Обсуждение:Сила

Обратное преобразование силы

А почему, когда Вы писали обратное преобразование для 3-вектора силы, Вы не переставили местами $\ \mathbf {u} '$ в левой части равенства на $\ \mathbf {u}$, и наоборот? Тогда же другое преобразование для силы выйдет. Maxim, 5 апреля 2012.

Спасибо Максим за вопрос. На сайте, не до конца вычищена конвертация LaTeX в HTML. В частности потеряны ссылки на формулы (лучше читать pdf-версию). К тому же была опечатка в преобразовании $\mathbf {F} '(\mathbf {F} )$ (там надо $\mathbf {r} \to \mathbf {F}$, я подправил).

На самом деле это выглядит так. Меняя местами штрихованные и нештрихованные величины и меняя знак скорости имеем

${\frac {\mathbf {F} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}={\frac {{\mathbf {F} '}+\gamma \mathbf {v} (\mathbf {u'} \mathbf {F'} )+\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {F} ')}{\sqrt {1-\mathbf {u'} ^{2}}}}.$

Теперь, используя преобразование для скорости

${\frac {\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}={\frac {\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}{1-\mathbf {v} \mathbf {u} }},$

получаем требуемую формулу. Сергей Степанов 19:03, 6 апреля 2012 (UTC)

Спасибо за дельный ответ. Maxim

Различные определения ускорений

Мне не совсем ясен вопрос, касающийся определения 3-вектора ускорения. В этом разделе он определяется как $\ \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}$. В следующем же разделе он определен как $\ \mathbf {a} ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)$.

Далее, вектор ускорения (из первого определения) в этом разделе выражается через энергию и импульс. А каков смысл вводить величину $\ \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}$ и исследовать ее преобразование в релятивистской физике, если это - классическое определение ускорения? С уважением, Maxim 18:15, 30 августа 2012 (UTC) .

3-вектор ускорения, по определению, является производной 3-скорости по времени. Это определение действует как в классической, так и в релятивистской физике. Также, как 3-скорость это всегда производная координаты. Это лишь определения и ничего "нерелятивистского" в них нет. Введенный в следующем разделе вектор $\mathbf {a}$, ускорением, конечно, не является (он там так и не называется). Это просто постоянный вектор (надо это пометить).

Кроме 3-векторов скорости и ускорения мы также вводим 4-векторы, как производные $x^{\mu }$ по собственному времени $s$. Их пространственные компоненты являются 3-векторами и определённым образом связаны с "обычными" 3-векторами скорости и ускорения. Сергей Степанов 07:13, 31 августа 2012 (UTC)

Да, с 1-го по 9-е меня, скорее всего, не будет возле интернета. Так, что возможны задержки с ответами. С уважением. Сергей.

Спасибо! Но почему тогда в главе "Кинематика" ускорение (его модуль) также описывается как

$\ a={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)$?

Не знаю :). А где?

В разделе "Ускоренное движение". Прирост скорости определяется как $\ adt'$, а потом получается, что ускорение зависит от скорости способом, описанным в выражении выше. Кстати, отдельный вопрос: в том разделе тоже ведь использовалась идея локально-инерциальных систем отсчета?

Почему, использовав запись силы в виде $\mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)$, нельзя определить ускорение в СТО так, написав, что "...Это дифференциальное уравнение описывает, как изменяется скорость некоторого объекта для неподвижного наблюдателя, если, с "точки зрения" объекта, он пытается двигаться равноускоренно..."? Maxim 09:44, 31 августа 2012 (UTC) .

Можно вводить любые понятия, если понятно какой за ними стоит смысл и как их измерить. Уже есть 2 ускорения: "обычное" (2-я производная от координат) и векторная часть 4-ускорения (то, что Вы написали, это оно и есть, с точностью до множителя $\gamma$). Поэтому, 3-ю разновидность ускорения, обычно, не вводят. 16:34, 31 августа 2012 (UTC)

---

Вопрос к Вам. Вижу, что Вы всегда восстанавливаете фундаментальную скорость "c" в формулах. Вам не нравятся формулы без неё, или это некоторая тренировка? Просто, я положил за основу систему единиц с c=1 (это делает все уравнения компактнее). Может это раздражает при чтении? Сергей Степанов 16:37, 31 августа 2012 (UTC)

Наверняка такая система единиц удобна, если к ней привыкнуть, но мне больше нравится внешний вид формул, в которых сразу соблюдена размерность обычным для меня образом. Так что этот вопрос для меня - сугубо субъективный. Maxim 22:23, 1 сентября 2012 (UTC) .

Производная по времени

Такой вопрос. Когда Вы получали выражение для производной полной энергии по времени, то как вышло, что $\ {\frac {dV(r)}{dt}}=V(r)'{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{r}}$? Maxim 14:29, 11 сентября 2012 (UTC).

Как производная сложной функции, учитывая, что

${\frac {dr}{dt}}={\frac {d{\sqrt {\mathbf {r} ^{2}}}}{dt}}={\frac {1}{2{\sqrt {\mathbf {r} ^{2}}}}}{\frac {d\mathbf {r} ^{2}}{dt}}={\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{r}}$

Сергей Степанов 08:12, 12 сентября 2012 (UTC)

Ага, понял. Спасибо.

Порядок уравнений динамики

А как из аксиомы изотропности пространства доказать, что сила не должна зависеть от ускорения и старших производных? NAME XXX 08:53, 14 сентября 2012 (UTC).

Думаю, из этой аксиомы такого вывода не следует. Изотропность лишь требует, чтобы сила имела векторный вид (нет выделенных направлений). От каких векторов при этом она должна зависеть аксиома изотропности не конкретизирует. Отсутствие в силе высших производных по времени связано с тем фактом, что для полного описания движения частицы в начальный момент времени достаточно знать её положение и скорость. Это самостоятельная аксиома. К слову она не выполняется в теории поля. Сергей Степанов 11:11, 15 сентября 2012 (UTC)

А как непосредственно доказать, что в теории поля она не выполняется? Maxim 12:46, 15 сентября 2012 (UTC).

Интуитивно это следует из того факта, что при описании взаимодействия зарядов, нам нужно поле, как дополнительная динамическая переменная. Представьте, что заряд, ускоренно двигаясь излучает электромагнитную волну. Она, провзаимодействовав с другим зарядом, спустя некоторое время, отразилась и начала сейчас действовать на первый заряд. Чтобы описать взаимодействие зарядов нам необходимо знать не только их текущее положение и скорости, а вообще говоря всю предысторию их движения. Если начать исключать из уравнений электродинамики поле, то уравнения движения станут очень сложными и в них появятся старшие производные по времени. Сергей Степанов 16:19, 16 сентября 2012 (UTC)

И как непосредственно показать, что раз движение частицы задается скоростью и координатой, то сила не зависит от ускорения и старших производных? Maxim 12:46, 15 сентября 2012 (UTC).

Дифференциальное уравнение второго порядка (в одномерном случае) требует для своего решения двух начальных условий x(0) и v(0). Третьего - трёх: x(0),v(0),a(0), и т.д. Сергей Степанов 16:19, 16 сентября 2012 (UTC)

Я знаком с необычайно громоздким доказательством независимости силы от ускорения в рамках классической механики, и оно говорит о том, что более общее доказательство будет нелегким. Maxim 12:46, 15 сентября 2012 (UTC).

Мне такое док-во неизвестно. На каких исходных посылках оно строилось? Сергей Степанов 16:19, 16 сентября 2012 (UTC)

То я не вспомнил, к сожалению, но на ум пришло следующее доказательство от противного. Пусть есть частица массы $\ m$, на которую одновременно действуют однотипные микроскопические тела с одинаковым характером взаимодействия. Для одномерного случая целевая частица приобретает под действием выделенного первого тела ускорение

$a_{1}={\frac {1}{m}}F_{1}(a_{1})$,

под действием второго -

$\ a_{2}={\frac {1}{m}}F_{2}(a_{2})$.

Суммарно частица будет иметь ускорение

$\ a={\frac {1}{m}}F(a)$.

Из всего этого, в силу принципа суперпозиции ($\ F(a)=F_{1}(a_{1})+F_{2}(a_{2})$), а также - из сохранения характера взаимодействия ($\ F(a)=F_{1}(a)+F_{2}(a)$), следует, что

$\ F_{1}(a_{1})+F_{2}(a_{2})=F_{1}(a_{1}+a_{2})+F_{2}(a_{1}+a_{2})$.

Отсюда следует противоречивость допущения про зависимость силы от ускорения. Maxim 15:58, 18 сентября 2012 (UTC).

Мультипликативная энергия

А что такое "мультипликативная энергия"? В каком случае энергия есть мультипликативной? И почему в случае с мультипликативной полной энергией выражение для силы имеет при себе множитель $\ E$? Maxim 13:18, 29 сентября 2012 (UTC).

Полная энергия - это некоторая функция скорости и положения частицы, которая сохраняется при её движении. Обычно она разбивается на сумму члена зависящего от скорости (кинетическая) и зависящего от координат (потенциальная). Такая полная энергия в книге названа аддитивной. Однако подобная аддитивность, вообще говоря, не обязательна. Более того, когда сила начинает зависеть от скорости, полная энергия может оказаться функцией с "переплетённой" зависимостью от скорости и координат. Мультипликативная полная энергия получается, когда она разбивается на произведение функции скоростей и функции координат. К слову, её логарифм - аддитивная функция. Когда какая энергия возникает, зависит от вида силы.

А откуда в

$\ \mathbf {F} =-E{\frac {U'(r)}{r}}\left(\mathbf {r} +[\mathbf {v} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {v} ]]\right)$

берется множитель $\ E$ для варианта мультипликативной энергии? Maxim 21:28, 29 сентября 2012 (UTC).

Там решается обратная задача. Какая сила будет приводить к мультипливативной энергии. Выясняется - такая. :-) Сергей Степанов 06:30, 30 сентября 2012 (UTC)