Обсуждение:Представления групп — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Не очень понятно завершение доказательства теоремы Машке)
 
(не показано 12 промежуточных версий 3 участников)
Строка 5: Строка 5:
  
 
Мы показали, что <math>\bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]</math> - унитарна, но откуда следует, что унитарна <math>\mathbf{T}</math> (не даст ли произведение двух эрмитовых матриц, унитарную) ?
 
Мы показали, что <math>\bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]</math> - унитарна, но откуда следует, что унитарна <math>\mathbf{T}</math> (не даст ли произведение двух эрмитовых матриц, унитарную) ?
 +
 +
Или это получается из того, что раз матрица <math>\bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]</math> - унитарна, то и матрицы составляющие её произведение также унитарны?
 +
 +
Здесь видимо используется следующее:
 +
 +
''Если задано некоторое представление размерности <math>\textstyle n</math> (матрицы <math>\textstyle n</math>x<math>\textstyle n</math>), то при помощи некоторой ''несингулярной'' матрицы <math>\textstyle \mathbf{S}</math> (<math>\textstyle \det\mathbf{S}\neq 0</math>) той же размерности всегда можно построить другое представление:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{T}'(g)=\mathbf{S}\,\mathbf{T}(g)\,\mathbf{S}^{-1}. </math>
 +
|}
 +
''
 +
 +
откуда: <math> 1 = \mathbf{T}'^+\mathbf{T}' </math>
 +
Это верно ?
 +
 +
: Спасибо за вопросы. Там, действительно, не совсем ясно написано. Вы правы, имеется ввиду следующее. Пусть <math>\mathbf{T}(g)</math> является неунитарным представлением. При помощи матрицы <math>\mathbf{S}</math> можно всегда перейти к другому представлению в котором матрицами будут <math>\mathbf{S}\mathbf{T}(g)\mathbf{S}^{-1}</math>. При доказательстве теоремы мы подбираем такую матрицу <math>\mathbf{S}</math>, чтобы <math>\mathbf{S}\mathbf{T}(g)\mathbf{S}^{-1}</math> оказалось унитарным. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 19:52, 2 июня 2013 (UTC)
 +
 +
 +
--[[Участник:Stanislav81|Сухопаров Станислав]] 21:08, 3 июня 2013 (UTC)''(Чтобы не забыть, спрошу)'' Пытаясь разобраться с доказательством леммы Шура, там есть момент когда изменение базиса сохраняет собственные значения матрицы, и переход к другому базису выглядит очень похоже на <math> \mathbf{T}'(g)=\mathbf{S}\,\mathbf{T}(g)\,\mathbf{S}^{-1}. </math> за исключением того, что переход выглядит вот так <math>\mathbf{T}'(g)=\mathbf{S}^{-1}\,\mathbf{T}(g)\,\mathbf{S}.</math>, то отсюда можно утверждать что раз в некотором базисе матрица <math>\bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]</math> - унитарна, то и сама <math>\mathbf{T}</math> также унитарна.
 +
 +
А представление  <math>\bigl[\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{S}^{-1}\bigr]</math>, есть представление в некотором другом базисе линейного пространства.
 +
 +
И тут появляется вопрос к этому:
 +
 +
''Если задано некоторое представление размерности <math>\textstyle n</math> (матрицы <math>\textstyle n</math>x<math>\textstyle n</math>), то при помощи некоторой ''несингулярной'' матрицы <math>\textstyle \mathbf{S}</math> (<math>\textstyle \det\mathbf{S}\neq 0</math>) той же размерности всегда можно построить другое представление:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{T}'(g)=\mathbf{S}\,\mathbf{T}(g)\,\mathbf{S}^{-1}. </math>
 +
|}
 +
''
 +
 +
Не есть ли это представление в другом базисе, к которому мы перешли с помощью матрицы <math>\textstyle \mathbf{S}</math>, может так и написать, чтобы было понятно откуда это взялось ?
 +
 +
--[[Участник:Stanislav81|Сухопаров Станислав]] 21:01, 3 июня 2013 (UTC)
 +
 +
: Я честно говоря, не совсем понял о какой матрице <math>\textstyle \mathbf{S}</math> идёт речь. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 20:00, 6 июня 2013 (UTC)
 +
 +
__
 +
 +
Я не совсем понимаю, откуда для матриц 2x2 представления группы <math>\ \mathbf D_{3}</math> получаются таким значения для следов элементов, как 2, -1 и т.д. [[Участник:Maxim|Maxim]] 12:38, 2 августа 2013 (UTC).
 +
: След 2 имеет единичная матрица 2x2 <math>\mathbf{T}(e)</math>, след -1 у матриц <math>\mathbf{T}(a)</math> и <math>\mathbf{T}(a^2)</math> (см. матрицы вращений 3x3 у которых надо отбросить последнюю колонку и строчку). У остальных матриц след нулевой. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 17:07, 4 августа 2013 (UTC)

Текущая версия на 17:07, 4 августа 2013

Не очень понятно завершение доказательства теоремы Машке

Умножая обе стороны этого равенства слева и справа на , получаем условие унитарности:

Мы показали, что - унитарна, но откуда следует, что унитарна (не даст ли произведение двух эрмитовых матриц, унитарную) ?

Или это получается из того, что раз матрица - унитарна, то и матрицы составляющие её произведение также унитарны?

Здесь видимо используется следующее:

Если задано некоторое представление размерности (матрицы x), то при помощи некоторой несингулярной матрицы () той же размерности всегда можно построить другое представление:

откуда: Это верно ?

Спасибо за вопросы. Там, действительно, не совсем ясно написано. Вы правы, имеется ввиду следующее. Пусть является неунитарным представлением. При помощи матрицы можно всегда перейти к другому представлению в котором матрицами будут . При доказательстве теоремы мы подбираем такую матрицу , чтобы оказалось унитарным. Сергей Степанов 19:52, 2 июня 2013 (UTC)


--Сухопаров Станислав 21:08, 3 июня 2013 (UTC)(Чтобы не забыть, спрошу) Пытаясь разобраться с доказательством леммы Шура, там есть момент когда изменение базиса сохраняет собственные значения матрицы, и переход к другому базису выглядит очень похоже на за исключением того, что переход выглядит вот так , то отсюда можно утверждать что раз в некотором базисе матрица - унитарна, то и сама также унитарна.

А представление , есть представление в некотором другом базисе линейного пространства.

И тут появляется вопрос к этому:

Если задано некоторое представление размерности (матрицы x), то при помощи некоторой несингулярной матрицы () той же размерности всегда можно построить другое представление:

Не есть ли это представление в другом базисе, к которому мы перешли с помощью матрицы , может так и написать, чтобы было понятно откуда это взялось ?

--Сухопаров Станислав 21:01, 3 июня 2013 (UTC)

Я честно говоря, не совсем понял о какой матрице идёт речь. Сергей Степанов 20:00, 6 июня 2013 (UTC)

__

Я не совсем понимаю, откуда для матриц 2x2 представления группы получаются таким значения для следов элементов, как 2, -1 и т.д. Maxim 12:38, 2 августа 2013 (UTC).

След 2 имеет единичная матрица 2x2 , след -1 у матриц и (см. матрицы вращений 3x3 у которых надо отбросить последнюю колонку и строчку). У остальных матриц след нулевой. Сергей Степанов 17:07, 4 августа 2013 (UTC)