Неподвижные наблюдатели

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Релятивистское введение << Оглавление (Глава 1) >> Инерциальные системы отсчёта

Физические процессы происходят в пространстве и во времени. Для определения этих понятий необходимы некоторые измерительные процедуры, которые позволят перейти от ощущений к числам. Это непросто и требует привлечения множества явных или неявных предположений. Нам постоянно придётся говорить о наблюдателях, активных "участниках" физической теории. Хотя окружающий мир является объективным, физика, в конечном счёте, создаётся для объяснения и максимального снижения "субъективности" человеческих ощущений. Поэтому появление в теории подобных "виртуальных" реализаций нашего "Я", скорее всего, неизбежно. Естественно, эти "Я" могут быть представлены и некоторыми приборами.

Восприятие времени формируется благодаря человеческой памяти, фиксирующей окружающие изменения. Эти же изменения служат мерой измерения времени. Наиболее удобны для этого повторяющиеся процессы, временная длительность которых может быть принята одинаковой. Поиск "правильных" часов происходит на протяжении всей истории человечества. Однако что такое правильные часы, и откуда мы знаем, что временная длительность повторяющихся процессов одинакова? При ответе на этот непростой вопрос наиболее конструктивным оказывается принцип простоты:

Время определено таким образом, чтобы движение выглядело простым.

Например, мы не станем строить модели, объясняющие сложное поведение тел из-за неравномерного вращения Земли. Мы просто объявим солнечные часы плохими и будем искать другой, более подходящий, равномерный процесс (например, в микромире).

Наиболее простым является движение с постоянной скоростью (в том числе и с нулевой). В соответствии с первым законом Ньютона это происходит, когда объект достаточно удалён от остальных и можно считать, что на него не оказывается внешних воздействий. Это равномерное движение должно согласовываться с равномерным ходом часов. Кроме этого, скорость объекта измеряется относительно наблюдателя, который сам не должен быть подвержен внешним воздействиям. В этом случае его называют инерциальным. Неравномерность движения может возникать из-за "плохих" часов, неинерциальности наблюдателя или воздействия на объект неких сил. Таким образом, часы, движение и система отсчёта — это три единые стороны одной медали.

Мы не будем конкретизировать устройство часов, используемых для измерения времени. Было бы удобным объявить эти часы атомными, сняв вопросы, связанные с согласованием единиц измерения времени между наблюдателями. Однако тогда мы вынуждены привлечь принцип тождественности микрообъектов, т.е. постулат из другой теории. Такая "смесь" теорий не очень хороша с аксиоматической точки зрения. Поэтому будем считать, что устройство часов различных наблюдателей может отличаться. Тем не менее они таковы, что свободные тела движутся относительно свободных наблюдателей с постоянной скоростью.

В дальнейшем часто будет идти речь о событиях, происходящих в данный момент времени в некоторой точке пространства. Поэтому, кроме равномерности хода, мы наделяем часы свойством точечности и способностью бесконечно быстро "тикать". Это идеализация и необходимо быть готовым к тому, что на микроуровне понятие "момент времени" перестанет соответствовать реальности. Однако эта проблема будет игнорироваться. Также будет игнорироваться факт воздействия на объекты в процессе измерения (что всегда происходит в квантовом мире). Наконец, игнорируется обратное воздействие на наблюдателя в процессе его взаимодействия с объектами. Например, наблюдатель может изменить скорость объекта, оставшись в "той же" точке пространства.

Пространственные отношения можно измерять, если есть эталон, который по определению имеет неизменную длину. Как мы увидим в дальнейшем, жёсткие линейки возможны только в некотором приближении. Это создаёт известную трудность, однако сейчас мы не будем на этом останавливаться. Пусть линейка всегда неподвижна, неизменна и расположена в непосредственной близости от наблюдателя.

Имея часы и линейку, можно измерять скорость и ускорение движущегося объекта. Для измерения скорости необходимо провести два отсчёта времени в двух точках пространства. Ускорение потребует три таких измерения, и т.д. В принципе все эти измерения можно проводить и при помощи одних часов. В этом случае они располагаются между двумя детекторами, которые посылают к часам некоторые сигналы при пролёте мимо них объекта. Даже если скорости этих сигналов неизвестны (и, возможно, различны), уменьшением расстояния между детекторами эту неопределённость можно делать сколь угодно малой. С математической точки зрения скорость — это величина, определённая в данной точке пространства и времени, возникающая в результате предельного перехода. Впрочем, это ещё одна идеализация, без которой мы не можем судить о равномерности движения.

Представим пространство, заполненное множеством наблюдателей. Некоторые из них неподвижны относительно друг друга и образуют систему отсчёта. Если скорости объектов, не подверженных внешнему воздействию, относительно наблюдателей постоянны, то такая система отсчёта называется инерциальной. "Благодаря" наблюдателям в каждой точке системы отсчёта находятся "часы" и "линейка". Для получения единой картины происходящих в пространстве событий наблюдатели должны согласовать единицы измерений. Начнём с единиц скорости.

Пусть каждый из наблюдателей последовательно определяет скорость равномерно движущегося объекта, пролетающего мимо. Наблюдатели могут договориться, что эта скорость равна 1 м/c. В результате измерений получается общая единица скорости. Соответственно, неподвижный объект по определению имеет нулевую скорость. Предполагается, что повторение в дальнейшем подобных экспериментов с объектами, имеющими другие скорости, приводит к совпадению результатов измерений различных наблюдателей. Если этого не происходит, необходимо пересмотреть методы измерения длины, времени, или искать причину изменения скорости.

Как теперь согласовать по отдельности эталоны длины и времени? Можно переместить их в пространстве, обменявшись копиями эталонов. Однако хотелось бы избежать такой процедуры из-за потенциальной деформации приборов при изменении их скорости, возникающей при "переноске". Простейший способ согласования единиц времени в рамках механики — это посылка объектов с одинаковыми скоростями от одного наблюдателя ко второму с некоторой периодичностью. Период посылки может быть принят за единицу времени (левый рисунок):

Unit dt.png

Если единицы скорости и времени согласованы, наблюдатели получают в свое распоряжение и одинаковые единицы длины. Естественно, они должны убедиться, что находятся в одной системе отсчета, т.е. что расстояние между ними неизменно. Для этого они могут использовать "радиолокационный метод". Первый наблюдатель отправляет в направлении второго объект с постоянной скоростью (правый рисунок выше). Получив его, второй наблюдатель отправляет объект обратно с той же скоростью (с обратным знаком). Первый наблюдатель измеряет промежуток времени между отправлением объекта и получением его обратно. Если при повторении этого эксперимента будет неизменным, то расстояние между наблюдателями можно считать постоянным.

Заметим, что изотропность (одинаковость всех направлений) пространства при этих экспериментах не используется, хотя подразумевается инерциальность системы. Скорость отправляемого обратно объекта контролируется как вторым, так и первым наблюдателем. Поэтому дополнительная гипотеза о равенстве скоростей "туда" и "обратно" не требуется. Необходимо только их постоянство.

Можно провести этот же эксперимент в "перевернутом" виде, когда его начинает второй наблюдатель, а первый отправляет объект обратно. Второй наблюдатель должен по договорённости получить такую же временную длительность от отправки объекта до его получения. Это ещё один способ согласования единиц времени, который должен привести к тем же результатам, что и периодическая посылка объектов.

Кроме единиц длины и времени, наблюдателям необходима синхронизация начала отсчёта времени. Для этого можно повторить предыдущий эксперимент, но при этом измерять не только интервал времени, но и абсолютные временные значения каждого события. Пусть по часам первого наблюдателя отправление объекта произошло в момент времени . Этот объект, имея скорость , достигает второго наблюдателя в момент времени по его локальным часам. Объект, отправляемый обратно с той же скоростью, прибывает к первому наблюдателю в момент . По определению скорости и в предположении относительной неподвижности наблюдателей длительность движения объекта в обе стороны должна быть одинаковой, поэтому:

Time synh.png

Соотношение позволит наблюдателям выбрать начало отсчета времени единым образом. Заметим, что значение скорости объекта, используемого для синхронизации часов, роли не играет. Следуя Эйнштейну, для подобной процедуры используются световые сигналы. Однако, как мы видим, коль уж наблюдатели умеют измерять скорость, это не обязательно. Более того, все описанные выше процедуры имеют смысл, если они дают одинаковый результат при любой скорости объекта, а не только для некой выделенной.

Предполагается, что процедуры согласования единиц длины и времени, а также синхронизация начала отсчёта времени обладают свойством транзитивности. Если наблюдатель согласовал свои приборы c , а затем провёл аналогичное согласование с , то и также оказываются согласованными. В результате все наблюдатели в данной системе отсчета имеют единое время и единицы длины (скорости).

