Пластичность волатильности:Введение — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 34: Строка 34:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> r_k = \sigma_k \;\varepsilon_k, \;\;\;\;\;\;\sigma^2_k = \alpha_0 + \sum^p_{i=1} \alpha_i \;\sigma^2_{k-i} + \sum^q_{i=1} \beta_i \;r^2_{k-i}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> r_k = \sigma_k \;\varepsilon_k, \;\;\;\;\;\;\sigma^2_k = \alpha_0 + \sum^p_{i=1} \alpha_i \;\sigma^2_{k-i} + \sum^q_{i=1} \beta_i \;r^2_{k-i}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 45: Строка 45:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{dx}{x}=\mu dt + \sigma(t)\delta W_1,\;\;\;\;\;\;d \ln \sigma = \beta\cdot(\alpha -\ln \sigma)\;dt + \gamma \delta W_2, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{dx}{x}=\mu dt + \sigma(t)\delta W_1,\;\;\;\;\;\;d \ln \sigma = \beta\cdot(\alpha -\ln \sigma)\;dt + \gamma \delta W_2, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  

Текущая версия на 20:11, 6 марта 2010

Оглавление << Оглавление >> Измерение волатильности

По-видимому, наиболее характерным свойством финансовых рынков является их нестационарность. Статистические параметры ценовой динамики изменяются со временем. Этот факт неприятен как для исследователей, так и для участников рынка, так как обнаруженные закономерности или построенные торговые системы со временем утрачивают свою актуальность. Наилучшим решением проблемы нестационарности стало бы включение её в вероятностную модель функционирования рынка.

Одной из важнейших характеристик доходности финансового инструмента является его волатильность. Не вызывает сомнения, что волатильность изменяется со временем [1]. Существуют периоды "спокойного" поведения рынка и периоды с повышенной волатильностью. Волатильность характеризует "температуру" рынка, величину его эмоционального напряжения. Предсказание её будущего значения является исключительно важным, например, для определения цен опционов или управления рисками портфельных инвесторов. Понимание причин и характера нестационарности волатильности приводит также к более глубокому проникновению в сущность функционирования финансовых рынков.

В термин волатильность вкладывают, как минимум, четыре различных смысла - 1) эмоциональная характеристика рынка, 2) выборочное средне - квадратичное отклонение логарифмических доходностей, 3) его "истинное" значение по генеральной совокупности, и 4) подразумеваемая волатильность в опционных контрактах [2]. Мы используем волатильность во втором и третьем смыслах. Нас будет интересовать, какое определение выборочной волатильности приводит к минимальной ошибке в той или иной модели случайного процесса. "Истинная" волатильность, естественно, является величиной ненаблюдаемой, и вопрос её природы и оценки особенно усложняется нестационарным характером рынков.

Общепринятым подходом является рассмотрение волатильности как стохастической величины [3], [4], [5]. Одна из причин этого - высокие автокорреляционные коэффициенты между волатильностями или квадратами доходности, посчитанными за различные последовательные периоды времени [6]. После практически нулевых корреляций между логарифмическими доходностями обнаружение подобной закономерности оказывает неизгладимое впечатление.

В вероятностных моделях с переменной волатильностью блуждание цены описывается дискретными или непрерывными уравнениями, параметры которых, в свою очередь, являются случайными. Широкую популярность получила модель GARCH() и её всевозможные обобщения [7], [8]. В этом случае временная шкала разбивается на конечные интервалы времени (лаги) длительностью , так что рассматриваются только цены "закрытия" этих интервалов , где Логарифмические доходности являются независимыми случайными величинами, с переменной волатильностью , квадрат которой линейно зависит от предыдущих квадратов волатильностей и доходностей:

(1)

Здесь и далее - это нескоррелированные нормированные случайные числа с нулевым средним и единичной дисперсией: , , . Черта сверху, как обычно, обозначает среднее по всем возможным реализациям .

В непрерывном классе моделей как для ценовой динамики, так и для динамики волатильности выбирается то или иное стохастическое уравнение Ито. Например [9], цена может совершать обычное логарифмическое блуждание, а волатильность - подчиняться уравнению Орнштейна - Уленбека:

(2)

где , - нескоррелированные винеровские переменные . Собственно, именно для этого класса моделей принято использование термина "стохастическая волатильность", хотя мы его будем использовать в несколько более широком смысле.

И в дискретных, и в непрерывных моделях иногда вводится одна или несколько "скрытых" стохастических переменных, функцией которых является волатильность. Возможны и другие, достаточно сложные подходы [10]. Общее, что их объединяет, - это вероятностное описание локальной динамики значений волатильности (дискретное или непрерывное) [11].

Существуют обширные эмпирические исследования, посвящённые тестированию предсказательной силы стохастических моделей [12], и критика их методики [13]. В целом, в последние годы, начал накапливаться определённый скепсис касательно прогностических возможностей подобных моделей. Недавно были высказаны соображения о том, что автокорреляционные коэффициенты положительно определённых величин могут возникать по причине их нестационарности [14].

С эффектом нестационарности непосредственно связана также проблема поиска распределения вероятностей доходности финансового инструмента. Хорошо известно, что это распределение не описывается функцией Гаусса. Оно имеет толстые хвосты и, как следствие, высокий эксцесс и большие вероятности заметных выбросов доходностей. Начиная с революционных работ Мандельброта [15], этот факт постепенно стал стандартом в финансовом инженеринге. Однако, при построении распределения вероятности случайных чисел неявно подразумевается их стационарность, которой мы не имеем на финансовых рынках.

Идея о том, что нестационарность может быть причиной негауссовости распределения доходности восходит ещё к классической работе [16]. Там же она подвергается критике. Тем не менее, вопрос о характере распределения и влиянии на него нестационарности требует более аккуратного рассмотрения.

Ниже мы приводим аргументы в пользу того, что волатильность является гладкой, а не стохастической функцией времени. Будет дано объяснение происхождения высоких автокорреляционных коэффициентов и негауссовости распределения доходностей. Сформулирована гипотеза о том, что волатильность обладает свойством пластичности. Под воздействием нерегулярных, относительно редких и принципиально не предсказываемых шоковых воздействий на рынок она постепенно деформируется. После прекращения подобных воздействий происходит процесс релаксации, в результате которого волатильность плавно снижается.

Последовательность материала статьи следующая. Сначала мы обсудим новую меру измерения волатильности и продемонстрируем её эффективность. Затем будут перечисленны основные эмпирические свойства автокорреляционных коэффициентов, связанных с волатильностью, и предложена простая нестационарная модель, в которой подобная автокорреляция возникает. Механизму появления автокорреляций с характерными свойствами будет дана очень наглядная графическая форма и предложен простой математический аппарат для проведения необходимых вычислений.

Свидетельством того, что подобный механизм реализуется на финансовых рынках, служат нулевые автокорреляционные коэффициенты для разностей волатильности соседних дней или её остатков после выделения гладкой составляющей . Будут приведены эмпирические доказательства этих фактов на примерах фондового и валютного рынков.

Далее мы покажем, что нормирование доходностей на приводит к существенному снижению эксцесса распределения, приводя в ряде случаев его к нормальному виду. Будут разработаны определённые статистические критерии контроля степени сглаживания данных. Рассмотрены аргументы касательно локального постоянства "истинной" волатильности. В заключении сформулирован ряд предположений о возможных свойствах динамики волатильности.

В приложения, представляющие собой замкнутые информационные блоки, вынесены различные технические детали.

Примчания

  1. G. W. Schwert, 1989, {Why Does Stock Market Volatility Change Over Time?} The Journal of Finance, Vol.44, No.5, pp. 1115-1153.
  2. M. McAleer, M.C. Medeiros, 2008 {Realized volatility: A review}, Econometric Reviews, 27(1-3) pp.10-45.
  3. T.G. Andersen, T. Bollerslev, 1998, {Answering the skeptics: Yes, standard volatility models do provide accurate forecasts}, International Economic Review, Vol. 39, No. 4, pp.885-905.
  4. {Stochastic volatility. Selected Readings}, 2005, Edited by N. Shephard, Oxford.
  5. {Forecasting Volatility in the Financial Markets}, 2007, Third edition, Edited by J.Knight, S. Satchell,
  6. R.F. Engle, A.J. Patton, 2001, {What good is volatility model?}.
  7. R.F. Engle, 1982, {Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation}, Econometrica, Vol.50, No.4, pp.987-1008.
  8. R. Engle, 2002, {New frontiers for ARCH models} Journal of Applied Econometrics, Vol.15, pp.425-446.
  9. S. Alizadeh, M.W. Brandt, F.X. Diebold, 2002, {Range - based estimation of stochastic volatility models}, The Journal of Finance, Vol.LVII, No.3. p.1047
  10. T. Eraker, 2004, {Do stock prices and volatility jump? Reconciling evidence from spot and option prices.} The Journal of Finance, Vol.LIX, No.3 pp.1367-1402.
  11. Ser-Huang Poon, C.W.J. Granger, 2003, {Forecasting Volatility in Financial Markets: A Review}, Journal of Economic Literature, Vol.XLI, pp. 478-539.
  12. T.A. Silvey, 2007 {An investigation of the relative performance of GARCH models versus simple rules in forecasting volatility}, in "Forecasting Volatility in the Financial Markets", Third edition.
  13. George A. Christodoulakis and Stephen E. Satchell, 2007, {10 Hashing GARCH: a reassessment of volatility forecasting performance} in "Forecasting Volatility in the Financial Markets", Third edition.
  14. T. Mikosch, C. Starica, 2004, {Nonstationarities in financial time series, the long-range dependence, and the IGARCH effects.} The Review of Economics and Statistics, 86(1) pp.378-390.
  15. B. Mandelbrot, 1963 {The variation of certain speculative prices}, The Journal of Business, Vol.36, No.4, pp.394-419.
  16. E.F. Fama, 1965, {The behavior of stock-market prices}, The Journal of Business, Vol.38, No.1, pp.34-105

Оглавление << Оглавление >> Измерение волатильности