Пластичность волатильности:Квазистационарность волатильности — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Пластичность волатильности:Квазистационарность волатильности» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Пластичность_волатильности|Оглавление]] <<  
+
  | width="40%"|[[Пластичность_волатильности:Назад к нормальному распределению|Назад к нормальному распределению]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Пластичность волатильности|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Пластичность волатильности|Оглавление]]  
  | width="40%" align="right"| >> [[Пластичность_волатильности:Измерение волатильности|Измерение волатильности]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Пластичность_волатильности:Заключение|Заключение]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
  
 +
Нулевые автокорреляционные коэффициенты между последовательными значениями волатильности, вообще говоря, не исключают возможности её стохастического описания. В частности, мы можем записать следующую простейшую дискретную модель:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> r_t = \sigma_t \cdot \nu_t,\;\;\;\;\;\;\;\sigma_t = \sigma\cdot(1+\beta\cdot\mu_t), </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(26)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \nu_i</math> и <math>\textstyle \mu_i</math> - независимые случайные числа, а <math>\textstyle \sigma</math>, <math>\textstyle \beta</math> - константы. Однако в таком виде интерпретация волатильности <math>\textstyle \sigma_t</math> как случайной величины достаточно бессмысленна. Фактически, мы возвращаемся к обычной стационарной модели <math>\textstyle r_t=\sigma \varepsilon_t</math>, где <math>\textstyle \varepsilon_t=\nu_t + \beta \cdot \mu_t\nu_t</math>. В частности, если <math>\textstyle \nu_i</math> и <math>\textstyle \mu_i</math> имеют нормальное распределение, то распределение для <math>\textstyle \varepsilon_i</math> будет уже не нормальным c эксцессом, равным <math>\textstyle 6\beta^2(2+\beta^2)/(1+\beta^2)^2</math>. Тем не менее, вопрос о ''локальном'' постоянстве "истинной" волатильности остаётся открытым.
 +
 +
Проведём некоторые статистические оценки. Рассмотрим сперва модифицированную амплитуду вероятности. Разброс её значений при постоянной волатильности <math>\textstyle \sigma</math> происходит по причине конечной ширины плотности распределения <math>\textstyle P(v)</math>. Её аналитический вид можно получить из уравнения (31) приложения A в виде следующего ряда:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> P(v)=(32 v^4-9)\mathbf{N}(2v) +\sum^\infty_{k=2}\left\{ \frac{4(2k-1)^2}{k^2(k-1)^2}\mathbf{N}_1 -\frac{8k^2\bigl(1+k^2-4(k^4-k^2)v^2\bigr)}{(k^2-1)^2}\mathbf{N}_2\right\}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(27)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{N}_1=\mathbf{N}(2(2k-1)v)</math>, <math>\textstyle \mathbf{N}_2=\mathbf{N}(2kv)</math> - нормированные гауссовы функции (см. приложение A). Ниже приведены интегральные вероятности попадания величины <math>\textstyle \sigma=v\sqrt{2\pi}/3</math> в интервал <math>\textstyle [0..\sigma_0]</math> (первая строка - <math>\textstyle \sigma_0</math>, вторая - вероятность в процентах):
 +
 +
<center>[[File:volat_tbl1f.png]]</center>
 +
 +
В интервал <math>\textstyle [0\;..\; 1.5]</math> модифицированная амплитуда размаха <math>\textstyle v\sqrt{2\pi}/3</math> должна попадать около 96.4\% дней. Ниже 0.5 она может опускаться крайне редко.
 +
 +
Если мы устраним (25) при помощи сглаживания (<math>\textstyle \nu=4</math>) нестационарность в ежедневных модифицированных амплитудах размаха <math>\textstyle v</math> для EURUSD за 2007-2008 год, получится следующая динамика:
 +
 +
<center>[[File:volat_pic31.png]]</center>
 +
 +
Пунктирные линии в случае броуновского блуждания соответствуют вероятности 96\% попадания в интервал <math>\textstyle 0.5 < v\sqrt{2\pi}/3 < 1.5</math>. Видно, что за исключением достаточно редких выбросов большинство ежедневных волатильностей, оцененных по модифицированной амплитуде вероятности, попадают в пунктирный коридор. Выбросов из него несколько больше, чем 4\% (в году около 250 торговых дней, 250*4\%=10). Незначительное превышение можно интерпретировать, как редкие шоковые воздействия на рынок, не связанные с "типичной" для него динамикой, особенно в кризисный 2008-й год.
 +
 +
Как мы уже обсуждали выше, "ежедневную" волатильность можно получить, не только при помощи модифицированных амплитуд размаха, но и вычисляя её значения на основе внутридневных лагов для, например, пятнадцати - минутных точек. Ниже приведена динамика волатильности, после устранения нестационарности, полученная таким способом за период 2007-2008 для курса EURUSD:
 +
 +
<center>[[File:volat_pic32.png]]</center>
 +
 +
В данном случае разброс значений связан с конечностью выборки, по которой вычисляется волатильность (<math>\textstyle n=96=4\cdot 24</math>). Чтобы провести уровни значимости, необходимо знание соответствующего распределения вероятности. Как известно, ошибка вычисления стационарной волатильности определяется моментами четвёртого порядка и, в случае большого эксцесса, она будет достаточно велика.
 +
 +
Внутридневные 15-минутные данные обладают заметным эксцессом. При формальном его вычислении для EURUSD 2004-2008 получается значение порядка 20. Такой высокий эксцесс обусловлен долгосрочной нестационарностью, существенными циклическими эффектами активности внутри дня, а также рядом других специфических причин, на которых мы сейчас останавливаться не будем.
 +
 +
Для получения оценки уровней значимости проведём следующий простой эксперимент с данными. Вычислим логарифмические доходности на основе 15 - минутных лагов курса EURUSD. Затем, для сохранения внутридневной периодичности, перемешаем доходности с одинаковыми значениями времени суток. Другим словами, случайным образом переставляем все лаги в 00:00, отдельно от них перемешиваем лаги в 00:15, и т.д. По этим синтетическим данным, потерявшим любую память, кроме внутридневных циклов, вычислим значения внутридневной волатильности. Отнормируем их таким образом, чтобы среднее было равно единице, и построим соответствующее распределение вероятности. Оказывается, что в коридор <math>\textstyle 1\pm 0.4</math> попадет около 96\% данных. Именно эти уровни, характеризующие "типичный" разброс волатильности за счёт конечности данных, проведены на рисунке выше пунктирными линиями. Данные достаточно хорошо укладываются в этот коридор.
 +
 +
Подчеркнем, что проделанные выше вычисления являются скорее оценкой, чем строгим статистическим анализом, который, возможно, и неуместен без построения полной модели нестационарности данных на различных временных масштабах. Однако выглядит достаточно правдоподобным предположение о локальном постоянстве волатильности для доходности дневных лагов. Другими словами, дневная волатильность рынка, по всей видимости, является гладкой, достаточно медленно изменяющейся функцией времени. В данный момент её значение можно считать постоянным и определяющем стохастическую динамику доходности цен финансового инструмента.
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Пластичность_волатильности|Оглавление]] <<  
+
  | width="40%"|[[Пластичность_волатильности:Назад к нормальному распределению|Назад к нормальному распределению]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Пластичность волатильности|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Пластичность волатильности|Оглавление]]  
  | width="40%" align="right"| >> [[Пластичность_волатильности:Измерение волатильности|Измерение волатильности]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Пластичность_волатильности:Заключение|Заключение]]
 
|}
 
|}

Текущая версия на 20:38, 6 марта 2010

Назад к нормальному распределению << Оглавление >> Заключение

Нулевые автокорреляционные коэффициенты между последовательными значениями волатильности, вообще говоря, не исключают возможности её стохастического описания. В частности, мы можем записать следующую простейшую дискретную модель:

(26)

где и - независимые случайные числа, а , - константы. Однако в таком виде интерпретация волатильности как случайной величины достаточно бессмысленна. Фактически, мы возвращаемся к обычной стационарной модели , где . В частности, если и имеют нормальное распределение, то распределение для будет уже не нормальным c эксцессом, равным . Тем не менее, вопрос о локальном постоянстве "истинной" волатильности остаётся открытым.

Проведём некоторые статистические оценки. Рассмотрим сперва модифицированную амплитуду вероятности. Разброс её значений при постоянной волатильности происходит по причине конечной ширины плотности распределения . Её аналитический вид можно получить из уравнения (31) приложения A в виде следующего ряда:

(27)

где , - нормированные гауссовы функции (см. приложение A). Ниже приведены интегральные вероятности попадания величины в интервал (первая строка - , вторая - вероятность в процентах):

Volat tbl1f.png

В интервал модифицированная амплитуда размаха должна попадать около 96.4\% дней. Ниже 0.5 она может опускаться крайне редко.

Если мы устраним (25) при помощи сглаживания () нестационарность в ежедневных модифицированных амплитудах размаха для EURUSD за 2007-2008 год, получится следующая динамика:

Volat pic31.png

Пунктирные линии в случае броуновского блуждания соответствуют вероятности 96\% попадания в интервал . Видно, что за исключением достаточно редких выбросов большинство ежедневных волатильностей, оцененных по модифицированной амплитуде вероятности, попадают в пунктирный коридор. Выбросов из него несколько больше, чем 4\% (в году около 250 торговых дней, 250*4\%=10). Незначительное превышение можно интерпретировать, как редкие шоковые воздействия на рынок, не связанные с "типичной" для него динамикой, особенно в кризисный 2008-й год.

Как мы уже обсуждали выше, "ежедневную" волатильность можно получить, не только при помощи модифицированных амплитуд размаха, но и вычисляя её значения на основе внутридневных лагов для, например, пятнадцати - минутных точек. Ниже приведена динамика волатильности, после устранения нестационарности, полученная таким способом за период 2007-2008 для курса EURUSD:

Volat pic32.png

В данном случае разброс значений связан с конечностью выборки, по которой вычисляется волатильность (). Чтобы провести уровни значимости, необходимо знание соответствующего распределения вероятности. Как известно, ошибка вычисления стационарной волатильности определяется моментами четвёртого порядка и, в случае большого эксцесса, она будет достаточно велика.

Внутридневные 15-минутные данные обладают заметным эксцессом. При формальном его вычислении для EURUSD 2004-2008 получается значение порядка 20. Такой высокий эксцесс обусловлен долгосрочной нестационарностью, существенными циклическими эффектами активности внутри дня, а также рядом других специфических причин, на которых мы сейчас останавливаться не будем.

Для получения оценки уровней значимости проведём следующий простой эксперимент с данными. Вычислим логарифмические доходности на основе 15 - минутных лагов курса EURUSD. Затем, для сохранения внутридневной периодичности, перемешаем доходности с одинаковыми значениями времени суток. Другим словами, случайным образом переставляем все лаги в 00:00, отдельно от них перемешиваем лаги в 00:15, и т.д. По этим синтетическим данным, потерявшим любую память, кроме внутридневных циклов, вычислим значения внутридневной волатильности. Отнормируем их таким образом, чтобы среднее было равно единице, и построим соответствующее распределение вероятности. Оказывается, что в коридор попадет около 96\% данных. Именно эти уровни, характеризующие "типичный" разброс волатильности за счёт конечности данных, проведены на рисунке выше пунктирными линиями. Данные достаточно хорошо укладываются в этот коридор.

Подчеркнем, что проделанные выше вычисления являются скорее оценкой, чем строгим статистическим анализом, который, возможно, и неуместен без построения полной модели нестационарности данных на различных временных масштабах. Однако выглядит достаточно правдоподобным предположение о локальном постоянстве волатильности для доходности дневных лагов. Другими словами, дневная волатильность рынка, по всей видимости, является гладкой, достаточно медленно изменяющейся функцией времени. В данный момент её значение можно считать постоянным и определяющем стохастическую динамику доходности цен финансового инструмента.


Назад к нормальному распределению << Оглавление >> Заключение