Пластичность волатильности:Корреляция разностей — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 11: Строка 11:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \delta v_t=v_t-v_{t-1}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \delta v_t=v_t-v_{t-1}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(16)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 40: Строка 40:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> v_t = \sigma \cdot \theta_t, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> v_t = \sigma \cdot \theta_t, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(17)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 47: Строка 47:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\langle \delta v_t \cdot \delta v_{t-1}\right\rangle =\sigma^2 \left\langle (\theta_t-\theta_{t-1}) \cdot (\theta_{t-1}-\theta_{t-2})\right\rangle = - \sigma^2 \cdot \left[\;\overline{\theta^2} - \overline{\theta}^{\,2}\;\right] = -\sigma^2\cdot \sigma^2_\theta, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\langle \delta v_t \cdot \delta v_{t-1}\right\rangle =\sigma^2 \left\langle (\theta_t-\theta_{t-1}) \cdot (\theta_{t-1}-\theta_{t-2})\right\rangle = - \sigma^2 \cdot \left[\;\overline{\theta^2} - \overline{\theta}^{\,2}\;\right] = -\sigma^2\cdot \sigma^2_\theta, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(18)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
где <math>\textstyle \sigma^2_\theta</math> - дисперсия случайных величин <math>\textstyle \theta</math>. Среднее квадрата возникает в слагаемом <math>\textstyle -\left\langle \theta_{t-1}\cdot \theta_{t-1}\right\rangle = \overline{\theta^2}</math>, которое и ответственно за эффект перекрытия. Аналогичным образом получается дисперсия разности <math>\textstyle \left\langle \delta v^2_{t}\right\rangle = 2\sigma^2 \sigma^2_\theta</math>. Поэтому первый автокорреляционный коэффициент в точности равен <math>\textstyle \rho_1(\delta v)=-0.5</math>, что и наблюдается выше. Корреляции со сдвигами <math>\textstyle s>1</math> будут нулевыми, так как перекрытия уже не возникает.
 
где <math>\textstyle \sigma^2_\theta</math> - дисперсия случайных величин <math>\textstyle \theta</math>. Среднее квадрата возникает в слагаемом <math>\textstyle -\left\langle \theta_{t-1}\cdot \theta_{t-1}\right\rangle = \overline{\theta^2}</math>, которое и ответственно за эффект перекрытия. Аналогичным образом получается дисперсия разности <math>\textstyle \left\langle \delta v^2_{t}\right\rangle = 2\sigma^2 \sigma^2_\theta</math>. Поэтому первый автокорреляционный коэффициент в точности равен <math>\textstyle \rho_1(\delta v)=-0.5</math>, что и наблюдается выше. Корреляции со сдвигами <math>\textstyle s>1</math> будут нулевыми, так как перекрытия уже не возникает.
  
Тот факт, что для автокорреляций разностей с хорошей степенью точности выполняются соотношения <math>\textstyle \rho_1(\delta v)=-0.5</math> и <math>\textstyle \rho_s(\delta v)=0</math> при <math>\textstyle s>1</math> свидетельствует в пользу модели (). Однако, если бы параметр <math>\textstyle \sigma</math> был константой, то не возникало бы корреляций между последовательными значениями волатильности <math>\textstyle \rho_s( v)=0</math> (в силу независимости <math>\textstyle \theta_t</math>). Она может возникать, как мы показали выше, в результате ''плавного'' изменения величины <math>\textstyle \sigma</math> со временем. Таким образом, фактически <math>\textstyle \sigma=\sigma(t)</math>, и является гладкой функцией времени.
+
Тот факт, что для автокорреляций разностей с хорошей степенью точности выполняются соотношения <math>\textstyle \rho_1(\delta v)=-0.5</math> и <math>\textstyle \rho_s(\delta v)=0</math> при <math>\textstyle s>1</math> свидетельствует в пользу модели (17). Однако, если бы параметр <math>\textstyle \sigma</math> был константой, то не возникало бы корреляций между последовательными значениями волатильности <math>\textstyle \rho_s( v)=0</math> (в силу независимости <math>\textstyle \theta_t</math>). Она может возникать, как мы показали выше, в результате ''плавного'' изменения величины <math>\textstyle \sigma</math> со временем. Таким образом, фактически <math>\textstyle \sigma=\sigma(t)</math>, и является гладкой функцией времени.
  
 
Как для окончательного прояснения ситуации с <math>\textstyle \rho_1(\delta v)</math>, так и для целей дальнейших исследований нам необходима методология выделения гладкой нестационарной составляющей волатильности.
 
Как для окончательного прояснения ситуации с <math>\textstyle \rho_1(\delta v)</math>, так и для целей дальнейших исследований нам необходима методология выделения гладкой нестационарной составляющей волатильности.

Текущая версия на 20:34, 6 марта 2010

Нестационарная статистика << Оглавление >> Выделение гладкой нестационарности

Простейший способ устранения относительно гладких нестационарностей во временных рядах - это переход к разностям величин. Если испытывает локально постоянный снос, то это будет приводить к появлению автокорреляций. Разность двух последовательных величин подобный снос устраняет. Даже, если тренд данных медленно изменяет своё направление, то в рамках восходящих и нисходящих участков значения разностей меняются незначительно и становятся локально квазистационарными.

Рассмотрим изменение модифицированной амплитуды размаха цены:

(16)

В качестве данных возьмём ежедневную статистику по фондовому индексу S\&P500 за период 1990-2008 (4791 торговый день) и курса EURUSD (1999-2008, 2495 дня, исключая праздники). Построим сначала автокорреляционные коэффициенты амплитуд ежедневного размаха цены :

Volat pic14.png

Как обычно, коэффициенты достаточно высокие, однако автокорреляции для индекса S\&P500 более значительны, чем для курса EURUSD, и имеют меньшие колебания.

Перейдём теперь к разностям амплитуд двух соседних дней. Их автокорреляция тут же резко падает:

Volat pic15.png

Отличия разительны. Второй автокорреляционный коэффициент в случае индекса S\&P500 падает в 24 раза, со значения 0.618 до величины 0.026. Для курса EURUSD снижение составляет 17 раз - с 0.449 до 0.027

Пунктирные линии на всех рисунках означают двойную стандартную ошибку, равную для индекса S\&P500 и для EURUSD.

Наглядно исчезновение корреляционной зависимости можно продемонстрировать на точечных диаграммах связи последовательных значений и .

Ниже на точечных диаграммах явно видны "корреляции" между индекса S\&P500 и их отсутствие для :

Volat pic16.png

Точечные диаграммы для S\&P500 до и после перехода к разностям} На рисунке слева точки заполняют область с характерной формой веника, тогда как справа мы имеем симметричное облако с нулевой корреляцией. Похожие результаты обнуления автокорреляционных коэффициентов получаются также для модулей логарифмической доходности , и других финансовых инструментов.

Заметим, правда, что для разностей существует высокая отрицательная автокорреляция со сдвигом в один день . В примере выше она равна -0.49 для S\&P500 и -0.53 для EURUSD. Однако её происхождение связано не со стохастической динамикой волатильности, а с эффектом перекрытия. Поясним это на следующем примере. Предположим, что справедлива простейшая модель:

(17)

где , а - независимые стационарные положительные случайные числа, возникающие по причине ошибок конечности выборки по которой измеряется волатильность. В этом случае изменения имеют нулевое среднее . Первый автоковариационный коэффициент равен:

(18)

где - дисперсия случайных величин . Среднее квадрата возникает в слагаемом , которое и ответственно за эффект перекрытия. Аналогичным образом получается дисперсия разности . Поэтому первый автокорреляционный коэффициент в точности равен , что и наблюдается выше. Корреляции со сдвигами будут нулевыми, так как перекрытия уже не возникает.

Тот факт, что для автокорреляций разностей с хорошей степенью точности выполняются соотношения и при свидетельствует в пользу модели (17). Однако, если бы параметр был константой, то не возникало бы корреляций между последовательными значениями волатильности (в силу независимости ). Она может возникать, как мы показали выше, в результате плавного изменения величины со временем. Таким образом, фактически , и является гладкой функцией времени.

Как для окончательного прояснения ситуации с , так и для целей дальнейших исследований нам необходима методология выделения гладкой нестационарной составляющей волатильности.


Примчания


Нестационарная статистика << Оглавление >> Выделение гладкой нестационарности