Обсуждение:Ковариантная электродинамика

Тождества с символом Леви-Чевиты

В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для

$\ \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon ^{\lambda \mu \nu \sigma }$

можно прочитать на стр. 648. На стр. 648 книги я не нашел информации об этом. Где можно найти? Maxim 17:13, 18 октября 2012 (UTC).

Это математические приложения. Они пока не готовы. Но скопирую ниже соответствующий кусок. Советую также читать книжку Векторы, тензоры и формы. Инструкция для физиков (и решать задачки :). Там в частности стр.183 (но для 3-мерного пространства, зато в криволинейных координатах).

---

$\textstyle \bullet$ В пространстве-времени определим абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чевиты так, что $\textstyle \varepsilon _{0123}=1$ и $\textstyle \varepsilon ^{0123}=-1$. Таким образом, значение, равное 1 для символа с нижними индексами принято по определению. Тензор с верхними индексами получается при помощи свёртки с метрическим тензором $\textstyle g_{\mu \nu }=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$. Три ненулевых индекса приводят к нечётному произведению -1 и дают значение -1.

Произведение двух символов Леви-Чевиты выражается через определитель от символов Кронекера:

$\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\,\varepsilon _{\mu \nu \sigma \tau }=-{\begin{vmatrix}\delta _{\mu }^{\alpha }&\delta _{\nu }^{\alpha }&\delta _{\sigma }^{\alpha }&\delta _{\tau }^{\alpha }\\\delta _{\mu }^{\beta }&\delta _{\nu }^{\beta }&\delta _{\sigma }^{\beta }&\delta _{\tau }^{\beta }\\\delta _{\mu }^{\gamma }&\delta _{\nu }^{\gamma }&\delta _{\sigma }^{\gamma }&\delta _{\tau }^{\gamma }\\\delta _{\mu }^{\lambda }&\delta _{\nu }^{\lambda }&\delta _{\sigma }^{\lambda }&\delta _{\tau }^{\lambda }\\\end{vmatrix}}.$

Действительно, если четвёрки индексов $\textstyle \alpha \beta \gamma \lambda$ и $\textstyle \mu \nu \sigma \tau$ различны, то:

$\varepsilon ^{0123}\,\varepsilon _{0123}=-\det {\mathbf {1} }=-1.$

Если любые два индекса равны, то в матрице оказываются равными две строки или два столбца. Например, при $\textstyle \alpha =\beta$ равны первые две строки. Поэтому в этом случае определитель равен нулю. Перестановка любых двух индексов приводит для первого символа $\textstyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }$ к перестановке местами строк, а для второго $\textstyle \varepsilon _{\mu \nu \sigma \tau }$ — столбцов. В этом случае определитель меняет свой знак. Что и требовалось доказать.

Свернём по индексам $\textstyle \lambda$ и $\textstyle \tau$, перенеся в $\textstyle \varepsilon _{\mu \nu \sigma \tau }$ индекс $\textstyle \tau$ на первое место (появится знак минус). Затем раскроем определитель по нижней строке (получится сумма 4-х определителей 3x3). Учитывая, что перестановка столбцов в определители даёт знак минус, а $\textstyle \delta _{\lambda }^{\lambda }=4$, получаем:

$\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon _{\lambda \mu \nu \sigma }={\begin{vmatrix}\delta _{\mu }^{\alpha }&\delta _{\nu }^{\alpha }&\delta _{\sigma }^{\alpha }\\\delta _{\mu }^{\beta }&\delta _{\nu }^{\beta }&\delta _{\sigma }^{\beta }\\\delta _{\mu }^{\gamma }&\delta _{\nu }^{\gamma }&\delta _{\sigma }^{\gamma }\\\end{vmatrix}}=\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\mu \nu \sigma }\right)-\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\mu \sigma \nu }\right)+\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\sigma \mu \nu }\right)-\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\sigma \nu \mu }\right)+\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\nu \sigma \mu }\right)-\left(^{\alpha \beta \gamma }_{\nu \mu \sigma }\right),$

где введено сокращение $\textstyle \left(^{\alpha \beta \gamma }_{\mu \nu \sigma }\right)=\delta _{\mu }^{\alpha }\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\gamma }$ и второе равенство получено раскрытием определителя. Продолжая аналогичным образом, получаем также следующие тождества:

$\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon _{\gamma \lambda \mu \nu }=-2{\Bigl (}\delta _{\mu }^{\alpha }\delta _{\nu }^{\beta }-\delta _{\nu }^{\alpha }\delta _{\mu }^{\beta }{\Bigr )},\;\;\;\;\;\;\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \mu }=-6\delta _{\mu }^{\lambda },\;\;\;\;\;\;\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }=-24.$