Парадокс двух конвертов

Материал из synset
Версия от 06:43, 14 сентября 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад) (Парадокс возвращается)
Перейти к: навигация, поиск

Формулировка парадокса

Рассмотрим следующую игру:

Есть 2 конверта. В один из них вкладывается сумма , во второй — . Значение неизвестно и каждый раз случайно изменяется. Конверты неразличимы. Игрок открывает один из конвертов и видит лежащую там сумму. У него есть две возможности - забрать её или выбрать второй, нераспечатанный конверт. Какая из этих возможностей в среднем даст большую прибыль?

Так как конверты неразличимы, вероятность того, что в данном конверте лежит сумма или , равна 1/2. Значения сумм, лежащих в каждом конверте, заранее неизвестны. Знание суммы в открытом конверте не добавляет информации о том, какая сумма лежит во втором. Поэтому любой выбор даст одинаковую доходность.

С другой стороны. Пусть игрок видит сумму . Тогда во втором конверте лежит или . Эти две возможности равноправны. Поэтому средний доход от выбора второго конверта равен:

Таким образом, игрок при выборе второго конверта получает больше, чем при выборе первого, который даёт ему только . Независимо от значения суммы , относительная доходность при выборе закрытого конверта больше на .

Два разумных и вполне правдоподобных рассуждения приводят к несовпадающим результатам. Это противоречие и называется "парадоксом двух конвертов". Существуют также версии названия: "парадокс двух шкатулок", "парадокс двух карманов" и т.д.

Парадокс был предложен в 1953 году Кратчиком (Maurice Kraitchik), в терминах двух карманов. Широкую популярность парадокс получил благодаря Гарднеру (Martin Gardner), который описал его в 1982 г. в книге "Aha! Gotcha". В дальнейшем карманы превратились в конверты.

Вокруг парадокса время от времени вспыхивают споры в интернет-сообществе. Иногда появляются "сенсационные" заявления о том, что некто парадокс наконец решил. С другой стороны, часто в общих словах происходит, в принципе, верное объяснение сути, но без конкретных расчётов. В результате создаётся ощущение философского надувательства.

Несмотря на то, что парадокс достаточно прост, мне не удалось быстро найти подходящий источник, а так как сын срочно требовал разъяснений, пришлось сесть и написать сей трактат.

Уточнение задачи

Математика работает с непротиворечиво определёнными моделями. Пока исходные формулировки нечётки, любые рассуждения могут привести к любому ответу, в результате чего и возникают парадоксы такого рода.

В задаче с двумя конвертами необходимо сначала определить способ формирования конвертов. Вариантов может быть множество. Для определённости будем считать, что ведущий игру выбирает некоторую сумму , которую считает большей. Соответственно во второй конверт он кладёт . После этого конверты случайно перемешиваются.

Второе уточнение связано со способом выбора большей суммы . Предполагается, что она выбирается случайно. Это означает, что существует некоторое распределение вероятностей выбора того или иного значения . Возможны два варианта:

  • 1) Суммы, участвующие в игре, являются дискретными. Например, это может быть ограниченная последовательность с возможными парами конвертов , и . Можно также рассматривать неограниченную (в одну или обе стороны) последовательность. Например: . В любом случае вероятности будут дискретными числами , где — номер значения суммы.
  • 2) Суммы, участвующие в игре — непрерывные вещественные положительные числа. Их вероятность необходимо уже задавать при помощи плотности вероятности (или распределения вероятностей). В этом случае вероятность того, что при некотором малом , выбранное число попадёт в интервал , равняется .

В обоих вариантах должно выполняться условие нормировки, при котором полная вероятность любого исхода принимается за единичную. Если число возможных значений сумм бесконечно, то условия нормировки имеют вид:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \sum^\infty_{i=0} p_i = 1,\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\; \int\limits^\infty_0 P(x)dx = 1.}

Понятно, что для равновероятных значений (т.е. или ) эти соотношения выполнятся не могут. Другими словами, невозможно ни в теории, ни на практике реализовать равновероятное распределение на бесконечном интервале.

Пусть, например, случайная величина непрерывна. Тогда возможны только два варианта для плотности вероятности:

  • 1) равномерное распределение с границей так, что при .
  • 2) неравномерное распределение, при котором убывает при .

Ниже на левом рисунке представлен первый вариант, а на правом, соответственно, второй:

Envel Px.png

Понятно, что первый вариант на самом деле эквивалентен второму, но имеет более "изломанное убывание" на бесконечности. Тем не менее, нам будет удобнее их различать.

Задача двух конвертов в более общей постановке предполагает формирование различных стратегий поведения игрока и выбор из них наиболее доходной. Стратегии могут учитывать или не учитывать информацию о сумме в открытом конверте. Например:

  • : Всегда забираю открытый конверт.
  • : Всегда забираю закрытый конверт.
  • : Если , беру открытый конверт, иначе — закрытый.

В случае, если конверты были тщательно перемешаны, первые две стратегии должны приводить к одинаковому доходу. Они никак не используют знания об , и в открытый конверт в этом случае можно даже не заглядывать. Собственно, это и утверждалось в первом варианте рассуждения. Поэтому не верны именно рассуждения при вычислении среднего . Нам предстоит разобраться в чём состоит проблема.

Ниже мы рассмотрим сначала влияние краевого эффекта для равномерного распределения с границей. Это будет проделано отдельно для непрерывного и дискретного случаев. Мы увидим, что даже при формальном "отодвигании" границы на бесконечность существует выигрышная стратегия, и в ряде случаев симметрия между открытым и закрытым конвертами не восстанавливается. В заключение мы приведём примеры моделирования задачи о двух конвертах на C++.

Равномерное ограниченное распределение

Пусть в конвертах не могут появляться суммы большие, чем (верхняя граница). Как мы договорились выше, ведущий случайно выбирает из интервала большую сумму , а меньшую получает делением на 2. Понятно, что меньшая сумма будет также равновероятно распределена, но уже на интервале . После запечатывания конверты случайным образом перемешиваются.

Envel 24.png

Выше на правом рисунке изображено дерево вариантов, сопровождающих открытие конверта. С вероятностями 1/2 в открытом конверте может находиться меньшая и большая сумма. Если эта сумма большая, она снова равновероятно может быть меньше или больше .

Таким образом, мы имеем три исхода при открытии первого конверта со следующими вероятностями:

Рассмотрим сначала пассивные стратегии: "всегда берём открытый конверт" () и "всегда берём закрытый конверт" ().

Если в открытом конверте находится сумма , то понятно, что средняя доходность первой стратегии равна . Конверты были перемешаны, значение никак не учитывается, поэтому вторая стратегия должна иметь такую же доходность . Попробуем, не используя соображений симметрии, вычислить при помощи известных вероятностей. Рассмотрим следующее рассуждение: С вероятностью 1/2 в закрытом конверте находится (большая сумма). С такой же вероятностью там (меньшая сумма). Поэтому:

Упс. Фактически мы повторили рассуждение парадокса и, несмотря на все уточнения формулировки задачи, снова пришли к противоречию. Что неверно в наших вычислениях?

Зайдём с другого конца и вычислим абсолютный средний доход, получаемый игроком при выборе денег из открытого конверта. Большая и меньшая сумма в открытом конверте может появиться равновероятно. Меньшая сумма имеет равномерное распределение на интервале . Поэтому её среднее значение равно . Большая сумма, равномерно распределённая на интервале , имеет среднее значение . Поэтому среднее значение суммы в открытом конверте равно:

Очевидно, что такое же рассуждение и результат справедливы для средней доходности от выбора закрытого конверта. Поэтому средние абсолютные доходности первой и второй стратегий равны .

Но что же тогда означают соотношения , , полученные выше, и какая при их выводе была сделана ошибка? Ответ прост. Вероятности появления большей или меньшей суммы в открытом конверте действительно одинаковы. Однако, выражая доход, полученный от выбора закрытого конверта через сумму , которая обнаружилась в открытом, мы вычисляем условное среднее. Т.е. вопрос стоит так: какова в среднем сумма в закрытом конверте, если в открытом мы видим . Знание значения меняет вероятности и для сумм и в закрытом конверте. Например, если , то в закрытом конверте заведомо находится меньшая сумма и , . Поэтому в этом случае:

Если же , то вероятности того, что в открытом конверте лежит меньшая или большая суммы , изменяются. Это уже условные вероятности, рассчитанные после получении информации о том, что . Они по-прежнему пропорциональны и , т.е. меньшая сумма в открытом конверте в два раза более вероятна. Однако, их необходимо отнормировать, чтобы суммарная вероятность была равна единице. В результате имеется две возможности в открытом конверте:

Таким образом, до открытия вероятности были 1/2 и 1/2. После открытия и получения информации они стали 2/3 и . Соответственно в закрытом конверте эти вероятности обратные.

Теперь не составляет труда записать условное среднее для стратегии при условии, что :

Окончательно, правильное выражение для , т.е. для значения условного среднего дохода при выборе закрытого конверта, если в открытом обнаружена сумма , имеет вид:

Имея это условное среднее можно ещё раз вычислить абсолютное среднее . Для этого необходимо найти распределение вероятностей обнаружить в открытом конверте сумму . Так как меньшая сумма существует на интервале , обозначим ступеньку её плотности вероятностей как . Соответственно, для большей суммы это функция-ступенька . Конверты перемешаны, поэтому плотность вероятности для суммы в открытом конверте равна:

Другими словами, каждую ступеньку необходимо разделить на 2 и результаты сложить. Итоговая плотность вероятности представлена ниже на правом рисунке:

Envel sum.png

Обратим внимание, что в 2 раза уже и выше чем , как и должно быть для выполнения условия нормировки (см. левый рисунок).

Чтобы найти абсолютный средний доход от выбора второго конверта, необходимо провести усреднение:

Этот же результат ранее мы получили более простым способом.

Если с плотностью вероятностей усреднить , то получится такое же выражение: .

Перейдём теперь к более активной и доходной стратегии. Если игрок в открытом конверте видит , то он должен тут же брать эту сумму, так как в закрытом конверте лежит заведомо меньше. В этом случае выигрыш . Если , то более вероятно, что в открытом конверте меньшая сумма, поэтому стоит выбрать закрытый конверт. В этом случае . Поэтому, объединяя оба варианта, запишем условное среднее выигрыша от "разумной стратегии" следующим образом:

Чтобы найти средний доход, получаемый при выборе разумной стратегии, необходимо снова проинтегрировать c плотностью :

Относительная доходность "разумной стратегии" по сравнению с пассивным выбором любого конверта оказывается равной . Это значение не зависит от , поэтому "отодвигание границы" на бесконечность ничего не изменит.

Можно изменить правила игры для ослабления краевого эффекта. Пусть, если в открытом конверте лежит , раунд игры останавливается. Игрок ничего не выбирает и не получает. Игра происходит, только если .

Найдём доходы от стратегии выбора открытого конверта и выбора закрытого конверта . При выборе открытого конверта игрок всегда получает ту сумму которую видит: . При выборе закрытого конверта необходимо воспользоваться условными вероятностями:

Закрытый конверт на 50\% более доходный (конверты неравноправны!).

Абсолютная средняя доходность равна:

где — среднее значение меньшей суммы, а — среднее значение большей на интервале (при условии, что игра началась, т.е. ). Фактически сразу можно написать , так как это середина интервала для сумм, возможных в первом конверте. Поэтому при взятии закрытого конверта получается доход . Эта сумма несколько ниже, чем в игре которая начинается независимо от суммы в открытом конверте.

Неравномерное распределение

В случае неравномерного распределения очевидно, что конверты неравноправны. Кроме функции необходимо фиксировать также правило формирования конвертов. Пусть ведущий игру, как и раньше, выбирает случайное число с распределением , считая его максимальной суммой. Минимальная получается из делением на 2. Затем конверты перемешиваются.

Если известно распределение для случайной величины , то распределение для величины имеет вид . Действительно, пусть вычисляется среднее от некоторой функции . Его можно вычислить при помощи вероятности :

Во втором равенстве сделана замена переменной интегрирования . Так как последний интеграл усредняет по , то множитель при функции и является плотностью распределения для .

Таким образом, в приведенном выше алгоритме формирования случайно перемешанных конвертов, сумма в открытом конверте имеет следующую плотность вероятности:

В частности, среднее значение суммы в открытом конверте равно:

Естественно, что такая же сумма в среднем будет находиться и в закрытом конверте.

Найдём теперь оптимальную стратегию игры. Для определённости будем считать, что итоговая вероятность , обнаружить сумму в открытом конверте монотонно снижается с ростом . Тогда существует некоторая оптимальная константа для которой следующая стратегия приносит максимальный доход:

: Если в открытом конверте обнаружена сумма и при этом

забираем открытый конверт, иначе — закрытый.

Наша задача состоит в вычислении оптимального значения .

Запишем условное среднее. Если , то . Если же , для закрытого конверта необходимо воспользоваться условными вероятностями. Если мы видим в открытом конверте сумму , то вероятность того, что это меньшая сумма пропорциональна . Вероятность большой суммы пропорциональна . Поэтому в этом случае:

Вероятности разделены на , чтобы сумма условных вероятностей была равна единице. Найдём среднее значение :

После несложного преобразования, получаем:

Второй интеграл является средними доходом от пассивных стратегий. Первый интеграл — бонус за активность. Найдём его максимум, взяв производную по и приравняв её нулю. Это даст следующее уравнение для определения :

Для определённости вычислим доходности для распределения в виде убывающей экспонентны:

Это функция нормирована на единицу и имеет единичное среднее . Поэтому средний доход от пассивного выбора открытого или закрытого конвертов составляет .

Оптимальное значение константы равно . Соответственно, средний доход от активной стратегии будет равен:

В результате, активная стратегия оказывается на 12\% более доходной, чем пассивные.

В случае немонотонных функций плотности распределения, эффективная доходность может быть существенно более затейливой, чем простой пороговый выбор одного или другого конверта.

Парадокс возвращается

Существует очень любопытная модификация парадокса для дискретных сумм с убывающими вероятностями. Она была предложена в Интернете при обсуждении классического парадокса двух конвертов участником SeTosha. Мы рассмотрим несколько более общую формулировку этой задачи.

Зафиксируем некоторое число , и будем считать, что для игры формируются пары конвертов со следующими вероятностями:

Таким образом с вероятностью большая сумма в конверте равна , а меньшая в раз меньше, где . Несложно видеть, что сумма всех вероятностей равна единице, и такое распределение вполне реализуемо на практике. Как и раньше, после того как в два конверта кладутся деньги, эти конверты случайным образом тасуются. В этом случае средний выигрыш от взятия суммы из открытого конверта равен среднему выигрышу от выбора закрытого конверта.

Условное среднее при выборе открытого конверта равно . Для закрытого конверта необходимо рассмотреть две ситуации. Если , значит гарантированно, в закрытом конверте находится сумма . Во всех остальных случаях, вероятность того, что в открытом конверте находится меньшая сумма в 2 раза выше, чем вероятность того, что это большая сумма. Следовательно условные вероятности равны и . Соответственно, условное среднее для закрытого конверта, если , равно:

Поэтому условные средние от выбора открытого и закрытого конверта можно записать следующим образом:

Теперь время парадокса. Пусть (как и принимается в классической задаче двух конвертов). Тогда, при имеем равенство стратегий , а при закрытый конверт лучше ( против ). Поэтому, при прочих равных, надо предпочесть закрытый конверт. Если же , то для любых условное среднее закрытого конверта больше: . Но конверты-то неразличимы и равноправны!

Ошибки в вычислении условных средних нет. Поэтому, чтобы разобраться в чём дело, вычислим абсолютный средний доход при любом . Вероятности обнаружить при открытии конверта сумму равны:

С — понятно. Пара конвертов выбирается с вероятностью . Каждый из конвертов может быть открыт также с вероятностью 1/2. Для всех остальных пар имеем . Естественно абсолютные средние доходности оказываются равными:

Несложно видеть, что при эти выражения остаются равными, но теряют смысл. В этом и кроется корень проблемы. Если , то дробь меньше единицы, поэтому сравнить условные средние и не представляется возможным. Если , то больше , в противном случае — больше . Поэтому единственный способ, на основании этих условных вероятностей принять правильное решение, это их усреднить. В результате оказывается, что выбор конверта роли не играет: . Точка оказывается пороговой, как для возможности однозначного сравнения условных средних, так и для сходимости рядов при усреднении по всем .

И всё же, почему нельзя сравнивать условные средние при ? Да их усреднение невозможно (даёт бесконечный результат). Однако если при любом условии для конечных условных средних всегда , то хочется сделать вывод, что закрытый конверт лучше. Хотя понятно, что это заведомо неверный вывод. В чём дело?

Дело, по всей видимости, в математическом смысле условного среднего. Говоря, что при данном условная средняя доходность равна мы подразумеваем, что для неё должно выполняться условие нормировки, как и для распределения вероятностей . При усреднении по всем возможным должно получаться осмысленное (конечное) выражение. Если этого не происходит, то функция плохо определена. Также как плохо определено ненормируемое распределение . В этом случае выводы на основе сравнения различных условных средних могут оказаться ошибочными. Всё как в школе: на ноль делить нельзя и точка.

Компьютерное моделирование

Решение или проверка решения задач по теории вероятности почти всегда могут быть реализованы при помощи компьютера. Ниже приведен исходный код на C++, который моделирует игру с непрерывным постоянным распределением вероятностей шириной .

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h> 
#include <time.h> 

// случайное число [0 .. 1]
inline double Rnd(){ return double(rand()) / double(RAND_MAX); }          

void main()
{
   srand(time(0));                         // встряхиваем генератор
   double c[2];                            // конверты
   double L = 1;                           // граница

   int n=0;                                // число игр
   double v1=0, v2=0, v3=0;                // заработки от стратегий
   for(int iter=0; iter<10000000; iter++){
      c[0]=Rnd()*L;
      c[1]=c[0]/2;

      int i1 = rand()%2;                    // номер открытого конверта
      int i2 = (i1+1)%2;                    // номер закрытого конверта

      //if(c[i1]>L/2) continue;             // прерываем раунд

      v1+=c[i1];                            // доходы от стратегий:
      v2+=c[i2];
      v3+=( (c[i1]>L/2)? c[i1]: c[i2] );
      n++;
   }
   v1/=n; v2/=n; v3/=n;                     // среднее значение

   printf("v1=%.4f\tv2=%.4f\tv3=%.4f\n", v1, v2, v3);
}

Закомментированная строка соответствует дополнительному условию по началу игры (прерываем раунд). Любое компьютерное моделирование требует проведения статистической оценки достоверности полученных результатов. Можно поступить проще и поставить встряхиватель случайных чисел (строка srand(time(0)); ). Несколько последовательных запусков позволят увидеть, какая цифра "дёргается". Это и есть примерная ошибка моделирования.

Немного философии

Мы проанализировали задачу двух конвертов на примере равномерного распределения непрерывных и дискретных случайных чисел. Если игра происходит без ограничений (т.е. нет селекции открытого конверта), то доходность выбора открытого и закрытого конвертов одинаковы, как и следует из соображений симметрии. Однако при этом существует стратегия с большей доходностью, учитывающая значение суммы, лежащей в открытом конверте. Если же в зависимости от суммы в открытом конверте игра прекращается (ослабление краевого эффекта), то симметрия между конвертами нарушается. В открытом может лежать только сумма , тогда как в закрытом она находится в диапазоне . Поэтому и доходность выбора закрытого конверта выше, чем открытого. Основная сложность, заложенная в парадокс, связана с корректным вычислением условного среднего, требующего использования условных вероятностей.


Иногда на форумах при обсуждении задачи о двух конвертах, задаётся следующий вопрос:

Хорошо. Выбрав конкретные правила игры (=распределение) можно показать, что противоречия нет. Но как быть, если игрок не знает каким образом формируются конверты и суммы в них. В этом же случае вероятности по-любому 50/50?

На самом деле этот вопрос выходит за рамки теории вероятности, которая применяется для решения задачи. Важно понимать, что отсутствие знания не свидетельствует о равновероятности исходов. Наоборот, равновероятность возникает, если мы уверены в симметричности исходов (например, подбрасывая монету).

незнание равновозможности

Теория вероятности может оперировать только вероятностями, которые заданны из соображений симметрии или получены в эмпирическом исследовании. В последнем случае предполагается их стационарность (неизменность вероятностей во времени).

Стоит напомнить старую шутку про блондинку, которая уверена, что завтра утром она с вероятностью 1/2 встретит динозавра, потому, что она его либо встретит, либо не встретит. Во времена культа политкорректности, эта шутка не актуальна и сейчас уже все блондинки знают, что динозавры давно вымерли .


Степанов Сергей по просьбе Степанова Дениса
(с) 2010, synset.com

Cм. также Дискретная задача двух конвертов


Материалы статьи могут быть использованы в некоммерческих и public information целях на условиях лицензии GNU Free Documentation License (версии 1.2 или более поздней). При использовании необходима ссылка на источник: http://synset.com/ru/Парадокс_двух_конвертов