Обсуждение:Ковариантная электродинамика — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Про "очевидность" получения ковариантных уравнений)
(Про "очевидность" получения ковариантных уравнений)
Строка 42: Строка 42:
 
Можете написать по этому поводу? Подобные вопросы очень мучат, [:)]. [[Участник:Maxim|Maxim]] 20:22, 19 октября 2012 (UTC).
 
Можете написать по этому поводу? Подобные вопросы очень мучат, [:)]. [[Участник:Maxim|Maxim]] 20:22, 19 октября 2012 (UTC).
  
: Скорее сложно было догадаться о необходимости введения тензора напряженности. То, что <math>j^\nu=\{\rho,\mathbf{j}\}</math> и <math>\partial^\nu=\{\partial_0,\,-\nabla\}</math>  преобразуются как x^\nu=\{t,\,\mathbf{r}\} было известно ещё Лоренцу и Пункаре. Хотя тензорный анализ они не использовали (про Пуанкаре не уверен, надо проверить). Уравнения Максвелла разбиваются на две пары уравнений (с зарядами и без). Это уравнения первого порядка. Поэтому в тензорном виде они должны зависеть от <math>\partial^\nu</math> и <math>j^\nu</math>. Два вектора <math>\mathbf{E}</math> и <math>\mathbf{B}</math> в один 4-вектор не засунуть. Можно взять два 4-вектора, но не ясно что для них брать для скалярной части. Остается антисимметричный тензор 2-го ранга, он как раз зависит от двух 3-векторов. Как то так. Хотя это сейчас тривиально, а тогда :)... По-моему Минковский тензорную форму предложил. Но нужно это проверить. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 12:52, 21 октября 2012 (UTC)
+
: Скорее сложно было догадаться о необходимости введения тензора напряженности. То, что <math>j^\nu=\{\rho,\mathbf{j}\}</math> и <math>\partial^\nu=\{\partial_0,\,-\nabla\}</math>  преобразуются как <math>x^\nu=\{t,\,\mathbf{r}\}</math> было известно ещё Лоренцу и Пункаре. Хотя тензорный анализ они не использовали (про Пуанкаре не уверен, надо проверить). Уравнения Максвелла разбиваются на две пары уравнений (с зарядами и без). Это уравнения первого порядка. Поэтому в тензорном виде они должны зависеть от <math>\partial^\nu</math> и <math>j^\nu</math>. Два вектора <math>\mathbf{E}</math> и <math>\mathbf{B}</math> в один 4-вектор не засунуть. Можно взять два 4-вектора, но не ясно что для них брать для скалярной части. Остается антисимметричный тензор 2-го ранга, он как раз зависит от двух 3-векторов. Как то так. Хотя это сейчас тривиально, а тогда :)... По-моему Минковский тензорную форму предложил. Но нужно это проверить. [[Участник:WikiSysop|Сергей Степанов]] 12:52, 21 октября 2012 (UTC)

Версия 12:53, 21 октября 2012

Тождества с символом Леви-Чевиты

В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для

можно прочитать на стр. 648. На стр. 648 книги я не нашел информации об этом. Где можно найти? Maxim 17:13, 18 октября 2012 (UTC).

Это математические приложения. Они пока не готовы. Но скопирую ниже соответствующий кусок. Советую также читать книжку Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков (и решать задачки :). Там в частности стр.183 (но для 3-мерного пространства, зато в криволинейных координатах).

В пространстве-времени определим абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чевиты так, что и . Таким образом, значение, равное 1 для символа с нижними индексами принято по определению. Тензор с верхними индексами получается при помощи свёртки с метрическим тензором . Три ненулевых индекса приводят к нечётному произведению -1 и дают значение -1.

Произведение двух символов Леви-Чевиты выражается через определитель от символов Кронекера:

Действительно, если четвёрки индексов и различны, то:

Если любые два индекса равны, то в матрице оказываются равными две строки или два столбца. Например, при равны первые две строки. Поэтому в этом случае определитель равен нулю. Перестановка любых двух индексов приводит для первого символа к перестановке местами строк, а для второго — столбцов. В этом случае определитель меняет свой знак. Что и требовалось доказать.

Свернём по индексам и , перенеся в индекс на первое место (появится знак минус). Затем раскроем определитель по нижней строке (получится сумма 4-х определителей 3x3). Учитывая, что перестановка столбцов в определители даёт знак минус, а , получаем:

где введено сокращение и второе равенство получено раскрытием определителя. Продолжая аналогичным образом, получаем также следующие тождества:


Спасибо! Есть еще один вопрос по поводу антисимметричных тензоров (в данном случае - Леви-Чивиты). Как получить, что

?

Интересует, откуда взялся множитель 2. Не до конца понимаю, как это "навскидку" следует из антисимметричности тензоров. Maxim 19:35, 19 октября 2012 (UTC).

Просто подставляем определение , сворачиваем с символами Кронекера и в конце учитываем антисимметричность :

Про "очевидность" получения ковариантных уравнений

Интересно, те же уравнения Максвелла в ковариантной форме исторически были получены наобум, или же были какие-то (даже качественные) основания "свернуть" тензор напряженности с 4-вектором производной именно так? Аналогичный вопрос по поводу "очевидности" введения тензора напряженности.

Можете написать по этому поводу? Подобные вопросы очень мучат, [:)]. Maxim 20:22, 19 октября 2012 (UTC).

Скорее сложно было догадаться о необходимости введения тензора напряженности. То, что и преобразуются как было известно ещё Лоренцу и Пункаре. Хотя тензорный анализ они не использовали (про Пуанкаре не уверен, надо проверить). Уравнения Максвелла разбиваются на две пары уравнений (с зарядами и без). Это уравнения первого порядка. Поэтому в тензорном виде они должны зависеть от и . Два вектора и в один 4-вектор не засунуть. Можно взять два 4-вектора, но не ясно что для них брать для скалярной части. Остается антисимметричный тензор 2-го ранга, он как раз зависит от двух 3-векторов. Как то так. Хотя это сейчас тривиально, а тогда :)... По-моему Минковский тензорную форму предложил. Но нужно это проверить. Сергей Степанов 12:52, 21 октября 2012 (UTC)