к появлению автокорреляций. Разность двух последовательных величин подобный снос устраняет. Даже, если тренд данных медленно изменяет своё направление, то в рамках восходящих и нисходящих участков значения разностей меняются незначительно и становятся локально квазистационарными.

Рассмотрим изменение модифицированной амплитуды размаха цены:

(EQN)

В качестве данных возьмём ежедневную статистику по фондовому индексу S\&P500 за период 1990-2008 (4791 торговый день) и курса EURUSD (1999-2008, 2495 дня, исключая праздники). Построим сначала автокорреляционные коэффициенты амплитуд ежедневного размаха цены : \includegraphics{pic/sp_delta.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: S\&P500 и EURUSD коррелограммы амплитуд размаха цены} Как обычно, коэффициенты достаточно высокие, однако автокорреляции для индекса S\&P500 более значительны, чем для курса EURUSD, и имеют меньшие колебания.

Перейдём теперь к разностям амплитуд двух соседних дней. Их автокорреляция тут же резко падает: \includegraphics{pic/sp_delta2.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: S\&P500 и EURUSD коррелограммы после перехода к разностям} Отличия разительны. Второй автокорреляционный коэффициент в случае индекса S\&P500 падает в 24 раза, со значения 0.618 до величины 0.026. Для курса EURUSD снижение составляет 17 раз - с 0.449 до 0.027

Пунктирные линии на всех рисунках означают двойную стандартную ошибку, равную для индекса S\&P500 и для EURUSD.

Наглядно исчезновение корреляционной зависимости можно продемонстрировать на точечных диаграммах связи последовательных значений и .

Ниже на точечных диаграммах явно видны "корреляции" между индекса S\&P500 и их отсутствие для : \includegraphics{pic/sp_base_delta.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Точечные диаграммы для S\&P500 до и после перехода к разностям} На рисунке слева точки заполняют область с характерной формой веника, тогда как справа мы имеем симметричное облако с нулевой корреляцией. Похожие результаты обнуления автокорреляционных коэффициентов получаются также для модулей логарифмической доходности , и других финансовых инструментов.

Заметим, правда, что для разностей существует высокая отрицательная автокорреляция со сдвигом в один день . В примере выше она равна -0.49 для S\&P500 и -0.53 для EURUSD. Однако её происхождение связано не со стохастической динамикой волатильности, а с эффектом перекрытия. Поясним это на следующем примере. Предположим, что справедлива простейшая модель:

(EQN)

где , а - независимые стационарные положительные случайные числа, возникающие по причине ошибок конечности выборки по которой измеряется волатильность. В этом случае изменения имеют нулевое среднее . Первый автоковариационный коэффициент равен:

(EQN)

где - дисперсия случайных величин . Среднее квадрата возникает в слагаемом , которое и ответственно за эффект перекрытия. Аналогичным образом получается дисперсия разности . Поэтому первый автокорреляционный коэффициент в точности равен , что и наблюдается выше. Корреляции со сдвигами будут нулевыми, так как перекрытия уже не возникает.

Тот факт, что для автокорреляций разностей с хорошей степенью точности выполняются соотношения и при свидетельствует в пользу модели (). Однако, если бы параметр был константой, то не возникало бы корреляций между последовательными значениями волатильности (в силу независимости ). Она может возникать, как мы показали выше, в результате плавного изменения величины со временем. Таким образом, фактически , и является гладкой функцией времени.

Как для окончательного прояснения ситуации с , так и для целей дальнейших исследований нам необходима методология выделения гладкой нестационарной составляющей волатильности.


Примчания


Нестационарная статистика << Оглавление >> Выделение гладкой нестационарности