Пластичность волатильности:Корреляция разностей

Нестационарная статистика <<	Оглавление	>> Выделение гладкой нестационарности

---

Простейший способ устранения относительно гладких нестационарностей во временных рядах - это переход к разностям величин. Если $\textstyle v_{t}$ испытывает локально постоянный снос, то это будет приводить к появлению автокорреляций. Разность двух последовательных величин подобный снос устраняет. Даже, если тренд данных $\textstyle v_{t}$ медленно изменяет своё направление, то в рамках восходящих и нисходящих участков значения разностей меняются незначительно и становятся локально квазистационарными.

Рассмотрим изменение модифицированной амплитуды размаха цены:

$\delta v_{t}=v_{t}-v_{t-1}.$

(16)

В качестве данных возьмём ежедневную статистику по фондовому индексу S\&P500 за период 1990-2008 (4791 торговый день) и курса EURUSD (1999-2008, 2495 дня, исключая праздники). Построим сначала автокорреляционные коэффициенты амплитуд ежедневного размаха цены $\textstyle \rho _{s}(v)=cor(v_{t},v_{t-s})$:

Как обычно, коэффициенты $\textstyle \rho _{s}$ достаточно высокие, однако автокорреляции для индекса S\&P500 более значительны, чем для курса EURUSD, и имеют меньшие колебания.

Перейдём теперь к разностям амплитуд двух соседних дней. Их автокорреляция $\textstyle \rho _{s}(\delta v)$ тут же резко падает:

Отличия разительны. Второй автокорреляционный коэффициент в случае индекса S\&P500 падает в 24 раза, со значения 0.618 до величины 0.026. Для курса EURUSD снижение составляет 17 раз - с 0.449 до 0.027

Пунктирные линии на всех рисунках означают двойную стандартную ошибку, равную $\textstyle 0.03=2/{\sqrt {4791}}$ для индекса S\&P500 и $\textstyle 0.04=2/{\sqrt {2495}}$ для EURUSD.

Наглядно исчезновение корреляционной зависимости можно продемонстрировать на точечных диаграммах связи последовательных значений $\textstyle v_{t}$ и $\textstyle v_{t-s}$.

Ниже на точечных диаграммах явно видны "корреляции" между $\textstyle \{v_{t},v_{t-1}\}$ индекса S\&P500 и их отсутствие для $\textstyle \{\delta v_{t},\delta v_{t-2}\}$:

Точечные диаграммы для S\&P500 до и после перехода к разностям} На рисунке слева точки заполняют область с характерной формой веника, тогда как справа мы имеем симметричное облако с нулевой корреляцией. Похожие результаты обнуления автокорреляционных коэффициентов получаются также для модулей логарифмической доходности $\textstyle |r_{t}|$, и других финансовых инструментов.

Заметим, правда, что для разностей $\textstyle \delta v_{t}$ существует высокая отрицательная автокорреляция со сдвигом в один день $\textstyle \rho _{1}(\delta v)=cor(\delta v_{t},\delta v_{t-1})$. В примере выше она равна -0.49 для S\&P500 и -0.53 для EURUSD. Однако её происхождение связано не со стохастической динамикой волатильности, а с эффектом перекрытия. Поясним это на следующем примере. Предположим, что справедлива простейшая модель:

$v_{t}=\sigma \cdot \theta _{t},$

(17)

где $\textstyle \sigma =const$, а $\textstyle \theta _{t}$ - независимые стационарные положительные случайные числа, возникающие по причине ошибок конечности выборки по которой измеряется волатильность. В этом случае изменения $\textstyle \delta v_{t}=\sigma \cdot (\theta _{t}-\theta _{t-1})$ имеют нулевое среднее $\textstyle {\overline {\delta v_{t}}}=0$. Первый автоковариационный коэффициент равен:

$\left\langle \delta v_{t}\cdot \delta v_{t-1}\right\rangle =\sigma ^{2}\left\langle (\theta _{t}-\theta _{t-1})\cdot (\theta _{t-1}-\theta _{t-2})\right\rangle =-\sigma ^{2}\cdot \left[\;{\overline {\theta ^{2}}}-{\overline {\theta }}^{\,2}\;\right]=-\sigma ^{2}\cdot \sigma _{\theta }^{2},$

(18)

где $\textstyle \sigma _{\theta }^{2}$ - дисперсия случайных величин $\textstyle \theta$. Среднее квадрата возникает в слагаемом $\textstyle -\left\langle \theta _{t-1}\cdot \theta _{t-1}\right\rangle ={\overline {\theta ^{2}}}$, которое и ответственно за эффект перекрытия. Аналогичным образом получается дисперсия разности $\textstyle \left\langle \delta v_{t}^{2}\right\rangle =2\sigma ^{2}\sigma _{\theta }^{2}$. Поэтому первый автокорреляционный коэффициент в точности равен $\textstyle \rho _{1}(\delta v)=-0.5$, что и наблюдается выше. Корреляции со сдвигами $\textstyle s>1$ будут нулевыми, так как перекрытия уже не возникает.

Тот факт, что для автокорреляций разностей с хорошей степенью точности выполняются соотношения $\textstyle \rho _{1}(\delta v)=-0.5$ и $\textstyle \rho _{s}(\delta v)=0$ при $\textstyle s>1$ свидетельствует в пользу модели (17). Однако, если бы параметр $\textstyle \sigma$ был константой, то не возникало бы корреляций между последовательными значениями волатильности $\textstyle \rho _{s}(v)=0$ (в силу независимости $\textstyle \theta _{t}$). Она может возникать, как мы показали выше, в результате плавного изменения величины $\textstyle \sigma$ со временем. Таким образом, фактически $\textstyle \sigma =\sigma (t)$, и является гладкой функцией времени.

Как для окончательного прояснения ситуации с $\textstyle \rho _{1}(\delta v)$, так и для целей дальнейших исследований нам необходима методология выделения гладкой нестационарной составляющей волатильности.

Примчания

---

Нестационарная статистика <<	Оглавление	>> Выделение гладкой нестационарности