Очень часто встречается плотность вероятности Гаусса, или нормальное распределение.
Соответствующую случайную величину на протяжении этих лекций мы будем обозначать как . Мы не будем различать обозначения для случайной величины
и переменной в её плотности вероятности, которая для нормального распределения имеет вид.
|
|
Среднее значение равно нулю , а её квадрата — единице . Следовательно, дисперсия также равна единице . Далее это будет обозначаться следующим образом: . Если перейти к случайной величине , то она будет иметь среднее и волатильность , поэтому .
Для гауссовых величин полезно знание производящей функции, равной среднему значению от экспоненты:
Разложение в ряд по параметру левой и правой части позволяет легко находить средние произвольных степеней .
В частности: равно 3, и, следовательно, . Вычитание из безразмерного момента четвёртого порядка тройки в определении эксцесса связано с желанием рассматривать в качестве "эталона" нормальное распределение. Если эксцесс больше нуля, то, скорее всего, распределение имеет "толстые хвосты", т.е. лежит выше графика нормального распределения (при ). Если эксцесс отрицательный — наоборот, ниже.
Интегральным распределением:
|
|
мы называем вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого значения .
Если известна плотность вероятности величины , то мы можем найти плотность вероятности для другой случайной величины , связанной с некоторой функциональной зависимостью . Для этого вычисляется среднее от произвольной функции . Это можно сделать, проведя усреднение с известной плотностью вероятности :
Так как нам неизвестна, мы интегрируем с и подставляем в . При помощи обратной замены можно преобразовать второй интеграл в первый. Множитель при в подынтегральной функции окажется искомой плотностью вероятности для .
Рассмотрим в качестве примера случайную величину , имеющую нормальное распределение со средним значением и волатильностью . Найдём распределение для , где — константа.
Первый интеграл — вычисление среднего при помощи нормального распределения. В нём проводится замена , . В результате при :
Вероятность называется логнормальным распределением. В качестве упражнения предлагается вычислить среднее при помощи или гауссовой плотности .
Важно понимать, что используя случайные величины в соотношениях типа , мы не выполняем арифметических операций с конкретными числами, а сообщаем о потенциальном вычислении: "если окажется равным некоторому значению, то ....". Иногда делают различие в обозначениях, записывая случайную величину при помощи большой буквы , а при вычислении среднего — строчной буквой , как переменную интегрирования. Мы не будем этого делать, тем не менее, необходимо помнить об этом довольно тонком различии.
---
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения