Обсуждение:Ковариантная электродинамика

Материал из synset
Версия от 14:18, 4 ноября 2012; WikiSysop (обсуждение | вклад) (Про "выделенность" уравнения Максвелла для дивергенции напряженности)
Перейти к: навигация, поиск

Тождества с символом Леви-Чевиты

В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для

можно прочитать на стр. 648. На стр. 648 книги я не нашел информации об этом. Где можно найти? Maxim 17:13, 18 октября 2012 (UTC).

Это математические приложения. Они пока не готовы. Но скопирую ниже соответствующий кусок. Советую также читать книжку Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков (и решать задачки :). Там в частности стр.183 (но для 3-мерного пространства, зато в криволинейных координатах).

В пространстве-времени определим абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чевиты так, что и . Таким образом, значение, равное 1 для символа с нижними индексами принято по определению. Тензор с верхними индексами получается при помощи свёртки с метрическим тензором . Три ненулевых индекса приводят к нечётному произведению -1 и дают значение -1.

Произведение двух символов Леви-Чевиты выражается через определитель от символов Кронекера:

Действительно, если четвёрки индексов и различны, то:

Если любые два индекса равны, то в матрице оказываются равными две строки или два столбца. Например, при равны первые две строки. Поэтому в этом случае определитель равен нулю. Перестановка любых двух индексов приводит для первого символа к перестановке местами строк, а для второго — столбцов. В этом случае определитель меняет свой знак. Что и требовалось доказать.

Свернём по индексам и , перенеся в индекс на первое место (появится знак минус). Затем раскроем определитель по нижней строке (получится сумма 4-х определителей 3x3). Учитывая, что перестановка столбцов в определители даёт знак минус, а , получаем:

где введено сокращение и второе равенство получено раскрытием определителя. Продолжая аналогичным образом, получаем также следующие тождества:


Спасибо! Есть еще один вопрос по поводу антисимметричных тензоров (в данном случае - Леви-Чивиты). Как получить, что

?

Интересует, откуда взялся множитель 2. Не до конца понимаю, как это "навскидку" следует из антисимметричности тензоров. Maxim 19:35, 19 октября 2012 (UTC).

Просто подставляем определение , сворачиваем с символами Кронекера и в конце учитываем антисимметричность :

Про "очевидность" получения ковариантных уравнений

Интересно, те же уравнения Максвелла в ковариантной форме исторически были получены наобум, или же были какие-то (даже качественные) основания "свернуть" тензор напряженности с 4-вектором производной именно так? Аналогичный вопрос по поводу "очевидности" введения тензора напряженности.

Можете написать по этому поводу? Подобные вопросы очень мучат, [:)]. Maxim 20:22, 19 октября 2012 (UTC).

Скорее сложно было догадаться о необходимости введения тензора напряженности. То, что и преобразуются как было известно ещё Лоренцу и Пуанкаре. Хотя тензорный анализ они не использовали (про Пуанкаре не уверен, надо проверить). Уравнения Максвелла разбиваются на две пары уравнений (с зарядами и без). Это уравнения первого порядка. Поэтому в тензорном виде они должны зависеть от и . Два вектора и в один 4-вектор не засунуть. Можно взять два 4-вектора, но не ясно что для них брать для скалярной части. Остается антисимметричный тензор 2-го ранга, он как раз зависит от двух 3-векторов. Как то так. Хотя это сейчас тривиально, а тогда :)... По-моему Минковский тензорную форму предложил. Но нужно это проверить. Сергей Степанов 12:52, 21 октября 2012 (UTC)

Про "выделенность" уравнения Максвелла для дивергенции напряженности

Записывая в ковариантных обозначениях уравнения Максвелла, можно получить:

.

Записывая первое уравнение при , можно получить, что

.

Как видно, это уравнение - уравнение первого порядка по времени относительно потенциала.

Аналогично, записывая три других уравнения, можно получить для них уравнения второго порядка по времени относительно потенциала. Эти три уравнения однозначно определяют 4-потенциал, удовлетворяющий уравнениям Максвелла, если заданы две константы - значение потенциала и его производной по времени в некоторый заданный момент времени . С другой стороны, задание должно удовлетворять уравнению , то есть, это уравнение есть своего рода "связью" для трех уравнений. При этом, в зависимости от вектора , таких значений может быть бесконечное множество. А это как-то связано со степенями свободы электромагнитного поля.

Дополнение. Введение калибровочного условия Лоренца, по-видимому, устраняет эту проблему. В связи с этим, у меня такой вопрос: как калибровка влияет на определение числа степеней свободы? Maxim 23:28, 26 октября 2012 (UTC).

Максим, я не до конца понял, о какой проблеме идет речь. Может ли начальное условие для производной быть произвольным?
Да. В целом, вроде бы, оно не может быть произвольным. С другой стороны, интересно, как калибровка Лоренца влияет на произвольность выбора этого значения.
Число степеней свободы поля в любом случае остаётся бесконечным. Калибровочное условие - это одна связь, вычитание которой из бесконечности оставляет ее таковой. Сергей Степанов 19:04, 29 октября 2012 (UTC) .
А как показать, что число степеней свободы электромагнитного поля есть бесконечным? Maxim 17:34, 31 октября 2012 (UTC).
Это вопрос определения. Если уравнения поля записать в конечных разностях (на дискретной решетке в 3-пространстве), то получится бесконечная система дифференциальных уравнений по времени. По аналогии с классической механикой, степенью свободы будет значение поля в каждой точке пространства. Именно они является динамическими переменными в этой системе уравнений. Понятно, что их бесконечно много. Сергей Степанов 14:16, 4 ноября 2012 (UTC)