Парадоксы остановки и близнецов — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Парадоксы остановки и близнецов» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
 
(нет различий)

Текущая версия на 21:58, 4 июля 2013

Динамика в неинерциальной системе << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Парадоксы Белла и Эренфеста

"Парадокс остановки." Во второй главе (стр.\,\pageref{bear_first}) рассматривалась эскадра космических кораблей , движущихся со скоростью относительно инерциальной системы . В силу относительности одновременности, наблюдатели данной системы отсчёта регистрируют различное время на движущихся относительно них часах:

Nonin time4.png

Если эскадра принимает решение остановиться, то для наблюдателей в одновременное торможение кораблей (происходящее в ) не будет выглядеть одновременным. Пусть при торможении корабли выдерживают неизменным расстояние между ними. Когда относительно скорость, например, центрального корабля будет нулевой, такая же скорость должна быть для неподвижных относительно него других кораблей. В результате, неодновременное (в ) торможение странным образом оканчивается одновременной остановкой для всех, теперь неподвижных наблюдателей как в системе , так и в системе .

Проведём расчёт торможения для двух кораблей. Пусть в момент времени по часам системы они начинают одновременно тормозить. Первый (задний) корабль имеет в координату , а второй (передний) — . Запишем преобразования Лоренца:

Положив , , получаем, что второй корабль в системе начнёт торможение в момент , имея координату (ниже второй рисунок). При (когда в начал тормозить первый корабль) второй корабль имеет координату :


Bear paradox.png

Предположим, что корабли эскадры образуют жесткую равноускоренную (сейчас равнозамедленную) систему отсчёта с началом на первом корабле. До торможения радиолокационное расстояние между кораблями равнялось . Как только появилось ускорение оно стало , см.\,стр.\pageref{u_acsel_l} (ускорение направлено против оси ).

Запишем преобразования между инерциальным и неинерциальным наблюдателями (), стр.\,\pageref{acsel_gen_xt}. При торможении, заменяем :

(EQN)

где . До момента времени точка (корабль) движется равномерно: . После этого начинается торможение. Исключая из () время , получаем выражение для траектории фиксированной точки с координатой :

Скорость этой точки меняется со временем следующим образом:

(EQN)

Мы видим, что независимо от положения точки , её скорость окажется нулевой в момент времени . Начав неодновременное торможение с точки зрения системы , корабли эскадры будут двигаться с различной скоростью и в результате их остановка произойдёт одновременно. Относительность понятия жесткости системы отсчета и лежит в основе "парадокса остановки".

При координаты первого () и второго ( кораблей (которые остановились) в системе будут равны:

Поэтому расстояние между кораблями в момент остановки будет в точности равно их расстоянию в системе перед началом торможения. Линейка, начало и конец которой образуют корабли, перед началом торможения для наблюдателей в выглядела сжатой в направлении движения (лоренцево сокращение). При торможении она постепенно удлиняется и в момент остановки для наблюдателей в лоренцево сокращение длины линейки окончательно исчезает. Аналогично, естественно, выглядит ситуация при ускорении кораблей, при котором "жёсткая" (в смысле собственной длины) линейка относительно лабораторной системы постепенно сжимается (достаточно сложным образом, см.,\,стр.\,\pageref{nonin_length}), а после отключения двигателей оказывается сжатой в раз, в точном соответствии с формулой Лоренца. После остановки линейки в результате жесткого торможения, это сжатие снова исчезает.

Парадокс близнецов был рассмотрен во второй главе (стр.\,\pageref{sec_paradox_twins}), и как мы видели, ничего парадоксального в нём нет. Более того, для понимания причины кажущегося парадокса достаточно использовать только инерциальные системы. Ключом к пониманию проблемы служит эффект относительности одновременности, который нужно учитывать вместе с эффектом замедления времени. Движущийся путешественник регистрирует замедление хода всех часов в системе отсчёта своего брата - домоседа. Однако, относительность одновременности приводит к тому, что время на этих часах, находящихся вдоль его траектории, "сдвинуто" в будущее. Поэтому, хотя часы системы домоседа идут медленнее, они всё сильнее опережают часы путешественника.

Неинерциальные системы позволяют провести расчёты с точки зрения каждого брата на этапах ускоренного движения. В общем случае, в лабораторной системе отсчета часы, движущиеся со скоростью имеют следующее накопленное время, которое показывают часы путешественника когда с точки зрения домоседа проходит время :

(EQN)

Чтобы получить время на часах домоседа в неинерциальной системе отсчёта, необходимо найти как изменяется координата домоседа в этой системе. Зная функции , можно вычислить собственное время часов домоседа:

(EQN)

Подчеркнем, что формулы () и () дают собственное время различных часов (путешественника и домоседа, соответственно). Понятно, что после вычисления и , необходимо также записать связь координатных времен и .

В качестве примера приведём вычисления для жёсткой равноускоренной системы отсчета. Для простоты будем считать, что путешественник, пролетая мимо домоседа со скоростью , синхронизирует с ним начальный отсчёт времени . Затем он начинает торможение до полной остановки в системе домоседа . Находясь в дальнейшем в одной инерциальной системе отсчёта, братья могут однозначным образом сравнить показания своих часов и выяснить у кого они отстали.

Подставляя скорость () в соотношение () для путешественника с координатой , имеем:

Остановка путешественника происходит по часам домоседа при (см. "парадокс остановки"). К этому моменту часы путешественника показывают время :

(EQN)

Естественно, этот результат совпадает с вычислением времени часов, ускоряющихся из состояния покоя до скорости (см.\,стр.\,\pageref{time_del_acsel}).

Найдём теперь собственное время домоседа в неинерциальной системе. Его траектория получается из () при :

Поэтому интервал собственного времени домоседа равен:

Интегрируя его от нуля до , получаем:

Домосед останавливается относительно путешественника, когда его скорость становится равной нулю. Это происходит при . В этот момент:

(EQN)

Мы, естественно, снова получаем значение , равное времени до момента относительной неподвижности домоседа и путешественника в системе отсчёта .

Таким образом, соотношение () справедливо с точки зрения любого наблюдателя и даёт абсолютный эффект замедления времени на движущихся с переменной скоростью часах по сравнению с неподвижными часами. Естественно, можно рассмотреть и классический вариант полёта (ускорение из состояния покоя, равномерное движение и торможение, а затем возвращение в той-же последовательности). Однако понятно, что ничего нового соответствующие вычисления в эффект не добавляют.


Динамика в неинерциальной системе << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Парадоксы Белла и Эренфеста

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии