Пластичность волатильности:Когда автокорреляции не затухают — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 13: Строка 13:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{dx}{x} = \mu\;dt+\sigma\;\delta W. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{dx}{x} = \mu\;dt+\sigma\;\delta W. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
Смоделируем "двадцатилетнюю" (5000=20<math>\textstyle \cdot</math>250 торговых дней) эволюцию цены, при которой в первые 10 лет волатильность была постоянной и равной <math>\textstyle \sigma_1=1\%</math>, а во второе десятилетие она скачком повысилась до <math>\textstyle \sigma_2=2\%</math>. При этом винеровская переменная представляется в виде <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math>, где <math>\textstyle \varepsilon</math> - нормально распределённое случайное число с нулевым средним и единичной дисперсией. В качестве малого интервала времени <math>\textstyle dt</math> выбрана одна секунда <math>\textstyle dt=1/(24\cdot 60\cdot 60)</math>, см. приложение С.
 
Смоделируем "двадцатилетнюю" (5000=20<math>\textstyle \cdot</math>250 торговых дней) эволюцию цены, при которой в первые 10 лет волатильность была постоянной и равной <math>\textstyle \sigma_1=1\%</math>, а во второе десятилетие она скачком повысилась до <math>\textstyle \sigma_2=2\%</math>. При этом винеровская переменная представляется в виде <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math>, где <math>\textstyle \varepsilon</math> - нормально распределённое случайное число с нулевым средним и единичной дисперсией. В качестве малого интервала времени <math>\textstyle dt</math> выбрана одна секунда <math>\textstyle dt=1/(24\cdot 60\cdot 60)</math>, см. приложение С.
  
Динамика ежедневных значений модифицированной амплитуды размаха <math>\textstyle v_t=a_t-|r_t|/2</math> на "переломных" 10-м и 11-ом годах имела вид (время в "днях"): \includegraphics{pic/cor_2s.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Два года блуждания на "перескоке" волатильности}
+
Динамика ежедневных значений модифицированной амплитуды размаха <math>\textstyle v_t=a_t-|r_t|/2</math> на "переломных" 10-м и 11-ом годах имела вид (время в "днях"):  
  
Подобный ряд с нестационарностью в виде ступеньки обладает заметными автокорреляционными коэффициентами для модуля доходности (второй рисунок) и ещё большими - для амплитуды размаха (третий рисунок): \includegraphics{pic/cor_2s_cor.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Автокорреляции доходности, её модуля и модифицированной амплитуды.} Характерно, что они очень медленно убывают с ростом параметра сдвига <math>\textstyle s</math>. В противоположность <math>\textstyle |r_t|</math> и <math>\textstyle v_t</math>, корреляции доходностей цены <math>\textstyle r_t</math> (первый рисунок ниже), в пределах двух стандартных ошибок, равны нулю.
+
<center>[[File:volat_pic10.png]]</center>
 +
 
 +
Подобный ряд с нестационарностью в виде ступеньки обладает заметными автокорреляционными коэффициентами для модуля доходности (второй рисунок) и ещё большими - для амплитуды размаха (третий рисунок):  
 +
 
 +
<center>[[File:volat_pic11.png]]</center>
 +
 
 +
Характерно, что они очень медленно убывают с ростом параметра сдвига <math>\textstyle s</math>. В противоположность <math>\textstyle |r_t|</math> и <math>\textstyle v_t</math>, корреляции доходностей цены <math>\textstyle r_t</math> (первый рисунок ниже), в пределах двух стандартных ошибок, равны нулю.
  
 
Таким образом, несмотря на статистическую независимость двух соседних дней, возникают корреляционные закономерности. Обратим внимание, что независимыми являются не только доходности <math>\textstyle r</math>, но и их модули <math>\textstyle |r|</math>, или амплитуды размаха <math>\textstyle v</math>. Если бы волатильность была постоянной двадцать лет, то все коррелограммы <math>\textstyle \rho_s(|r|)</math> и <math>\textstyle \rho_s(v)</math> были бы равны нулю. При появлении нестационарности ситуация изменяется.
 
Таким образом, несмотря на статистическую независимость двух соседних дней, возникают корреляционные закономерности. Обратим внимание, что независимыми являются не только доходности <math>\textstyle r</math>, но и их модули <math>\textstyle |r|</math>, или амплитуды размаха <math>\textstyle v</math>. Если бы волатильность была постоянной двадцать лет, то все коррелограммы <math>\textstyle \rho_s(|r|)</math> и <math>\textstyle \rho_s(v)</math> были бы равны нулю. При появлении нестационарности ситуация изменяется.
  
Причину подобного эффекта несложно понять. Ниже на трёх точечных диаграммах представлены значения логарифмических доходностей, их модулей и модифицированных амплитуд двух соседних дней в течение первого десятилетия эволюции с постоянной волатильностью <math>\textstyle \sigma=1\%</math>. \includegraphics{pic/cor_2s_rr1.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Первое десятилетие} В первом случае точки образуют практически симметричное облако, и, естественно, корреляция равна нулю. Во втором и третьем - полной симметрии нет, так как этим свойством не обладают плотности вероятности <math>\textstyle P(|r|)</math> и <math>\textstyle P(v)</math>. Однако, в силу независимости последовательных дней, корреляционный коэффициент равен нулю. Если, например, <math>\textstyle x=v_t</math>, а <math>\textstyle y=v_{t-1}</math>, то независимость означает, что совместная плотность вероятности равна произведению плотностей вероятности каждой величины <math>\textstyle P(x,y)=P(x)\cdot P(y)</math>. Поэтому ''при любом'' распределении ковариация будет равна нулю: <math>\textstyle \overline{(x-\bar{x})(y-\bar{y})}=0</math>.
+
Причину подобного эффекта несложно понять. Ниже на трёх точечных диаграммах представлены значения логарифмических доходностей, их модулей и модифицированных амплитуд двух соседних дней в течение первого десятилетия эволюции с постоянной волатильностью <math>\textstyle \sigma=1\%</math>.  
 +
 
 +
<center>[[File:volat_pic12.png]]</center>
 +
 
 +
В первом случае точки образуют практически симметричное облако, и, естественно, корреляция равна нулю. Во втором и третьем - полной симметрии нет, так как этим свойством не обладают плотности вероятности <math>\textstyle P(|r|)</math> и <math>\textstyle P(v)</math>. Однако, в силу независимости последовательных дней, корреляционный коэффициент равен нулю. Если, например, <math>\textstyle x=v_t</math>, а <math>\textstyle y=v_{t-1}</math>, то независимость означает, что совместная плотность вероятности равна произведению плотностей вероятности каждой величины <math>\textstyle P(x,y)=P(x)\cdot P(y)</math>. Поэтому ''при любом'' распределении ковариация будет равна нулю: <math>\textstyle \overline{(x-\bar{x})(y-\bar{y})}=0</math>.
  
 
Важным является тот факт, что для доходностей <math>\textstyle r_t</math> центр облака расположен в начале координат, тогда как для положительно определённых величин <math>\textstyle |r_t|</math> и <math>\textstyle v_t</math> он сдвинут вправо и вверх в область положительных значений.
 
Важным является тот факт, что для доходностей <math>\textstyle r_t</math> центр облака расположен в начале координат, тогда как для положительно определённых величин <math>\textstyle |r_t|</math> и <math>\textstyle v_t</math> он сдвинут вправо и вверх в область положительных значений.
  
Добавим теперь на диаграммы точки второго десятилетия: \includegraphics{pic/cor_2s_rr2.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Оба десятилетия} Для логарифмических доходностей (первая диаграмма) происходит наложение двух облаков с одинаковым центром <math>\textstyle \bar{r}=0</math>. Результирующее облако остаётся симметричным, поэтому автокорреляция по-прежнему равна нулю. В случае амплитуд размаха (третья диаграмма) возникают два несовпадающих облака, одно их которых соответствует <math>\textstyle \sigma_1=1\%</math>, а второе <math>\textstyle \sigma_2=2\%</math> (напомним, что <math>\textstyle \bar{v}=1.197\sigma</math>). Перемычка между облаками размывается, и в результате получается фигура с характерной формой веника (верхнее облако имеет больший размер). Через неё можно, методом наименьших квадратов, провести прямую, наклон которой и будет пропорционален корреляционному коэффициенту.
+
Добавим теперь на диаграммы точки второго десятилетия:  
 +
 
 +
<center>[[File:volat_pic13.png]]</center>
 +
 
 +
Для логарифмических доходностей (первая диаграмма) происходит наложение двух облаков с одинаковым центром <math>\textstyle \bar{r}=0</math>. Результирующее облако остаётся симметричным, поэтому автокорреляция по-прежнему равна нулю. В случае амплитуд размаха (третья диаграмма) возникают два несовпадающих облака, одно их которых соответствует <math>\textstyle \sigma_1=1\%</math>, а второе <math>\textstyle \sigma_2=2\%</math> (напомним, что <math>\textstyle \bar{v}=1.197\sigma</math>). Перемычка между облаками размывается, и в результате получается фигура с характерной формой веника (верхнее облако имеет больший размер). Через неё можно, методом наименьших квадратов, провести прямую, наклон которой и будет пропорционален корреляционному коэффициенту.
  
 
Диаграмма не изменится, если мы возьмём сдвиг в два дня <math>\textstyle \{v_{t}, v_{t-2}\}</math>, так как, за исключением переходных точек в момент скачка волатильности, значения каждого десятилетия будут кластеризоваться в своём облаке.
 
Диаграмма не изменится, если мы возьмём сдвиг в два дня <math>\textstyle \{v_{t}, v_{t-2}\}</math>, так как, за исключением переходных точек в момент скачка волатильности, значения каждого десятилетия будут кластеризоваться в своём облаке.

Текущая версия на 20:13, 6 марта 2010

Эмпирические особенности автокорреляций << Оглавление >> Нестационарная статистика

Когда автокорреляции не затухают

Медленное снижение значений автокорреляционного коэффициента с увеличением параметра сдвига, на самом деле, должно настораживать. Существуют очень простые модели, не связанные со стохастичностью волатильности, в которых возникает подобный эффект.

Рассмотрим, например, обычное логарифмическое блуждание:

(6)

Смоделируем "двадцатилетнюю" (5000=20250 торговых дней) эволюцию цены, при которой в первые 10 лет волатильность была постоянной и равной , а во второе десятилетие она скачком повысилась до . При этом винеровская переменная представляется в виде , где - нормально распределённое случайное число с нулевым средним и единичной дисперсией. В качестве малого интервала времени выбрана одна секунда , см. приложение С.

Динамика ежедневных значений модифицированной амплитуды размаха на "переломных" 10-м и 11-ом годах имела вид (время в "днях"):

Volat pic10.png

Подобный ряд с нестационарностью в виде ступеньки обладает заметными автокорреляционными коэффициентами для модуля доходности (второй рисунок) и ещё большими - для амплитуды размаха (третий рисунок):

Volat pic11.png

Характерно, что они очень медленно убывают с ростом параметра сдвига . В противоположность и , корреляции доходностей цены (первый рисунок ниже), в пределах двух стандартных ошибок, равны нулю.

Таким образом, несмотря на статистическую независимость двух соседних дней, возникают корреляционные закономерности. Обратим внимание, что независимыми являются не только доходности , но и их модули , или амплитуды размаха . Если бы волатильность была постоянной двадцать лет, то все коррелограммы и были бы равны нулю. При появлении нестационарности ситуация изменяется.

Причину подобного эффекта несложно понять. Ниже на трёх точечных диаграммах представлены значения логарифмических доходностей, их модулей и модифицированных амплитуд двух соседних дней в течение первого десятилетия эволюции с постоянной волатильностью .

Volat pic12.png

В первом случае точки образуют практически симметричное облако, и, естественно, корреляция равна нулю. Во втором и третьем - полной симметрии нет, так как этим свойством не обладают плотности вероятности и . Однако, в силу независимости последовательных дней, корреляционный коэффициент равен нулю. Если, например, , а , то независимость означает, что совместная плотность вероятности равна произведению плотностей вероятности каждой величины . Поэтому при любом распределении ковариация будет равна нулю: .

Важным является тот факт, что для доходностей центр облака расположен в начале координат, тогда как для положительно определённых величин и он сдвинут вправо и вверх в область положительных значений.

Добавим теперь на диаграммы точки второго десятилетия:

Volat pic13.png

Для логарифмических доходностей (первая диаграмма) происходит наложение двух облаков с одинаковым центром . Результирующее облако остаётся симметричным, поэтому автокорреляция по-прежнему равна нулю. В случае амплитуд размаха (третья диаграмма) возникают два несовпадающих облака, одно их которых соответствует , а второе (напомним, что ). Перемычка между облаками размывается, и в результате получается фигура с характерной формой веника (верхнее облако имеет больший размер). Через неё можно, методом наименьших квадратов, провести прямую, наклон которой и будет пропорционален корреляционному коэффициенту.

Диаграмма не изменится, если мы возьмём сдвиг в два дня , так как, за исключением переходных точек в момент скачка волатильности, значения каждого десятилетия будут кластеризоваться в своём облаке.

Несколько сложнее ситуация обстоит со второй точечной диаграммой для модулей доходности . Визуально она не отличается от аналогичной для первого десятилетия. Корреляция, тем не менее, возникает. Чтобы понять её происхождение, необходимо расширить стандартные статистические соотношения на случай нестационарных данных.

Примчания



Эмпирические особенности автокорреляций << Оглавление >> Нестационарная статистика