Обсуждение:Ковариантная электродинамика

Материал из synset
Версия от 08:47, 7 ноября 2012; WikiSysop (обсуждение | вклад) (Про "выделенность" уравнения Максвелла для дивергенции напряженности)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Тождества с символом Леви-Чевиты

В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для

можно прочитать на стр. 648. На стр. 648 книги я не нашел информации об этом. Где можно найти? Maxim 17:13, 18 октября 2012 (UTC).

Это математические приложения. Они пока не готовы. Но скопирую ниже соответствующий кусок. Советую также читать книжку Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков (и решать задачки :). Там в частности стр.183 (но для 3-мерного пространства, зато в криволинейных координатах).

В пространстве-времени определим абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чевиты так, что и . Таким образом, значение, равное 1 для символа с нижними индексами принято по определению. Тензор с верхними индексами получается при помощи свёртки с метрическим тензором . Три ненулевых индекса приводят к нечётному произведению -1 и дают значение -1.

Произведение двух символов Леви-Чевиты выражается через определитель от символов Кронекера:

Действительно, если четвёрки индексов и различны, то:

Если любые два индекса равны, то в матрице оказываются равными две строки или два столбца. Например, при равны первые две строки. Поэтому в этом случае определитель равен нулю. Перестановка любых двух индексов приводит для первого символа к перестановке местами строк, а для второго — столбцов. В этом случае определитель меняет свой знак. Что и требовалось доказать.

Свернём по индексам и , перенеся в индекс на первое место (появится знак минус). Затем раскроем определитель по нижней строке (получится сумма 4-х определителей 3x3). Учитывая, что перестановка столбцов в определители даёт знак минус, а , получаем:

где введено сокращение и второе равенство получено раскрытием определителя. Продолжая аналогичным образом, получаем также следующие тождества:


Спасибо! Есть еще один вопрос по поводу антисимметричных тензоров (в данном случае - Леви-Чивиты). Как получить, что

?

Интересует, откуда взялся множитель 2. Не до конца понимаю, как это "навскидку" следует из антисимметричности тензоров. Maxim 19:35, 19 октября 2012 (UTC).

Просто подставляем определение , сворачиваем с символами Кронекера и в конце учитываем антисимметричность :

Про "очевидность" получения ковариантных уравнений

Интересно, те же уравнения Максвелла в ковариантной форме исторически были получены наобум, или же были какие-то (даже качественные) основания "свернуть" тензор напряженности с 4-вектором производной именно так? Аналогичный вопрос по поводу "очевидности" введения тензора напряженности.

Можете написать по этому поводу? Подобные вопросы очень мучат, [:)]. Maxim 20:22, 19 октября 2012 (UTC).

Скорее сложно было догадаться о необходимости введения тензора напряженности. То, что и преобразуются как было известно ещё Лоренцу и Пуанкаре. Хотя тензорный анализ они не использовали (про Пуанкаре не уверен, надо проверить). Уравнения Максвелла разбиваются на две пары уравнений (с зарядами и без). Это уравнения первого порядка. Поэтому в тензорном виде они должны зависеть от и . Два вектора и в один 4-вектор не засунуть. Можно взять два 4-вектора, но не ясно что для них брать для скалярной части. Остается антисимметричный тензор 2-го ранга, он как раз зависит от двух 3-векторов. Как то так. Хотя это сейчас тривиально, а тогда :)... По-моему Минковский тензорную форму предложил. Но нужно это проверить. Сергей Степанов 12:52, 21 октября 2012 (UTC)

Про "выделенность" уравнения Максвелла для дивергенции напряженности

Записывая в ковариантных обозначениях уравнения Максвелла, можно получить:

.

Записывая первое уравнение при , можно получить, что

.

Как видно, это уравнение - уравнение первого порядка по времени относительно потенциала.

Аналогично, записывая три других уравнения, можно получить для них уравнения второго порядка по времени относительно потенциала. Эти три уравнения однозначно определяют 4-потенциал, удовлетворяющий уравнениям Максвелла, если заданы две константы - значение потенциала и его производной по времени в некоторый заданный момент времени . С другой стороны, задание должно удовлетворять уравнению , то есть, это уравнение есть своего рода "связью" для трех уравнений. При этом, в зависимости от вектора , таких значений может быть бесконечное множество. А это как-то связано со степенями свободы электромагнитного поля.

Дополнение. Введение калибровочного условия Лоренца, по-видимому, устраняет эту проблему. В связи с этим, у меня такой вопрос: как калибровка влияет на определение числа степеней свободы? Maxim 23:28, 26 октября 2012 (UTC).

Максим, я не до конца понял, о какой проблеме идет речь. Может ли начальное условие для производной быть произвольным?
Да. В целом, вроде бы, оно не может быть произвольным. С другой стороны, интересно, как калибровка Лоренца влияет на произвольность выбора этого значения.
Если мы расписываем уравнение по компонентам не фиксируя калибровку, получается система уравнений:
Первое является уравнением 1-го порядка по времени, три остальных - второго. Однако, это система сцепленных уравнений ( и не разделились). Первое уравнение даёт связь между и , т.е. они не могут быть независимыми. Если мы накладываем калибровку Лоренца, то система распадается на несвязанные уравнения 2-го порядка относительно и :
Формально для них начальные условия произвольны. Но т.к. должно выполняться калибровочное условие , то фактически начальные условия для потенциалов также связаны.

Спасибо большое, это многое прояснило. А имеет ли эта связь хоть какое-то отношение ко степеням свободы поля? Maxim 12:59, 5 ноября 2012 (UTC).

В механике - число степеней свободы, это число динамических переменных, полностью задающих состояние системы и являющихся функциями времени. На них могут быть наложены связь, уменьшающие количество степеней свободы (на каждую связь). Лоренцевская калибровка, безусловно, является связью. Но, число степеней свободы поля не уменьшает, т.к. они остаются "бесконечнымы". Вообще, подобные аналогии теория поля с механикой, с моей точки зрения мало полезны. Сергей Степанов 08:47, 7 ноября 2012 (UTC)

Число степеней свободы поля в любом случае остаётся бесконечным. Калибровочное условие - это одна связь, вычитание которой из бесконечности оставляет ее таковой. Сергей Степанов 19:04, 29 октября 2012 (UTC) .
А как показать, что число степеней свободы электромагнитного поля есть бесконечным? Maxim 17:34, 31 октября 2012 (UTC).
Это вопрос определения. Если уравнения поля записать в конечных разностях (на дискретной решетке в 3-пространстве), то получится бесконечная система дифференциальных уравнений по времени. По аналогии с классической механикой, степенью свободы будет значение поля в каждой точке пространства. Именно они является динамическими переменными в этой системе уравнений. Понятно, что их бесконечно много. Сергей Степанов 14:16, 4 ноября 2012 (UTC)