Опционы

Материал из synset
Версия от 21:00, 6 марта 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Портфель на всю жизнь << Оглавление >> Формула Блэка-Шоулза

Опционный контракт характеризуется ценой исполнения (strike price) , датой истечения (expiry date) и текущей стоимостью (премией) (call) или (put). Предположим, что сегодня акция стоит . Её цена достаточно волатильна, и через год она может стоить как дороже 100, так и дешевле. Пусть на рынке можно купить опционный контракт call по цене

на право приобрести акцию за через год. Тот, кто покупает контракт, платит продавцу $10. Это его максимальные расходы. Если через год акция на рынке будет стоить x=115, то, купив её у выписавшего опционный контракт по $90 и тут же продав на рынке, владелец контракта заработает $115-90=25. За вычетом уплаченной премии его доход будет равен 15. Если же цена на рынке через год будет меньше, чем 90, от своего права покупать по 90 владелец откажется, зафиксировав убыток 10. Таким образом, величина дохода владельца call-контракта при существенном росте цены акции не ограничена, тогда как возможные убытки не превышают первоначально уплаченной премии. Для того, кто выписывает (продаёт) контракт, ситуация обратная. Он рискует получить неограниченные убытки, и, естественно, закладывает это в величину премии.

Премия опциона является его ценой и, как любая финансовая цена, оказывается очень волатильной. Однако, по мере приближения к дате истечения она стремится к определённому значению, которое называют внутренней стоимостью опциона. Рассмотрим её значение в момент истечения опциона в зависимости от текущей цены актива :

Opt call.png

Если при истечении call-контракта цена актива , лежащего в основе опциона, меньше цены исполнения , то его владельцу нет смысла покупать актив, и такое право ничего не стоит. Если же цена актива на рынке выше, чем , владелец call-опциона получает доход, равный разности рыночной цены актива и цены исполнения . Это и есть стоимость опциона. Диаграммы стоимости опционов одновременно являются диаграммами дохода владельца опциона в момент его исполнения.

Найдём общую формулу для справедливой цены европейского опциона в произвольный момент времени. Обычно для этого используют следующую идею. Предположим, никому достоверно не известно, вырастет актив или нет. Это означает, что его цена в момент исполнения, в среднем, должна быть такой же, как и сегодня . Однако, в силу волатильности рынка существует распределение вероятностей того, что будет иметь большее или меньшее значение, чем . Будущая стоимость call-опциона равна усреднению всех возможных реализаций цены в момент истечения контракта:

(8.10)

Так как диаграмма стоимости опциона при его истечении представляет собой ломаную , то интеграл разбивается на два, первый из которых равен нулю. Таким образом, для call- и, аналогично, для put- опционов среднее значение премий в момент истечения равно:

(8.11)

Подстановка в (8.11) той или иной плотности распределения вероятностей будущей цены будет давать различные формулы величины премии. Таким образом, премия опциона должна равняться величине, которая не позволяет ни покупателю, ни продавцу в среднем получить доход.

Opt.png

При увеличении страйковой цены ломаная линия внутренней стоимости call-опциона сдвигается вправо. Поэтому значение интеграла и, следовательно, премия падает. При уменьшении , наоборот, в зону "действия" колокола плотности распределения попадает прямая , и премия возрастает. Для put всё наоборот.

Аналогично, по мере приближения к дате истечения неопределённость будущей цены актива (ширина "колокола") уменьшается. Следовательно, премия call- и put- опционов уменьшается (при неизменном ).

Понятно, что, если до истечения контракта еще есть время, стоимость опциона будет отличаться от его внутренней стоимости ( = intrinsic value).\index{внутренняя стоимость опциона} Надбавка к ней за счёт неопределенности значения цены актива в будущем называется временной стоимостью опциона: ( = time value).\index{стоимость опциона!временная} \it Премия Внутренняя стоимость Временная стоимость. Графически это соотношение представлено двумя отрезками и на кривой цены опциона в некоторый момент до даты окончания контракта:

Opt value.png

Говорят, что call-опцион находится "в деньгах" (in-the money), если текущая цена актива выше, чем страйковая , иначе опцион "вне денег" (out-of-the money). Put-опцион имеет перевернутую относительно диаграмму стоимости, и его владелец зарабатывает при падении цены актива, поэтому для него терминология обратная.

Вычтем уравнения (8.11) одно из другого и введём среднюю цену актива в будущем , которую на "эффективном рынке" обычно предполагают равной текущему значению . Тогда . Учёт стоимости денег вносит в это соотношение некоторые изменения.

Сформируем портфель, купив акцию за , put-опцион на неё , и заняв короткую позицию по call-опциону "". Стоимость такого портфеля изменяется c изменением цены , однако, независимо от её значения, в момент истечения контракта стоимость портфеля будет в точности равна страйковой котировке . Действительно:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x+P-C = \left\{ \begin{array}{lllll} & x & +\;\;0 & -\;\;(x-x_s) & = \;x_s\;\;\;\;\;\;\;если\;x>x_s \\ & x & +\;\;(x_s-x) & -\;\;0 & = \;x_s\;\;\;\;\;\;\;если\;x<x_s \end{array}\right..}

Таким образом, при формировании портфеля мы в будущем, через время , гарантированно получим . C учётом стоимости денег ( C) такой актив должен сегодня стоить . В результате получается простое равновесное соотношение:

(8.12)

которое называют call-put паритетом (call-put parity):

Чувствительность премии (цены) опциона к изменению текущей котировки актива и уменьшению времени до его истечения характеризуют следующие коэффициенты:

Зная значения и , можно оценить, насколько изменится цена опциона при небольшом изменении котировки актива: . Для этого необходимо разложить премию в ряд Тейлора:

(8.13)

Подобная нелинейная зависимость позволяет cформировать из опциона и актива портфель с определёнными свойствам. Купим call-опцион (дающий право на одну акцию) и, взяв в долг штук акций, продадим их на рынке (займём короткую позицию). Стоимость такого портфеля составит . Если цена акций увеличивается, то короткая позиция приносит убыток, однако стоимость опциона растёт, компенсируя его.

При малых отклонениях цены акции от начального значения премия будет меняться линейно: , а стоимость портфеля будет постоянной, так как изменение стоимости опциона полностью компенсируется изменением короткой позиции. Дельта единиц проданного актива на каждый опцион называется правилом дельта-хеджирования.

Рассмотрим, как изменится стоимость такого портфеля при учёте коэффициента . Если спустя время после формирования портфеля цена акции изменилась с до , то доход дельта-нейтрального портфеля можно разложить в ряд Тейлора по изменению цены и времени:

Чем более сильные колебания происходят на рынке (в любую сторону!), тем больший доход мы получаем. Однако, если цена актива не изменяется (), то цена опциона уменьшается, и со временем этот портфель будет приносить убыток (последнее слагаемое).

Пусть на рынке ожидаются важные новости, но, приведут ли они к росту или падению, заранее не известно. Однако, если есть уверенность в неизбежности существенного движения цены, можно построить -нейтральный портфель и получить прибыль. Подобная стратегия называется вероятностным арбитражом.


Портфель на всю жизнь << Оглавление >> Формула Блэка-Шоулза

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения