Пластичность волатильности:Внутридневная волатильность

Измерение волатильности <<	Оглавление	>> Эмпирические особенности автокорреляций

---

Продемонстрируем эффективность модифицированной амплитуды размаха на реальных данных. Рассмотрим 15-минутные котировки на рынке Форекс за период с 2004 по 2008 год для пары EURUSD. Произведём их агрегирование в дневные точки, вычисляя, кроме минимального и максимального значения, также внутридневную волатильность на основе логарифмических доходностей 15-минутных лагов:

$\sigma ^{2}={\frac {n}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(r_{i}-{\bar {r}})^{2}.$

(EQN)

В течение дня мы имеем $\textstyle n=96=4\cdot 24$ пятнадцатиминутных лагов. Множитель $\textstyle n$ в () приводит 15-минутную волатильность к дневному значению. Временная динамика внутридневной волатильности имела следующий вид (1250 торговых дней, без учёта выходных и основных праздников): \includegraphics{pic/volat_s_EURUSD.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Внутридневная волатильность EURUSD}

Видно, что, начиная с осени 2008-го года, волатильность валютного рынка, как, впрочем, и других финансовых рынков, существенно выросла, в связи с обострением финансового кризиса. Однако, даже в докризисный период волатильность имеет ярко выраженную нестационарную составляющую.

Предположим, что полученная по выборке из $\textstyle n=96$ чисел выборочная волатильность лучше характеризует "истинную" волатильность, чем только дневной базис из трёх чисел $\textstyle \{h,l,r\}$ , , , . Более качественная мера волатильности, основанная на базисе, должна быть лучше скоррелирована с внутридневной волатильностью. Построим точечные диаграммы зависимости ежедневных значений $\textstyle v_{t}$, $\textstyle a_{t}$ и $\textstyle |r_{t}|$ от внутридневной волатильности $\textstyle \sigma _{t}$ (EURUSD 2004-2008): \includegraphics{pic/volat_s_ar.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Зависимости $\textstyle v(\sigma )$, $\textstyle a(\sigma )$ и $\textstyle |r|(\sigma )$ } Несложно видеть, что $\textstyle v_{t}$ и $\textstyle a_{t}$ существенно лучше связаны с $\textstyle \sigma _{t}$, чем $\textstyle |r_{t}|$. Переход от амплитуд "$\textstyle a$" к модифицированным амплитудам "$\textstyle v$" даёт определённый выигрыш, однако он, конечно, не столь значителен.

Похожие результаты получаются и для других валют. Наклоны регрессионных прямых $\textstyle v_{t}/\sigma _{t}$ и $\textstyle a_{t}/\sigma _{t}$ для шести валютных пар имеют следующие значения: \small ::TABLE DELETED В каждом случае ошибка линейной аппроксимации для $\textstyle v$ была меньше, чем для $\textstyle a$, и существенно меньше, чем для $\textstyle |r|$.

Несмотря на заметный разброс, значения $\textstyle v/\sigma$, $\textstyle a/\sigma$ и $\textstyle |r|/\sigma$ близки к своим теоретическим величинам 1.197, 1.596 и 0.798, возникающим при случайном винеровском блуждании. Тем не менее, необходимо помнить, что, например, отношение $\textstyle v/\sigma =3/{\sqrt {2\pi }}$ справедливо только для броуновского блуждания с нормальным распределением доходности лага. На практике это не совсем так, и отношение $\textstyle v/\sigma$ может быть равно некоторой константе, отличной от $\textstyle 3/{\sqrt {2\pi }}$, определение значения которой мы обсудим ниже.

Ещё одним признаком значимости модифицированной амплитуды размаха цены являются автокорреляционные коэффициенты, которые будут объектом нашего интереса:

$\rho _{s}(v)\;=\;cor(v_{t},v_{t-s})\;=\;{\frac {\left\langle (v_{t}-{\bar {v}})(v_{t-s}-{\bar {v}})\right\rangle }{\sigma _{v}^{2}}},$

(EQN)

где усреднение проводится по всем наблюдаемым значениям $\textstyle v_{t}=v_{1},..,v_{n}$. Для дневных курсов EURUSD (2004-2008) получаются следующие диаграммы автокорреляции как функции параметра сдвига $\textstyle s$: \includegraphics{pic/cor_s_a_r.eps}\\ {\small Рис.\arabic{myfig}\addtocounter{myfig}{1}: Коррелограммы волатильности для EURUSD} Видно, что наиболее высокими являются автокорреляции внутридневной волатильности $\textstyle \rho _{1}(\sigma )=0.77$, затем идут модифицированные амплитуды размаха цены $\textstyle \rho _{1}(v)=0.54$, простой амплитуды $\textstyle \rho _{1}(a)=0.47$, и самые маленькие значения коэффициентов у модуля логарифмической доходности $\textstyle \rho _{1}(|r|)=0.11$.

Высокие автокорреляции появляются при рассмотрении самых разнообразных финансовых инструментов и являются довольно интригующим фактом . Для сравнения, 1-й автокорреляционный коэффициент доходности курса EURUSD равен $\textstyle \rho _{1}(r)=-0.02$, что с учётом двойной статистической ошибки 0.06 (1250 торговых дней) соответствует отсутствию корреляции. Эта непредсказуемость рынка является проявлением его эффективности.

Однако для модулей доходности, и тем более волатильностей, это не так. На основании этого факта строится огромное количество стохастических моделей, претендующих на предсказание будущих значений волатильности. В большинстве своём эти модели носят эмпирический характер, не объясняя причин появления автокорреляций. Одной из наших задач будет предложить подобное объяснение.

Примчания

---

Измерение волатильности <<	Оглавление	>> Эмпирические особенности автокорреляций