Чтобы измерять скорость объектов, наблюдателям необходима линейка. Однако мы предполагаем, что она сколь угодна малая (наблюдатель в данной точке пространства мыслится как точечный). Для измерения больших расстояний проще всего использовать "радиолокационный метод" с посылкой и возвращением некого объекта с постоянной скоростью . Её значение роли не играет, однако должно быть известным. Если путешествие туда и обратно длится время , то пройденное объектом расстояние в одну сторону по определению равно . Напомним, что неизменность во времени этого расстояния является свидетельством относительной неподвижности наблюдателей.

Различные пары наблюдателей могут измерить подобным образом расстояния друг между другом. Множество значений этих расстояний не может быть произвольным и определяется геометрическими свойствами пространства. Ключевым свойством является размерность пространства. Для её измерения можно проделать следующую процедуру. Рассмотрим множество точек, равноудалённых от данной. Это поверхность (сфера), и по определению предполагается, что её размерность на единицу меньше, чем размерность всего пространства. На этой поверхности мы снова можем выбрать фиксированную точку и рассмотреть множество точек на поверхности, равноудалённых от центральной точки. Получится окружность. Её размерность снова на единицу меньше, чем у сферы. Считается, что даже на микроуровне подобная процедура рано или поздно заканчивается и финальное множество точек будет конечным. Число выполненных итераций и равняться размерности пространства:

Space def.png

Мы постулируем, что проведение подобного измерения размерности пространства в различных его точках будет приводить к одинаковым результатам. Другими словами, размерность пространства является его глобальной характеристикой. Как известно, наше пространство трёхмерно.

Кроме способа, описанного выше, возможно совместное изучение геометрии пространства и его размерности. Например, если на евклидовой плоскости (2-мерное пространство) есть 4 точки, не лежащие на одной прямой, то расстояния между ними не могут быть произвольными. Выше расстояние зависит от остальных пяти расстояний. Если же эти точки лежат не в плоскости, то подобной связи уже не возникает.

Второе важное свойство "пустого" пространства — это его изотропность. Измеряя скорость некоторого объекта, наблюдатели получают не только её величину, но и направление (вектор). Мы будем считать, что "выделенных направлений" в пространстве нет, т.е. все они равноправны.

Третье свойство пространства — его однородность. Любые эксперименты, проводящиеся в различных точках пространства (различными наблюдателями), должны приводить к одинаковым результатам.

В силу изотропности пространства окружность можно разделить на равное число "секторов", введя понятие угла. При этом полный угол окружности в радианах принимается за . Углы и расстояния позволяют изучать свойства геометрии пространства. Например, если сумма углов треугольника, образованного тремя наблюдателями, равна , то такое пространство является евклидовым.

На самом деле однородное и изотропное пространстве может обладать тремя видами геометрии, отличающимися знаком кривизны пространства. Если сумма углов в треугольнике больше , то это пространство положительной кривизны, а если меньше — отрицательной. В силу однородности и изотропности треугольники с одинаковыми сторонами будут иметь одинаковое отклонение от , т.е. кривизна постоянна в разных направлениях и точках пространства. Наглядный пример однородного изотропного пространства постоянной положительной кривизны — это 2-мерное пространство на поверхности сферы.

В первых главах мы будем считать наше пространство 3-мерным и евклидовым. В дальнейшем будет рассмотрен более общий случай. В евклидовом пространстве можно ввести декартову систему координат. Для этого один из наблюдателей объявляется находящимся в "начале" системы отсчета. С каждым наблюдателем связывается тройка чисел , которые называются координатами. Они задают его положение в пространстве. Эти три числа "нумеруют" наблюдателей (или точки пространства, в которых они находятся).

В евклидовом пространстве подобную нумерацию можно выбрать таким образом, что квадрат расстояния между любыми двумя точками и будет равен:

Значения координат начала системы отсчёта принимаются нулевыми. Добавление к координатам момента времени позволяет полностью идентифицировать любое событие, происходящее в некоторой точке пространства в данный момент времени .


Литература

  • Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, М.: Мир (1977)
  • Время и современная физика, сб. статей, М.: Мир (1977)



Релятивистское введение << Оглавление (Глава 1) >> Инерциальные системы отсчёта

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии