Пластичность волатильности:Измерение волатильности — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 34: Строка 34:
 
:<center><math>v = a - \frac{|r|}{2}.</math></center>
 
:<center><math>v = a - \frac{|r|}{2}.</math></center>
  
Ниже в таблице приведены статистические параметры (среднее значение (<math>\textstyle av</math>), среднеквадратичное отклонение от него (<math>\textstyle si</math>), асимметрия распределения (<math>\textstyle as</math>) и его эксцесс (<math>\textstyle ex</math>) при <math>\textstyle \sigma=1</math>: \small {\small Таблица 1.: Статистические параметры распределений для <math>\textstyle |r|</math>, <math>\textstyle a</math> и <math>\textstyle v</math>.}
+
Ниже в таблице приведены статистические параметры (среднее значение (<math>\textstyle av</math>), среднеквадратичное отклонение от него (<math>\textstyle si</math>), асимметрия распределения (<math>\textstyle as</math>) и его эксцесс (<math>\textstyle ex</math>) при <math>\textstyle \sigma=1</math>:  
  
 
<center>[[File:volat_tbl1.png]]</center>
 
<center>[[File:volat_tbl1.png]]</center>
  
Видно, что относительная ширина распределения модифицированной амплитуды размаха <math>\textstyle \sigma_v/\bar{v}=0.25</math>, что лучше, чем у простого размаха <math>\textstyle a</math>. Статистические параметры показывают также, что распределение для "<math>\textstyle v</math>" более симметрично вокруг максимума и имеет меньший эксцесс, чем "<math>\textstyle a</math>". Приведём вид распределения для <math>\textstyle P(v)</math> вместе с <math>\textstyle P(a)</math> (пунктир), и выражения для среднего <math>\textstyle v</math> и его квадрата в случае броуновского блуждания:\\ \parbox{6cm}{ <center> \includegraphics{pic/prob_basis_v.eps}\\ } \parbox{6cm}{
+
Видно, что относительная ширина распределения модифицированной амплитуды размаха <math>\textstyle \sigma_v/\bar{v}=0.25</math>, что лучше, чем у простого размаха <math>\textstyle a</math>. Статистические параметры показывают также, что распределение для "<math>\textstyle v</math>" более симметрично вокруг максимума и имеет меньший эксцесс, чем "<math>\textstyle a</math>". Приведём вид распределения для <math>\textstyle P(v)</math> вместе с <math>\textstyle P(a)</math> (пунктир), и выражения для среднего <math>\textstyle v</math> и его квадрата в случае броуновского блуждания:
  
:<center><math>\bar{v} = \frac{3}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sigma,</math></center>
+
<center>[[File:volat_pic3.png]]</center>
 
 
:<center><math>\overline{v^2} = \left(4\ln 2 -\frac{5}{4}\right) \cdot \sigma^2.</math></center>
 
 
 
} {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Плотности вероятности <math>\textstyle P(v)</math>, <math>\textstyle P(a)</math> и средние для <math>\textstyle v</math> и <math>\textstyle v^2</math>} </center>
 
  
 
Таким образом, модифицированная амплитуда размаха оказывается лучшей мерой волатильности, чем простой размах, и существенно лучше, чем модуль логарифмической доходности. В приложении B. мы сравниваем модифицированную амплитуду размаха с некоторыми другими известными способами измерения волатильности. При аналогичной или меньшей ошибке определения волатильности мера "<math>\textstyle v</math>" имеет существенно более простое определение и несмещённость для малого числа лагов, поэтому далее в статье мы будем широко её использовать.
 
Таким образом, модифицированная амплитуда размаха оказывается лучшей мерой волатильности, чем простой размах, и существенно лучше, чем модуль логарифмической доходности. В приложении B. мы сравниваем модифицированную амплитуду размаха с некоторыми другими известными способами измерения волатильности. При аналогичной или меньшей ошибке определения волатильности мера "<math>\textstyle v</math>" имеет существенно более простое определение и несмещённость для малого числа лагов, поэтому далее в статье мы будем широко её использовать.

Текущая версия на 18:40, 6 марта 2010

Введение << Оглавление >> Внутридневная волатильность

Исторические данные ценовой динамики различных финансовых инструментов обычно агрегированы в точки, между которыми существует определённый период времени (лаг). Наиболее доступными являются дневные лаги, реже встречаются часовые, и ещё реже - минутные. Кроме цены закрытия (последнее значение лага), общепринятыми являются: котировка открытия (первая цена лага), максимальное и минимальное значения цены. При помощи этих четырех цен можно образовать три независимые относительные величины, которые мы будем называть базисом лага:

Volat pic1.png

Высота подъема и глубина опускания цены - величины положительные. С их помощью определяется амплитуда размаха цены . Доходность может быть как положительной, так и отрицательной.

В моделях аддитивного винеровского блуждания четвёрка непосредственно являются ценами. Для логарифмического блуждания это логарифмы ценовых значений . Поэтому в этом случае, например, размах будет равен логарифму отношения максимума к минимуму цены , доходность - логарифмической доходности , и т.д.

Под волатильностью лага длительностью будем подразумевать усреднение по достаточно большому числу лагов отклонения доходности от среднего: . Если волатильность постоянна, то значения положительных величин в той или иной мере характеризуют её значение. Чем волатильность рынка выше, тем вероятнее будут их большие значения. В частности, если сноса нет (), средние значения пропорциональны волатильности: (см. приложение A).

Однако, информационная значимость каждого из параметров и их возможных комбинаций различна. Распределения плотности вероятности для и , ,, в случае винеровского процесса, имеют следующий вид (пунктирные линии - это средние значения при ):

Volat pic2.png

Из четвёрки только амплитуда размаха имеет достаточно узкий максимум в окрестности среднего значения. Плотности вероятности остальных величин монотонно снижаются с их ростом. Заметим также, что , и с высокой вероятностью могут иметь значения близкие к нулю. Амплитуда размаха "", наоборот, избегает быть нулевой и вероятность того, что , равна 0.002. Так, часто рынок закрывается с близким к нулю приростом цен , в то время как его волатильность в течении дня была существенной.

Чем уже распределение вероятности для меры измерения волатильности, тем она лучше. Для положительно определённой величины относительную степень узости распределения можно характеризовать отношением , где - усреднение квадратов отклонения от среднего . Для амплитуды размаха , что в более чем в два раза меньше аналогичного отношения, например, для высоты .

Возникает естественный вопрос - не существует ли комбинации базисных величин , которая имела бы более узкое распределение, чем амплитуда ценового размаха ""? Этой теме посвящена обширная литература (см., например [1] - [2]).

В этой статье мы будем использовать простую модификацию амплитуды размаха. Если динамика цены внутри лага сопровождается существенным трендом (не важно, вверх или вниз), то волатильность может быть ниже, чем при том же размахе, но в отсутствие тренда (). Поэтому целесообразно понижать значение амплитуды размаха в случае больших . Будем называть модифицированной амплитудой размаха следующую величину:

Ниже в таблице приведены статистические параметры (среднее значение (), среднеквадратичное отклонение от него (), асимметрия распределения () и его эксцесс () при :

Volat tbl1.png

Видно, что относительная ширина распределения модифицированной амплитуды размаха , что лучше, чем у простого размаха . Статистические параметры показывают также, что распределение для "" более симметрично вокруг максимума и имеет меньший эксцесс, чем "". Приведём вид распределения для вместе с (пунктир), и выражения для среднего и его квадрата в случае броуновского блуждания:

Volat pic3.png

Таким образом, модифицированная амплитуда размаха оказывается лучшей мерой волатильности, чем простой размах, и существенно лучше, чем модуль логарифмической доходности. В приложении B. мы сравниваем модифицированную амплитуду размаха с некоторыми другими известными способами измерения волатильности. При аналогичной или меньшей ошибке определения волатильности мера "" имеет существенно более простое определение и несмещённость для малого числа лагов, поэтому далее в статье мы будем широко её использовать.

Примчания

  1. M. Parkinson, 1980 {The extreme value method for estimating the variance of the rate of return}, The Journal of Business, Vol.53, No.1.
  2. D. Yang, Q. Zhang, 2000, {Drift-independent volatility estimation based on high, low, open, and close prices}, The Journal of Business, Vol.73, No.3, pp.477-491.

Введение << Оглавление >> Внутридневная волатильность