Обсуждение:Ковариантная электродинамика — различия между версиями
Maxim (обсуждение | вклад) (Новая страница: «В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для <math>\ \varepsilon_{\alpha \beta \gamma…») |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | == Тождества с символом Леви-Чевиты | ||
В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для | В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для | ||
Строка 4: | Строка 5: | ||
можно прочитать на стр. 648. На стр. 648 книги я не нашел информации об этом. Где можно найти? [[Участник:Maxim|Maxim]] 17:13, 18 октября 2012 (UTC). | можно прочитать на стр. 648. На стр. 648 книги я не нашел информации об этом. Где можно найти? [[Участник:Maxim|Maxim]] 17:13, 18 октября 2012 (UTC). | ||
+ | |||
+ | : Это математические приложения. Они пока не готовы. Но скопирую ниже соответствующий кусок. | ||
+ | ---- | ||
+ | <math>\textstyle \bullet</math> В пространстве-времени определим абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чевиты так, что <math>\textstyle \varepsilon_{0123}=1</math> и <math>\textstyle \varepsilon^{0123}=-1</math>. Таким образом, значение, равное 1 для символа с нижними индексами принято по определению. Тензор с верхними индексами получается при помощи свёртки с метрическим тензором <math>\textstyle g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math>. Три ненулевых индекса приводят к нечётному произведению -1 и дают значение -1. | ||
+ | |||
+ | Произведение двух символов Леви-Чевиты выражается через определитель от символов Кронекера: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\lambda}\,\varepsilon_{\mu\nu\sigma\tau} = -\begin{vmatrix} \delta_\mu^\alpha & \delta_\nu^\alpha & \delta_\sigma^\alpha & \delta_\tau^\alpha\\ \delta_\mu^\beta & \delta_\nu^\beta & \delta_\sigma^\beta & \delta_\tau^\beta \\ \delta_\mu^\gamma & \delta_\nu^\gamma & \delta_\sigma^\gamma & \delta_\tau^\gamma \\ \delta_\mu^\lambda & \delta_\nu^\lambda & \delta_\sigma^\lambda & \delta_\tau^\lambda \\ \end{vmatrix}.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Действительно, если четвёрки индексов <math>\textstyle \alpha\beta\gamma\lambda</math> и <math>\textstyle \mu\nu\sigma\tau</math> различны, то: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\varepsilon^{0123}\,\varepsilon_{0123} = - \det{\mathbf{1}}= -1.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Если любые два индекса равны, то в матрице оказываются равными две строки или два столбца. Например, при <math>\textstyle \alpha=\beta</math> равны первые две строки. Поэтому в этом случае определитель равен нулю. Перестановка любых двух индексов приводит для первого символа <math>\textstyle \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\lambda}</math> к перестановке местами строк, а для второго <math>\textstyle \varepsilon_{\mu\nu\sigma\tau}</math> — столбцов. В этом случае определитель меняет свой знак. Что и требовалось доказать. | ||
+ | |||
+ | Свернём по индексам <math>\textstyle \lambda</math> и <math>\textstyle \tau</math>, перенеся в <math>\textstyle \varepsilon_{\mu\nu\sigma\tau}</math> индекс <math>\textstyle \tau</math> на первое место (появится знак минус). Затем раскроем определитель по нижней строке (получится сумма 4-х определителей 3x3). Учитывая, что перестановка столбцов в определители даёт знак минус, а <math>\textstyle \delta^\lambda_\lambda=4</math>, получаем: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu\sigma} = \begin{vmatrix} \delta_\mu^\alpha & \delta_\nu^\alpha & \delta_\sigma^\alpha \\ \delta_\mu^\beta & \delta_\nu^\beta & \delta_\sigma^\beta \\ \delta_\mu^\gamma & \delta_\nu^\gamma & \delta_\sigma^\gamma \\ \end{vmatrix} =\left(^{\alpha\beta\gamma}_{\mu\nu\sigma}\right)-\left(^{\alpha\beta\gamma}_{\mu\sigma\nu}\right)+\left(^{\alpha\beta\gamma}_{\sigma\mu\nu}\right)-\left(^{\alpha\beta\gamma}_{\sigma\nu\mu}\right)+\left(^{\alpha\beta\gamma}_{\nu\sigma\mu}\right)-\left(^{\alpha\beta\gamma}_{\nu\mu\sigma}\right),</math></center> | ||
+ | |||
+ | где введено сокращение <math>\textstyle \left(^{\alpha\beta\gamma}_{\mu\nu\sigma}\right)=\delta^\alpha_\mu\delta^\beta_\nu\delta^\gamma_\sigma</math> и второе равенство получено раскрытием определителя. Продолжая аналогичным образом, получаем также следующие тождества: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\lambda}\varepsilon_{\gamma\lambda\mu\nu}=-2\Bigl(\delta^\alpha_\mu\delta^\beta_\nu-\delta^\alpha_\nu\delta^\beta_\mu\Bigr), \;\;\;\;\;\; \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\lambda}\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\mu}=-6\delta^\lambda_\mu, \;\;\;\;\;\; \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\lambda}\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\lambda}=-24.</math></center> |
Версия 19:59, 18 октября 2012
== Тождества с символом Леви-Чевиты В pdf-версии главы написано, что более подробно о преобразовании для
можно прочитать на стр. 648. На стр. 648 книги я не нашел информации об этом. Где можно найти? Maxim 17:13, 18 октября 2012 (UTC).
- Это математические приложения. Они пока не готовы. Но скопирую ниже соответствующий кусок.
В пространстве-времени определим абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чевиты так, что и . Таким образом, значение, равное 1 для символа с нижними индексами принято по определению. Тензор с верхними индексами получается при помощи свёртки с метрическим тензором . Три ненулевых индекса приводят к нечётному произведению -1 и дают значение -1.
Произведение двух символов Леви-Чевиты выражается через определитель от символов Кронекера:
Действительно, если четвёрки индексов и различны, то:
Если любые два индекса равны, то в матрице оказываются равными две строки или два столбца. Например, при равны первые две строки. Поэтому в этом случае определитель равен нулю. Перестановка любых двух индексов приводит для первого символа к перестановке местами строк, а для второго — столбцов. В этом случае определитель меняет свой знак. Что и требовалось доказать.
Свернём по индексам и , перенеся в индекс на первое место (появится знак минус). Затем раскроем определитель по нижней строке (получится сумма 4-х определителей 3x3). Учитывая, что перестановка столбцов в определители даёт знак минус, а , получаем:
где введено сокращение и второе равенство получено раскрытием определителя. Продолжая аналогичным образом, получаем также следующие тождества: