Неоднозначность и ковариантность

Материал из synset
Версия от 20:05, 2 июля 2013; WikiSysop (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Применения теоремы Нётер << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Спин

Запишем ещё раз выражения для канонического тензора энергии-импульса (симметрия относительно трансляций в 4-пространстве):

и тензора полного момента импульса поля (симметрия относительно вращения в 4-пространстве): где угловая и спиновая компоненты полного момента импульса равны:

По первому индексу энергия-импульс и момент удовлетворяют уравнениям непрерывности и Тензор момента по последним двум индексам антисимметричен (т.к. антисимметричны параметры поворота ). Канонический тензор энергии-импульса, в общем случае, несимметричен по индексам. Если же он оказывается симметричным , то угловой и спиновый моменты сохраняются (удовлетворяют уравнениям непрерывности) независимо. Действительно:

(EQN)

где сразу учтено, что . Если сохраняется угловой момент , то, в силу сохранения полного момента , будет сохраняться и спиновая компонента момента . В качестве упражнения (\,H) стоит проверить, что для лагранжиана

канонический тензор энергии-импульса симметричен, а тензор спина не равен нулю и сохраняется сам по себе.

К любому сохраняющемуся току можно прибавить некоторую комбинацию полей, которая, в свою очередь, удовлетворяет уравнению непрерывности. Понятно, что подобный модифицированный ток также будет сохранятся. Пусть — антисимметричный тензор: . Тогда

так как в силу перестановочности производных и антисимметричности , имеем (стр.\,\pageref{m_antisym_sym}). Поэтому добавление к току величины не нарушит закона сохранения. Возможны и более замысловатые изменения канононических величин.

Так, от канонических тензоров энергии-импульса и спина перейдём к новым тензорам энергии-импульса и спина при помощи тензора , который антисимметричен по последним двум индексам: ():

(EQN)

Тензор по-прежнему удовлетворяет уравнению непрерывности:

Первое слагаемое (член в круглых скобках) равен нулю, в силу явной антисимметрии по индексам и . Последний член равен нулю, так как тензор антисимметричен по последним двум индексам.

Используя тензоры и можно записать новый полный момент:

Он как и канонический момент сохраняется. Действительно равен:

Беря производные по и учитывая, что , получаем:

где опущены производные от круглых скобок, равные, как мы видели при вычислении , нулю. Кроме этого проведены свёртки с и . Приводя подобные слагаемые, получаем

(EQN)

Неоднозначность в определении сохраняющихся величин можно использовать для придания им тех или иных свойств. Например, если выше выбрать , где — канонический спин (получаемый из теоремы Нётер), то новый тензор спина становится равным нулю (), а тензор энергии-импульса симметричным:

(EQN)

Симметричность следует из того, что удовлетворяет уравнению непрерывности, поэтому справедливы вычисления подобные ().

"Упрятывание" спиновой компоненты полного момента импульса поля в угловой момент с одновременной симметризацией тензора энергии-импульса называется процедурой Белифанте. Стоит проверить, что "угаданная" дивергенция для симметризации тензора энергии-импульса на стр.\,\pageref{tensor_en_mom_eld_sym} может быть получена при помощи этой процедуры.

Неоднозначность в выборе тензоров энергии-импульса и спина, естественно, не приводит к физической неоднозначности. Рассмотрим, например, сохранение энергии в объёме , окруженном поверхностью (стр.\,\pageref{energy_E_int}):

(EQN)

Это интегральное уравнение непосредственно следует из теоремы Пойнтинга и силы Лоренца. В ковариантном виде теорема Пойнтинга имеет вид , где тензоры поля и вещества являются симметричными. Пусть к сумме этих двух тензоров прибавляют некоторый тензор , автоматически удовлетворяющий уравнению . Его добавление скажется следующим образом на интегральной версии закона сохранения:

(EQN)

В силу уравнения непрерывности , независимо от () выполняется соотношение:

(EQN)

Пусть мы интересуемся, что происходит с суммарной энергией зарядов при изменении напряженностей полей. Понятно, что совместное использование законов сохранения () и () приведёт к тем же физическим следствиям, что и использование (). Поэтому неоднозначность в выборе плотности энергии и импульса поля (произвол в тензоре ) не влияет на однозначность в описании поведения зарядов.

Определённые сложности с однозначностью иногда возникают при рассмотрении потока энергии через некоторую площадку (незамкнутую поверхность). С таким потоком мы имеем дело когда измеряем энергию излучения, проходящую в единицу времени через единицу поверхности. Этот поток приводит к давлению, нагреву и другим "неполевым" последствиям, которые можно независимо измерить. В тоже время, вектор плотности импульса поля , характеризующий эти эффекты, с точки зрения теоремы Пойнтинга, определён неоднозначно. Например, в силу уравнения Максвелла , его можно заменить на (в ковариантной формулировке это соответствует выбору тензора ). Куда в этом случае направлено давление света?

На самом деле, даже при рассмотрении потока через площадку, необходимо последовательно применять интегральный закон сохранения для замкнутого объёма. Тогда проблем с неоднозначностью не будет. Например, пусть нас интересует какой импульс передан пластинке, поглотившей падающий на неё свет. В конечном счёте, этот импульс передан зарядам, находящимся в пластинке. Поэтому необходимо рассматривать пластинку в виде, например, параллелепипеда, имеющего малую, но конечную толщину. Внутри этого параллелепипеда находятся заряды. Для вычисления поглощённого импульса поля возьмём суммарный закон сохранения импульса поля и зарядов (стр.\,\pageref{conserv_mom_em}):

Какой бы тензор мы не добавили к , он фактически не меняет этого уравнения, сокращаясь в силу собственного закона сохранения типа (). Вычислим поверхностный интеграл от тензора напряжений (см. стр.\,\pageref{fld_sigma_ij}). Рассмотрим, для простоты плоскую, линейно поляризованную электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси с амплитудой :

Пусть плоскость параллелепипеда (пластинка) перпендикулярна оси . Тогда является вектором с компонентами:

Вектор перпендикулярен поверхности, выходя наружу из объёма. Поэтому на верхней стороне пластины направлен вдоль оси , а на нижней — против. В результате, поверхностный интеграл от равен нулю. Закон сохранения импульса при поглощении электромагнитного поля пластинкой можно теперь записать следующим образом:

где левая часть относится к ситуации до поглощения, а правая — после. Изменение импульса пластинки равно полученному ею импульсу поля.

Заметим, что в некотором смысле симметричный тензор энергии импульса является выделенным, т.к. не требует дополнительных вычислений по выявлению тривиально сокращающихся слагаемых в законах сохранения.

Рассматривая законы сохранения в теории поля, мы строим тензорные поля (тензоры, зависящие от координат и времени), которые удовлетворяют уравнению непрерывности. Во времени сохраняется интеграл по 3-мерному пространству от нулевой компоненты таких тензоров. Например, интеграл от нулевой компоненты 4-тока является сохраняющимся зарядом . Этот заряд инвариантен относительно преобразований Лоренца и имеет одинаковое значение для всех инерциальных наблюдателей. Аналогично, для тензора энергии-импульса вычисляется интеграл по от . Его значение является суммарной энергией-импульсом поля , которая преобразуется как 4-вектор.

Подчеркнём, что 4-вектор и 4-тензор , по определению и по сути своего построения, являются локально ковариантными величинами. Например, 4-ток преобразуется как 4-вектор: . При этом аргументы векторного поля , измеряемого в двух системах отсчёта, относятся к одной и той же точке пространства-времени. В этой точке "находятся" 2 наблюдателя из 2-х систем отсчёта, каждый из которых измеряет собственное время. Поэтому в левой части преобразований аргументы 4-вектора имеют штрих, а в правой стоят уже без штриха.

Когда мы переходим к интегральным величинам, суммируя тензорное поле по всему пространству, вступает в игру относительность одновременности. Забудем пока, что 4-ток удовлетворяет уравнению непрерывности и вычислим для произвольного поля интеграл:

(EQN)

При интегрировании мы суммируем значения функции , измеренные наблюдателями во всём пространстве в данный момент времени в данной "нештрихованной" системе отсчёта. Аналогичное выражение со штрихами соответствует интегральной величине, измеренной наблюдателями в другой инерциальной системе в момент времени . Как известно (стр.\,\pageref{delta_lorenz1}), в теории относительности мы не можем ввести синхронизированное во всём пространстве время, одновременно в двух различных инерциальных системах отсчёта. Когда в преобразовании стоят времена и это не вызывает затруднения, т.к. понятно к каким наблюдателям они относятся. Время же в интегральном соотношении типа () связано с совокупностью всех наблюдателей данной системы отсчёта. Оно не может быть непосредственно сравнено с аналогичным "интегральным" временем в другой системе отсчёта. Сравнить между собой заряды и можно только, если они сохраняются и от времён не зависят.

Приведём простой пример. Пусть пространство Минковского 2-мерно . Рассмотрим ток , не удовлетворяющий уравнению непрерывности. Для него заряд равен:

Очевидно, что эта функция времени не является инвариантом. На самом деле применить к ней преобразования Лоренца и нельзя, так как величина не относится к одной точке в пространстве, поэтому не ясно какие и использовать в этих преобразованиях.

Сохраняющийся же заряд от времени не зависит и оказывается инвариантом. Приведём пример для этого случая. Пусть — постоянный единичный вектор (). Введём 4-вектор , ортогональный к :

Аналогичный 4-вектор мы ввели при ковариантном описании потенциала и тензора напряженности точечного заряда (стр.\,\pageref{fld_A_for_point_Q}). Так как 4-вектор единичный, его компоненты можно представить аналогично компонентами 4-скорости , . Рассмотрим сохраняющийся ток . Соответствующий ему заряд равен:

Очевидно, что это же значение получат наблюдатели в "штрихованной" системе отчёта.

Аналогичные 4-току рассуждения справедливы и для тензорных уравнений или Соответствующие интегралы

будут тензорными выражениями так как и не зависят от времени. Если же уравнения непрерывности не выполняются, то тензорные выражения после интегрирования, в общем случае, не возникнут. В частности, интегралы от угловой и спиновой компонент момента импульса не являются тензорами, если по-отдельности не удовлетворяют уравнениям непрерывности. Аналогично, в электродинамике сохраняется суммарный тензор частиц и полей: По-отдельности эти тензоры, вообще говоря, не сохраняются. Поэтому, суммарный 4-импульс только лишь частиц будет зависеть от времени и не является 4-вектором (см. также стр.\,\pageref{sec_non_loc_law_conserv}).

Докажем более строго, что интеграл по всему пространству от нулевой компоненты сохраняющегося 4-тока , является скаляром относительно преобразований Лоренца \cite{Weinberg1975}. Рассмотрим, например, некоторый ток , удовлетворяющий уравнению непрерывности:

Пусть поле достаточно быстро убывает на бесконечности в 3-мерном пространстве . Точнее, убывание должно быть быстрее чем , чтобы поверхностный интеграл от пространственной компоненты 4-тока на бесконечности равнялся нулю.

Запишем в значение заряда в данный момент времени . Для этого сначала, при помощи -функции Дирака, перейдём от интегрирования по 3-мерному пространству , к интегрированию по всему пространству-времени :

Введём функцию ступеньки Хевисайда:

(EQN)

Производная от неё равна -функции: , что проверяется проведением интегрирования по частям с произвольной функцией (стр.\,\pageref{math_Heaviside}). При помощи функции Хевисайда выражение для заряда можно переписать в следующем виде:

По повторяющемуся индексу , как обычно, проводится суммирование от 0 до 3. Переход от производной по к ковариантной производной во втором равенстве возможен, так как функция Хевисайда зависит только от времени (производные по координатам будут равны нулю). Учитывая уравнение непрерывности , ток можно внести под производную:

(EQN)

где второе равенство записано при помощи интегральной теоремы Гаусса в 4-мерном пространстве (переход от объёмного интеграла , к интегралу по поверхности , окружающей этот объём).

Запишем теперь значение заряда в другой инерциальной системе отсчёта, движущейся относительно первой вдоль оси со скоростью . В этой системе всем величинам добавляются штрихи:

Сделаем замену переменных интегрирования, совпадающих с преобразованиями Лоренца: , . Якобиан такого преобразования равен единице (\,H), поэтому . Производная преобразуется аналогично ковектору при преобразованиях Лоренца. Так как при этом штрих у можно убрать. Поэтому:

(EQN)

Используя теорему Гаусса в 4-мерном пространстве и вычитая () и (), имеем:

Представим гиперповерхность , охватывающую всё 4-пространство, как цилиндр, осью которого является ось времени . Поверхностный интеграл на боковых сторонах этого цилиндра равен нулю, так как при . На основаниях цилиндра при любых конечных , , при разница функций Хевисайда равна нулю. Действительно, если и константы, то в силу определения (), имеем:

Аналогично, обе функции Хевисайда стремятся к нулю при . Если же вместе с к бесконечности стремится , то ноль возникает, так как стремится к нулю значение 4-тока. Таким образом, мы доказали, что . При помощи этого же метода несложно показать, что, при выполнении уравнения , интеграл от будет 4-вектором.

Заметим, что иногда поля в течении всего времени локализованы в компактной области пространства (перемещающейся вдоль некоторой траектории). В этом случае могут существовать квазисохраняющиеся токи. Это означает, что уравнение непрерывности не выполняется, но заряд является инвариантом, если пренебречь размерами области. Например, пусть в пределе при котором соответствующая область стремиться к нулю, возникает функция Дирака . Если при этом не зависит от времени, то и интеграл от будет постоянным. Другими словами, отклонения от тензорного характера интегральных величин иногда могут быть и небольшими.


Применения теоремы Нётер << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Спин

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии