Неоднозначность и ковариантность — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Применения теоремы Нётер << ! width="40%"|Оглавление (…»)
 
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Запишем ещё раз выражения для канонического тензора энергии-импульса (симметрия относительно трансляций в 4-пространстве):
 +
 +
:<center><math>T^{\mu\nu} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \Psi_k)}\,\partial^\nu\Psi_k - g^{\mu\nu}\,\mathcal{L}</math></center>
 +
 +
и тензора полного момента импульса поля (симметрия относительно вращения в 4-пространстве): <math>\textstyle J^{\mu,\alpha\beta} = L^{\mu,\alpha\beta} + S^{\mu,\alpha\beta},</math> где угловая и спиновая компоненты полного момента импульса равны:
 +
 +
:<center><math>L^{\mu,\alpha\beta} = x^\alpha\,T^{\mu\,\beta} - x^\beta\,T^{\mu\,\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S^{\mu,\alpha\beta} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \Psi_k)}\, Y_{k}^{\;\alpha\beta}.</math></center>
 +
 +
По первому индексу энергия-импульс и момент удовлетворяют уравнениям непрерывности <math>\textstyle \partial_\mu T^{\mu\nu} =0</math> и <math>\textstyle \partial_\mu J^{\mu,\alpha\beta} = 0.</math> Тензор момента по последним двум индексам антисимметричен (т.к. антисимметричны параметры поворота <math>\textstyle \omega^{\alpha\beta}</math>). Канонический тензор энергии-импульса, в общем случае, несимметричен по индексам. Если же он оказывается симметричным <math>\textstyle T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}</math>, то угловой и спиновый моменты сохраняются (удовлетворяют уравнениям непрерывности) независимо. Действительно:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial_\mu L^{\mu,\alpha\beta} = \partial_\mu(x^\alpha\,T^{\mu\beta}- x^\beta\,T^{\mu\alpha}) = \delta^\alpha_\mu \,T^{\mu\beta}- \delta^\beta_\mu\,T^{\mu\alpha} = T^{\alpha\beta} - T^{\beta\alpha}=0, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где сразу учтено, что <math>\textstyle \partial_\mu T^{\mu\alpha}=0</math>. Если сохраняется угловой момент <math>\textstyle L^{\mu,\alpha\beta}</math>, то, в силу сохранения полного момента <math>\textstyle J^{\mu,\alpha\beta}</math>, будет сохраняться и спиновая компонента момента <math>\textstyle S^{\mu,\alpha\beta}</math>. В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) стоит проверить, что для лагранжиана
 +
 +
:<center><math>\mathcal{L} = -\frac{1}{8\pi}\,(\partial_\alpha A_\beta) (\partial^\alpha A^\beta)</math></center>
 +
 +
канонический тензор энергии-импульса симметричен, а тензор спина не равен нулю и сохраняется сам по себе.
 +
 +
К любому сохраняющемуся току <math>\textstyle J^\mu</math> можно прибавить некоторую комбинацию полей, которая, в свою очередь, удовлетворяет уравнению непрерывности. Понятно, что подобный модифицированный ток также будет сохранятся. Пусть <math>\textstyle \Phi^{\mu\nu}</math> &mdash; антисимметричный тензор: <math>\textstyle \Phi^{\mu\nu}=-\Phi^{\nu\mu}</math>. Тогда
 +
 +
:<center><math>\partial_\mu(J^\mu+\partial_\nu\Phi^{\mu\nu}) = 0,</math></center>
 +
 +
так как в силу перестановочности производных <math>\textstyle \partial_\nu\partial_\mu=\partial_\mu\partial_\nu</math> и антисимметричности <math>\textstyle \Phi^{\mu\nu}</math>, имеем <math>\textstyle \partial_\mu\partial_\nu\Phi^{\mu\nu}=0</math> (стр.\,\pageref{m_antisym_sym}). Поэтому добавление к току величины <math>\textstyle \partial_\nu\Phi^{\mu\nu}</math> не нарушит закона сохранения. Возможны и более замысловатые изменения канононических величин.
 +
 +
Так, от канонических тензоров энергии-импульса и спина перейдём к новым тензорам энергии-импульса и спина при помощи тензора <math>\textstyle \Phi^{\mu,\alpha\beta}</math>, который антисимметричен по последним двум индексам: (<math>\textstyle \Phi^{\mu,\alpha\beta}=-\Phi^{\mu,\beta\alpha}</math>):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{T}^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+\frac{1}{2}\,\partial_\gamma\,(\Phi^{\gamma,\mu\nu}-\Phi^{\mu,\gamma\nu}-\Phi^{\nu,\gamma\mu}), \;\;\;\;\; \tilde{S}^{\mu,\alpha\beta}=S^{\mu,\alpha\beta}-\Phi^{\mu,\alpha\beta}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Тензор <math>\textstyle \tilde{T}^{\mu\nu}</math> по-прежнему удовлетворяет уравнению непрерывности:
 +
 +
:<center><math>\partial_\mu\tilde{T}^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\,\partial_\mu\,\partial_\gamma\,(\Phi^{\gamma,\mu\nu}-\Phi^{\mu,\gamma\nu}) -\frac{1}{2}\,\partial_\mu\,\partial_\gamma\,\Phi^{\nu,\gamma\mu}=0.</math></center>
 +
 +
Первое слагаемое (член в круглых скобках) равен нулю, в силу явной антисимметрии по индексам <math>\textstyle \mu</math> и <math>\textstyle \gamma</math>. Последний член равен нулю, так как тензор <math>\textstyle \Phi^{\nu,\gamma\mu}</math> антисимметричен по последним двум индексам.
 +
 +
Используя тензоры <math>\textstyle \tilde{T}^{\mu\nu}</math> и <math>\textstyle \tilde{S}^{\mu,\alpha\beta}</math> можно записать новый полный момент:
 +
 +
:<center><math>\tilde{J}^{\mu,\alpha\beta} = x^\alpha\,\tilde{T}^{\mu\,\beta} - x^\beta\,\tilde{T}^{\mu\,\alpha} + \tilde{S}^{\mu,\alpha\beta}.</math></center>
 +
 +
Он как и канонический момент сохраняется. Действительно <math>\textstyle \tilde{J}^{\mu,\alpha\beta}</math> равен:
 +
 +
:<center><math>J^{\mu,\alpha\beta} + \frac{x^\alpha}{2}\,\partial_\gamma\,(\Phi^{\gamma,\mu\beta}-\Phi^{\mu,\gamma\beta}-\Phi^{\beta,\gamma\mu}) -\frac{x^\beta}{2}\,\partial_\gamma\,(\Phi^{\gamma,\mu\alpha}-\Phi^{\mu,\gamma\alpha}-\Phi^{\alpha,\gamma\mu}) -\Phi^{\mu,\alpha\beta}.</math></center>
 +
 +
Беря производные по <math>\textstyle \partial_\mu</math> и учитывая, что <math>\textstyle \partial_\mu J^{\mu,\alpha\beta}=0</math>, получаем:
 +
 +
:<center><math>\partial_\mu\tilde{J}^{\mu,\alpha\beta}= \frac{1}{2}\,\partial_\gamma\,(\Phi^{\gamma,\alpha\beta}-\Phi^{\alpha,\gamma\beta}-\Phi^{\beta,\gamma\alpha}) -\frac{1}{2}\partial_\gamma\,(\Phi^{\gamma,\beta\alpha}-\Phi^{\beta,\gamma\alpha}-\Phi^{\alpha,\gamma\beta}) -\partial_\mu \Phi^{\mu,\alpha\beta},</math></center>
 +
 +
где опущены производные от круглых скобок, равные, как мы видели при вычислении <math>\textstyle \partial_\mu\tilde{T}^{\mu\nu}</math>, нулю. Кроме этого проведены свёртки с <math>\textstyle \partial_\mu x^\alpha=\delta^\alpha_\mu</math> и <math>\textstyle \partial_\mu x^\beta=\delta^\beta_\mu</math>. Приводя подобные слагаемые, получаем
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial_\mu\tilde{J}^{\mu,\alpha\beta}=0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Неоднозначность в определении сохраняющихся величин можно использовать для придания им тех или иных свойств. Например, если выше выбрать <math>\textstyle \Phi^{\mu,\alpha\beta}=S^{\mu,\alpha\beta}</math>, где <math>\textstyle S^{\mu,\alpha\beta}</math> &mdash; канонический спин (получаемый из теоремы Нётер), то новый тензор спина <math>\textstyle \tilde{S}^{\mu,\alpha\beta}</math> становится равным нулю (<math>\textstyle \tilde{S}^{\mu,\alpha\beta}=0</math>), а тензор энергии-импульса симметричным:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{J}^{\mu,\alpha\beta} = x^\alpha\,\tilde{T}^{\mu\,\beta} - x^\beta\,\tilde{T}^{\mu\,\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tilde{T}^{\mu\nu}=\tilde{T}^{\nu\mu}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Симметричность <math>\textstyle \tilde{T}^{\mu\nu}</math> следует из того, что <math>\textstyle \tilde{J}^{\mu,\alpha\beta}</math> удовлетворяет уравнению непрерывности, поэтому справедливы вычисления подобные ().
 +
 +
"Упрятывание" спиновой компоненты полного момента импульса поля в угловой момент с одновременной симметризацией тензора энергии-импульса называется ''процедурой Белифанте''. Стоит проверить, что "угаданная" дивергенция для симметризации тензора энергии-импульса на стр.\,\pageref{tensor_en_mom_eld_sym} может быть получена при помощи этой процедуры.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Неоднозначность в выборе тензоров энергии-импульса и спина, естественно, не приводит к физической неоднозначности. Рассмотрим, например, сохранение энергии в объёме <math>\textstyle V</math>, окруженном поверхностью <math>\textstyle S</math> (стр.\,\pageref{energy_E_int}):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d}{dt}\left\{\int\limits_V W\,dV+ \sum^n_{k=1} \mathbb{E}_k\right\} + \oint\limits_S \mathbf{P}\,d\mathbf{S} = 0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Это интегральное уравнение непосредственно следует из теоремы Пойнтинга <math>\textstyle \partial W/\partial t + \mathbf{E}\mathbf{j} + \nabla\mathbf{P} = 0</math> и силы Лоренца. В ковариантном виде теорема Пойнтинга имеет вид <math>\textstyle \partial_\mu(T^{\mu\nu}+\mathcal{T}^{\mu\nu})=0</math>, где тензоры поля <math>\textstyle T^{\mu\nu}</math> и вещества <math>\textstyle \mathcal{T}^{\mu\nu}</math> являются симметричными. Пусть к сумме этих двух тензоров прибавляют некоторый тензор <math>\textstyle G^{\mu\nu}</math>, автоматически удовлетворяющий уравнению <math>\textstyle \partial_\mu G^{\mu\nu}=0</math>. Его добавление скажется следующим образом на интегральной версии закона сохранения:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d}{dt}\left\{\int\limits_V (W+G^{00})\,dV+ \sum^n_{k=1} \mathbb{E}_k\right\} + \oint\limits_S (P^i+G^{0i})\,dS^i = 0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
В силу уравнения непрерывности <math>\textstyle \partial_\mu G^{\mu\nu}=0</math>, независимо от () выполняется соотношение:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d}{dt}\int\limits_V G^{00}\,dV + \oint\limits_S G^{0i}\,dS^i = 0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Пусть мы интересуемся, что происходит с суммарной энергией зарядов <math>\textstyle \mathbb{E}_k</math> при изменении напряженностей полей. Понятно, что совместное использование законов сохранения () и () приведёт к тем же физическим следствиям, что и использование (). Поэтому неоднозначность в выборе плотности энергии и импульса поля (произвол в тензоре <math>\textstyle G^{\mu\nu}</math>) не влияет на однозначность в описании поведения зарядов.
 +
 +
Определённые сложности с однозначностью иногда возникают при рассмотрении потока энергии через некоторую площадку (незамкнутую поверхность). С таким потоком мы имеем дело когда измеряем энергию излучения, проходящую в единицу времени через единицу поверхности. Этот поток приводит к давлению, нагреву и другим "неполевым" последствиям, которые можно независимо измерить. В тоже время, вектор плотности импульса поля <math>\textstyle \mathbf{P}=[\mathbf{E}\times\mathbf{B}]/4\pi</math>, характеризующий эти эффекты, с точки зрения теоремы Пойнтинга, определён неоднозначно. Например, в силу уравнения Максвелла <math>\textstyle \nabla\mathbf{B}=0</math>, его можно заменить на <math>\textstyle \mathbf{P}\mapsto \mathbf{P} + \mathbf{B}</math> (в ковариантной формулировке это соответствует выбору тензора <math>\textstyle G^{\mu\nu}=\,^*F^{\mu\nu}</math>). Куда в этом случае направлено давление света?
 +
 +
На самом деле, даже при рассмотрении потока через площадку, необходимо последовательно применять интегральный закон сохранения для ''замкнутого'' объёма. Тогда проблем с неоднозначностью не будет. Например, пусть нас интересует какой импульс передан пластинке, поглотившей падающий на неё свет. В конечном счёте, этот импульс передан зарядам, находящимся в пластинке. Поэтому необходимо рассматривать пластинку в виде, например, параллелепипеда, имеющего малую, но конечную толщину. Внутри этого параллелепипеда находятся заряды. Для вычисления поглощённого импульса поля возьмём ''суммарный'' закон сохранения импульса поля и зарядов (стр.\,\pageref{conserv_mom_em}):
 +
 +
:<center><math>\frac{d}{dt}\Bigl(\int\limits_V \mathbf{P}\,dV+\sum^n_{k=1}\mathbf{p}_k\Bigr)_i + \int\limits_S \sigma_{ij}\, dS^j = 0</math></center>
 +
 +
Какой бы тензор <math>\textstyle G^{\mu\nu}</math> мы не добавили к <math>\textstyle T^{\mu\nu}+\mathcal{T}^{\mu\nu}</math>, он фактически не меняет этого уравнения, сокращаясь в силу собственного закона сохранения типа (). Вычислим поверхностный интеграл от тензора напряжений <math>\textstyle \sigma_{ij}</math> (см. стр.\,\pageref{fld_sigma_ij}). Рассмотрим, для простоты плоскую, линейно поляризованную электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси <math>\textstyle z</math> с амплитудой <math>\textstyle f=f(z-t)</math>:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{E}=\{f,\,0,\,0\}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B}=\{0,\,f,\,0\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{P}=\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{4\pi}=\{0,\,0,\,f^2/4\pi\},</math></center>
 +
 +
Пусть плоскость параллелепипеда (пластинка) перпендикулярна оси <math>\textstyle z</math>. Тогда <math>\textstyle \sigma_{ij}\,dS^j</math> является вектором с компонентами:
 +
 +
:<center><math>\frac{\mathbf{E}^2+\mathbf{B}^2}{8\pi}\,d\mathbf{S} - \frac{\mathbf{E}(\mathbf{E}d\mathbf{S})+\mathbf{B}(\mathbf{B}d\mathbf{S})}{4\pi} =\frac{f^2}{4\pi}\,\{0,\,0,\,dS_z\}.</math></center>
 +
 +
Вектор <math>\textstyle d\mathbf{S}</math> перпендикулярен поверхности, выходя наружу из объёма. Поэтому на верхней стороне пластины <math>\textstyle dS_z</math> направлен вдоль оси <math>\textstyle z</math>, а на нижней &mdash; против. В результате, поверхностный интеграл от <math>\textstyle \sigma_{ij}</math> равен нулю. Закон сохранения импульса при поглощении электромагнитного поля пластинкой можно теперь записать следующим образом:
 +
 +
:<center><math>\left(\int\limits_V \mathbf{P}\,dV+\sum^n_{k=1}\mathbf{p}_k\right)_{t_1} = \left(\sum^n_{k=1}\mathbf{p}_k\right)_{t_2},</math></center>
 +
 +
где левая часть относится к ситуации до поглощения, а правая &mdash; после. Изменение импульса пластинки равно полученному ею импульсу поля.
 +
 +
Заметим, что в некотором смысле симметричный тензор энергии импульса является выделенным, т.к. не требует дополнительных вычислений по выявлению тривиально сокращающихся слагаемых в законах сохранения.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассматривая законы сохранения в теории поля, мы строим тензорные поля (тензоры, зависящие от координат и времени), которые удовлетворяют уравнению непрерывности. Во времени сохраняется интеграл по 3-мерному пространству от нулевой компоненты таких тензоров. Например, интеграл от нулевой компоненты 4-тока <math>\textstyle J^{\mu}</math> является сохраняющимся зарядом <math>\textstyle Q</math>. Этот заряд инвариантен относительно преобразований Лоренца и имеет одинаковое значение для всех инерциальных наблюдателей. Аналогично, для тензора энергии-импульса <math>\textstyle T^{\mu\nu}</math> вычисляется интеграл по <math>\textstyle d^3\mathbf{x}</math> от <math>\textstyle T^{0\nu}</math>. Его значение является суммарной энергией-импульсом поля <math>\textstyle P^{\nu}</math>, которая преобразуется как 4-вектор.
 +
 +
Подчеркнём, что 4-вектор <math>\textstyle J^{\mu}</math> и 4-тензор <math>\textstyle T^{\mu\nu}</math>, по определению и по сути своего построения, являются локально ковариантными величинами. Например, 4-ток преобразуется как 4-вектор: <math>\textstyle J'^\mu(x')=\Lambda^\mu_{\;\,\nu}J^\nu(x)</math>. При этом аргументы векторного поля <math>\textstyle J^\mu(x)</math>, измеряемого в двух системах отсчёта, относятся к одной и той же точке пространства-времени. В этой точке "находятся" 2 наблюдателя из 2-х систем отсчёта, каждый из которых измеряет собственное время. Поэтому в левой части преобразований аргументы 4-вектора имеют штрих, а в правой стоят уже без штриха.
 +
 +
Когда мы переходим к интегральным величинам, суммируя тензорное поле по всему пространству, вступает в игру ''относительность одновременности''. Забудем пока, что 4-ток удовлетворяет уравнению непрерывности и вычислим для произвольного поля <math>\textstyle J^\mu</math> интеграл:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> Q(t) = \int J^0(t,\mathbf{x})\, d^3\mathbf{x}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
При интегрировании мы суммируем значения функции <math>\textstyle J^0(t,\mathbf{x})</math>, измеренные наблюдателями во всём пространстве в ''данный'' момент времени <math>\textstyle t</math> в ''данной'' "нештрихованной" системе отсчёта. Аналогичное выражение со штрихами соответствует интегральной величине, измеренной наблюдателями в другой инерциальной системе в момент времени <math>\textstyle t'</math>. Как известно (стр.\,\pageref{delta_lorenz1}), в теории относительности мы не можем ввести синхронизированное во всём пространстве время, одновременно ''в двух'' различных инерциальных системах отсчёта. Когда в преобразовании <math>\textstyle J'^\mu(x')=\Lambda^\mu_{\;\,\nu}J^\nu(x)</math> стоят времена <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle t'</math> это не вызывает затруднения, т.к. понятно к каким наблюдателям они относятся. Время же в интегральном соотношении типа () связано с совокупностью всех наблюдателей данной системы отсчёта. Оно не может быть непосредственно сравнено с аналогичным "интегральным" временем <math>\textstyle t'</math> в другой системе отсчёта. Сравнить между собой заряды <math>\textstyle Q(t)</math> и <math>\textstyle Q'(t')</math> можно только, если они сохраняются и от времён не зависят.
 +
 +
Приведём простой пример. Пусть пространство Минковского 2-мерно <math>\textstyle (t,x)</math>. Рассмотрим ток <math>\textstyle J^\nu(t,x) = x^\nu e^{{\mathrm x}\cdot {\mathrm x}}</math>, не удовлетворяющий уравнению непрерывности. Для него заряд равен:
 +
 +
:<center><math>Q(t)= t \int\limits^\infty_{-\infty} e^{t^2-x^2} dx = \sqrt{\pi}\, t\, e^{t^2}.</math></center>
 +
 +
Очевидно, что эта функция времени не является инвариантом. На самом деле применить к ней преобразования Лоренца и нельзя, так как величина <math>\textstyle Q</math> не относится к одной точке в пространстве, поэтому не ясно какие <math>\textstyle x'</math> и <math>\textstyle x</math> использовать в этих преобразованиях.
 +
 +
Сохраняющийся же заряд от времени не зависит и оказывается инвариантом. Приведём пример для этого случая. Пусть <math>\textstyle V^\alpha</math> &mdash; постоянный единичный вектор (<math>\textstyle V^\alpha V_\alpha=1</math>). Введём 4-вектор <math>\textstyle \eta^\alpha</math>, ортогональный к <math>\textstyle V^\alpha</math>:
 +
 +
:<center><math>\eta^\alpha = x^\alpha - V^\alpha (\mathrm{V}\cdot \mathrm{x}),\;\;\;\;\;\;\;\eta\cdot \mathrm{V} = 0,\;\;\;\;\;\;\eta^2=\mathrm{x}^2-(\mathrm{V}\cdot\mathrm{x})^2,\;\;\;\;\;\;\partial_\alpha \eta^2 = 2\eta_\alpha.</math></center>
 +
 +
Аналогичный 4-вектор мы ввели при ковариантном описании потенциала и тензора напряженности точечного заряда (стр.\,\pageref{fld_A_for_point_Q}). Так как 4-вектор <math>\textstyle V^\alpha</math> единичный, его компоненты можно представить аналогично компонентами 4-скорости <math>\textstyle V^\alpha=\{\gamma,\gamma v\}</math>, <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}</math>. Рассмотрим сохраняющийся ток <math>\textstyle J^\nu = V^\nu e^{\eta^2}</math>. Соответствующий ему заряд равен:
 +
 +
:<center><math>Q= \gamma e^{-\gamma^2 v^2 t^2} \int\limits^\infty_{-\infty} e^{-\gamma^2 x^2 +2 \gamma^2 v t x} dx=\sqrt{\pi}.</math></center>
 +
 +
Очевидно, что это же значение получат наблюдатели в "штрихованной" системе отчёта.
 +
 +
Аналогичные 4-току рассуждения справедливы и для тензорных уравнений <math>\textstyle \partial_\mu T^{\mu\nu}=0</math> или <math>\textstyle \partial_\mu J^{\mu,\alpha\beta}=0.</math> Соответствующие интегралы
 +
 +
:<center><math>P^\nu= \int T^{0\nu} d^3\mathbf{x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J^{\alpha\beta}=\int J^{0,\alpha\beta} d^3\mathbf{x}</math></center>
 +
 +
будут тензорными выражениями так как <math>\textstyle P^\nu</math> и <math>\textstyle J^{\alpha\beta}</math> не зависят от времени. Если же уравнения непрерывности не выполняются, то тензорные выражения после интегрирования, в общем случае, не возникнут. В частности, интегралы от угловой и спиновой компонент момента импульса не являются тензорами, если по-отдельности не удовлетворяют уравнениям непрерывности. Аналогично, в электродинамике сохраняется суммарный тензор частиц и полей: <math>\textstyle \partial_\gamma (\mathcal{T}^{\gamma\alpha}+{T}^{\gamma\alpha})=0.</math> По-отдельности эти тензоры, вообще говоря, не сохраняются. Поэтому, суммарный 4-импульс только лишь частиц будет зависеть от времени и не является 4-вектором (см. также стр.\,\pageref{sec_non_loc_law_conserv}).
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Докажем более строго, что интеграл по всему пространству от нулевой компоненты сохраняющегося 4-тока <math>\textstyle J^\mu</math>, является скаляром относительно преобразований Лоренца \cite{Weinberg1975}. Рассмотрим, например, некоторый ток <math>\textstyle J^\mu(x)</math>, удовлетворяющий уравнению непрерывности:
 +
 +
:<center><math>\partial_\mu J^\mu = \frac{\partial J^0}{\partial t} + \nabla \mathbf{J} = 0.</math></center>
 +
 +
Пусть поле достаточно быстро убывает на бесконечности в 3-мерном пространстве <math>\textstyle \mathbf{x}</math>. Точнее, убывание должно быть быстрее чем <math>\textstyle 1/\mathbf{x}^2</math>, чтобы поверхностный интеграл от пространственной компоненты 4-тока <math>\textstyle \mathbf{J}</math> на бесконечности равнялся нулю.
 +
 +
Запишем в значение заряда в данный момент времени <math>\textstyle \bar{t}</math>. Для этого сначала, при помощи <math>\textstyle \delta</math>-функции Дирака, перейдём от интегрирования по 3-мерному пространству <math>\textstyle d^3\mathbf{x}</math>, к интегрированию по всему пространству-времени <math>\textstyle d^4\mathrm{x}=dt\,d^3\mathbf{x}</math>:
 +
 +
:<center><math>Q=\int J^0(\mathbf{x}, \bar{t}) \, d^3\mathbf{x} = \int J^0(\mathbf{x}, t)\,\delta(t-\bar{t})\, d^4\mathrm{x}.</math></center>
 +
 +
Введём функцию ступеньки Хевисайда:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \theta(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, &\;t> 0 \\ 0 , &\;t< 0. \\ \end{array}\right. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Производная от неё равна <math>\textstyle \delta</math>-функции: <math>\textstyle \theta'(t)=\delta(t)</math>, что проверяется проведением интегрирования по частям с произвольной функцией (стр.\,\pageref{math_Heaviside}). При помощи функции Хевисайда выражение для заряда можно переписать в следующем виде:
 +
 +
:<center><math>Q= \int J^0(\mathbf{x},t)\,\partial_0\theta(t-\bar{t}) \, d^4\mathrm{x} = \int J^\mu(\mathbf{x},t)\,\partial_\mu\theta(t-\bar{t}) \, d^4\mathrm{x}.</math></center>
 +
 +
По повторяющемуся индексу <math>\textstyle \mu</math>, как обычно, проводится суммирование от 0 до 3. Переход от производной по <math>\textstyle t</math> к ковариантной производной <math>\textstyle \partial_\mu</math> во втором равенстве возможен, так как функция Хевисайда зависит только от времени (производные по координатам будут равны нулю). Учитывая уравнение непрерывности <math>\textstyle \partial_\mu J^\mu=0</math>, ток можно внести под производную:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> Q = \int \,\partial_\mu[J^\mu(\mathrm{x}) \theta(t-\bar{t})] \, d^4\mathrm{x} = \int J^\mu(\mathrm{x}) \theta(t-\bar{t})\, dS_\mu, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где второе равенство записано при помощи интегральной теоремы Гаусса в 4-мерном пространстве (переход от объёмного интеграла <math>\textstyle d^4\mathrm{x}</math>, к интегралу по поверхности <math>\textstyle dS_\mu</math>, окружающей этот объём).
 +
 +
Запишем теперь значение заряда в другой инерциальной системе отсчёта, движущейся относительно первой вдоль оси <math>\textstyle x</math> со скоростью <math>\textstyle v</math>. В этой системе всем величинам добавляются штрихи:
 +
 +
:<center><math>Q' = \int \,\partial'_\mu[J'^\mu(\mathrm{x'}) \theta(t'-\bar{t}')] \, d^4\mathrm{x}'.</math></center>
 +
 +
Сделаем замену переменных интегрирования, совпадающих с преобразованиями Лоренца: <math>\textstyle x'=\gamma(x-vt)</math>, <math>\textstyle t'=\gamma(t-vx)</math>. Якобиан такого преобразования равен единице (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H), поэтому <math>\textstyle d^4\mathrm{x}'=d^4\mathrm{x}</math>. Производная <math>\textstyle \partial'_\mu</math> преобразуется аналогично ковектору при преобразованиях Лоренца. Так как при этом <math>\textstyle \partial'_\mu J'^\mu=\partial_\mu J^\mu</math> штрих у <math>\textstyle J^\mu</math> можно убрать. Поэтому:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> Q' = \int \,\partial_\mu[J^\mu(\mathrm{x}) \theta(\gamma(t-vx)-\bar{t}')] \, d^4\mathrm{x}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Используя теорему Гаусса в 4-мерном пространстве и вычитая () и (), имеем:
 +
 +
:<center><math>Q'-Q = \int \,dS_\mu J^\mu(\mathrm{x})\{ \theta(\gamma(t-vx)-\bar{t}')-\theta(t-\bar{t})],</math></center>
 +
 +
Представим гиперповерхность <math>\textstyle dS_\mu</math>, охватывающую ''всё'' 4-пространство, как цилиндр, осью которого является ось времени <math>\textstyle t</math>. Поверхностный интеграл на боковых сторонах этого цилиндра равен нулю, так как <math>\textstyle J^\alpha=0</math> при <math>\textstyle |\mathbf{x}|\to\infty</math>. На основаниях цилиндра при любых ''конечных'' <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle \bar{t}</math>, <math>\textstyle \bar{t}'</math> при <math>\textstyle t\to\pm\infty </math> разница функций Хевисайда равна нулю. Действительно, если <math>\textstyle x,\bar{t}'</math> и <math>\textstyle \bar{t}</math> константы, то в силу определения (), имеем:
 +
 +
:<center><math>\lim_{t\to\infty}\theta(\gamma(t-vx)-\bar{t}') \approx \theta(\gamma t) = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{t\to\infty}\theta(t-\bar{t}) \approx \theta(t) = 1.</math></center>
 +
 +
Аналогично, обе функции Хевисайда стремятся к нулю при <math>\textstyle t\to-\infty</math>. Если же вместе с <math>\textstyle t</math> к бесконечности стремится <math>\textstyle x</math>, то ноль возникает, так как стремится к нулю значение 4-тока. Таким образом, мы доказали, что <math>\textstyle Q=Q'</math>. При помощи этого же метода несложно показать, что, при выполнении уравнения <math>\textstyle \partial_\mu T^{\mu\nu}=0</math>, интеграл от <math>\textstyle T^{0\nu}</math> будет 4-вектором.
 +
 +
Заметим, что иногда поля в течении всего времени локализованы в компактной области пространства (перемещающейся вдоль некоторой траектории). В этом случае могут существовать квазисохраняющиеся токи. Это означает, что уравнение непрерывности не выполняется, но заряд является инвариантом, если пренебречь размерами области. Например, пусть в пределе при котором соответствующая область стремиться к нулю, возникает функция Дирака <math>\textstyle J^0(t,\mathbf{x})=f(t,\mathbf{x})\,\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(t))</math>. Если при этом <math>\textstyle f(t,\mathbf{x}_0(t))</math> не зависит от времени, то и интеграл от <math>\textstyle J^0(t,\mathbf{x})</math> будет постоянным. Другими словами, отклонения от тензорного характера интегральных величин иногда могут быть и небольшими.
  
 
----
 
----

Версия 15:12, 7 октября 2012

Применения теоремы Нётер << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Спин

Запишем ещё раз выражения для канонического тензора энергии-импульса (симметрия относительно трансляций в 4-пространстве):

и тензора полного момента импульса поля (симметрия относительно вращения в 4-пространстве): где угловая и спиновая компоненты полного момента импульса равны:

По первому индексу энергия-импульс и момент удовлетворяют уравнениям непрерывности и Тензор момента по последним двум индексам антисимметричен (т.к. антисимметричны параметры поворота ). Канонический тензор энергии-импульса, в общем случае, несимметричен по индексам. Если же он оказывается симметричным , то угловой и спиновый моменты сохраняются (удовлетворяют уравнениям непрерывности) независимо. Действительно:

(EQN)

где сразу учтено, что . Если сохраняется угловой момент , то, в силу сохранения полного момента , будет сохраняться и спиновая компонента момента . В качестве упражнения (\,H) стоит проверить, что для лагранжиана

канонический тензор энергии-импульса симметричен, а тензор спина не равен нулю и сохраняется сам по себе.

К любому сохраняющемуся току можно прибавить некоторую комбинацию полей, которая, в свою очередь, удовлетворяет уравнению непрерывности. Понятно, что подобный модифицированный ток также будет сохранятся. Пусть — антисимметричный тензор: . Тогда

так как в силу перестановочности производных и антисимметричности , имеем (стр.\,\pageref{m_antisym_sym}). Поэтому добавление к току величины не нарушит закона сохранения. Возможны и более замысловатые изменения канононических величин.

Так, от канонических тензоров энергии-импульса и спина перейдём к новым тензорам энергии-импульса и спина при помощи тензора , который антисимметричен по последним двум индексам: ():

(EQN)

Тензор по-прежнему удовлетворяет уравнению непрерывности:

Первое слагаемое (член в круглых скобках) равен нулю, в силу явной антисимметрии по индексам и . Последний член равен нулю, так как тензор антисимметричен по последним двум индексам.

Используя тензоры и можно записать новый полный момент:

Он как и канонический момент сохраняется. Действительно равен:

Беря производные по и учитывая, что , получаем:

где опущены производные от круглых скобок, равные, как мы видели при вычислении , нулю. Кроме этого проведены свёртки с и . Приводя подобные слагаемые, получаем

(EQN)

Неоднозначность в определении сохраняющихся величин можно использовать для придания им тех или иных свойств. Например, если выше выбрать , где — канонический спин (получаемый из теоремы Нётер), то новый тензор спина становится равным нулю (), а тензор энергии-импульса симметричным:

(EQN)

Симметричность следует из того, что удовлетворяет уравнению непрерывности, поэтому справедливы вычисления подобные ().

"Упрятывание" спиновой компоненты полного момента импульса поля в угловой момент с одновременной симметризацией тензора энергии-импульса называется процедурой Белифанте. Стоит проверить, что "угаданная" дивергенция для симметризации тензора энергии-импульса на стр.\,\pageref{tensor_en_mom_eld_sym} может быть получена при помощи этой процедуры.

Неоднозначность в выборе тензоров энергии-импульса и спина, естественно, не приводит к физической неоднозначности. Рассмотрим, например, сохранение энергии в объёме , окруженном поверхностью (стр.\,\pageref{energy_E_int}):

(EQN)

Это интегральное уравнение непосредственно следует из теоремы Пойнтинга и силы Лоренца. В ковариантном виде теорема Пойнтинга имеет вид , где тензоры поля и вещества являются симметричными. Пусть к сумме этих двух тензоров прибавляют некоторый тензор , автоматически удовлетворяющий уравнению . Его добавление скажется следующим образом на интегральной версии закона сохранения:

(EQN)

В силу уравнения непрерывности , независимо от () выполняется соотношение:

(EQN)

Пусть мы интересуемся, что происходит с суммарной энергией зарядов при изменении напряженностей полей. Понятно, что совместное использование законов сохранения () и () приведёт к тем же физическим следствиям, что и использование (). Поэтому неоднозначность в выборе плотности энергии и импульса поля (произвол в тензоре ) не влияет на однозначность в описании поведения зарядов.

Определённые сложности с однозначностью иногда возникают при рассмотрении потока энергии через некоторую площадку (незамкнутую поверхность). С таким потоком мы имеем дело когда измеряем энергию излучения, проходящую в единицу времени через единицу поверхности. Этот поток приводит к давлению, нагреву и другим "неполевым" последствиям, которые можно независимо измерить. В тоже время, вектор плотности импульса поля , характеризующий эти эффекты, с точки зрения теоремы Пойнтинга, определён неоднозначно. Например, в силу уравнения Максвелла , его можно заменить на (в ковариантной формулировке это соответствует выбору тензора ). Куда в этом случае направлено давление света?

На самом деле, даже при рассмотрении потока через площадку, необходимо последовательно применять интегральный закон сохранения для замкнутого объёма. Тогда проблем с неоднозначностью не будет. Например, пусть нас интересует какой импульс передан пластинке, поглотившей падающий на неё свет. В конечном счёте, этот импульс передан зарядам, находящимся в пластинке. Поэтому необходимо рассматривать пластинку в виде, например, параллелепипеда, имеющего малую, но конечную толщину. Внутри этого параллелепипеда находятся заряды. Для вычисления поглощённого импульса поля возьмём суммарный закон сохранения импульса поля и зарядов (стр.\,\pageref{conserv_mom_em}):

Какой бы тензор мы не добавили к , он фактически не меняет этого уравнения, сокращаясь в силу собственного закона сохранения типа (). Вычислим поверхностный интеграл от тензора напряжений (см. стр.\,\pageref{fld_sigma_ij}). Рассмотрим, для простоты плоскую, линейно поляризованную электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси с амплитудой :

Пусть плоскость параллелепипеда (пластинка) перпендикулярна оси . Тогда является вектором с компонентами:

Вектор перпендикулярен поверхности, выходя наружу из объёма. Поэтому на верхней стороне пластины направлен вдоль оси , а на нижней — против. В результате, поверхностный интеграл от равен нулю. Закон сохранения импульса при поглощении электромагнитного поля пластинкой можно теперь записать следующим образом:

где левая часть относится к ситуации до поглощения, а правая — после. Изменение импульса пластинки равно полученному ею импульсу поля.

Заметим, что в некотором смысле симметричный тензор энергии импульса является выделенным, т.к. не требует дополнительных вычислений по выявлению тривиально сокращающихся слагаемых в законах сохранения.

Рассматривая законы сохранения в теории поля, мы строим тензорные поля (тензоры, зависящие от координат и времени), которые удовлетворяют уравнению непрерывности. Во времени сохраняется интеграл по 3-мерному пространству от нулевой компоненты таких тензоров. Например, интеграл от нулевой компоненты 4-тока является сохраняющимся зарядом . Этот заряд инвариантен относительно преобразований Лоренца и имеет одинаковое значение для всех инерциальных наблюдателей. Аналогично, для тензора энергии-импульса вычисляется интеграл по от . Его значение является суммарной энергией-импульсом поля , которая преобразуется как 4-вектор.

Подчеркнём, что 4-вектор и 4-тензор , по определению и по сути своего построения, являются локально ковариантными величинами. Например, 4-ток преобразуется как 4-вектор: . При этом аргументы векторного поля , измеряемого в двух системах отсчёта, относятся к одной и той же точке пространства-времени. В этой точке "находятся" 2 наблюдателя из 2-х систем отсчёта, каждый из которых измеряет собственное время. Поэтому в левой части преобразований аргументы 4-вектора имеют штрих, а в правой стоят уже без штриха.

Когда мы переходим к интегральным величинам, суммируя тензорное поле по всему пространству, вступает в игру относительность одновременности. Забудем пока, что 4-ток удовлетворяет уравнению непрерывности и вычислим для произвольного поля интеграл:

(EQN)

При интегрировании мы суммируем значения функции , измеренные наблюдателями во всём пространстве в данный момент времени в данной "нештрихованной" системе отсчёта. Аналогичное выражение со штрихами соответствует интегральной величине, измеренной наблюдателями в другой инерциальной системе в момент времени . Как известно (стр.\,\pageref{delta_lorenz1}), в теории относительности мы не можем ввести синхронизированное во всём пространстве время, одновременно в двух различных инерциальных системах отсчёта. Когда в преобразовании стоят времена и это не вызывает затруднения, т.к. понятно к каким наблюдателям они относятся. Время же в интегральном соотношении типа () связано с совокупностью всех наблюдателей данной системы отсчёта. Оно не может быть непосредственно сравнено с аналогичным "интегральным" временем в другой системе отсчёта. Сравнить между собой заряды и можно только, если они сохраняются и от времён не зависят.

Приведём простой пример. Пусть пространство Минковского 2-мерно . Рассмотрим ток , не удовлетворяющий уравнению непрерывности. Для него заряд равен:

Очевидно, что эта функция времени не является инвариантом. На самом деле применить к ней преобразования Лоренца и нельзя, так как величина не относится к одной точке в пространстве, поэтому не ясно какие и использовать в этих преобразованиях.

Сохраняющийся же заряд от времени не зависит и оказывается инвариантом. Приведём пример для этого случая. Пусть — постоянный единичный вектор (). Введём 4-вектор , ортогональный к :

Аналогичный 4-вектор мы ввели при ковариантном описании потенциала и тензора напряженности точечного заряда (стр.\,\pageref{fld_A_for_point_Q}). Так как 4-вектор единичный, его компоненты можно представить аналогично компонентами 4-скорости , . Рассмотрим сохраняющийся ток . Соответствующий ему заряд равен:

Очевидно, что это же значение получат наблюдатели в "штрихованной" системе отчёта.

Аналогичные 4-току рассуждения справедливы и для тензорных уравнений или Соответствующие интегралы

будут тензорными выражениями так как и не зависят от времени. Если же уравнения непрерывности не выполняются, то тензорные выражения после интегрирования, в общем случае, не возникнут. В частности, интегралы от угловой и спиновой компонент момента импульса не являются тензорами, если по-отдельности не удовлетворяют уравнениям непрерывности. Аналогично, в электродинамике сохраняется суммарный тензор частиц и полей: По-отдельности эти тензоры, вообще говоря, не сохраняются. Поэтому, суммарный 4-импульс только лишь частиц будет зависеть от времени и не является 4-вектором (см. также стр.\,\pageref{sec_non_loc_law_conserv}).

Докажем более строго, что интеграл по всему пространству от нулевой компоненты сохраняющегося 4-тока , является скаляром относительно преобразований Лоренца \cite{Weinberg1975}. Рассмотрим, например, некоторый ток , удовлетворяющий уравнению непрерывности:

Пусть поле достаточно быстро убывает на бесконечности в 3-мерном пространстве . Точнее, убывание должно быть быстрее чем , чтобы поверхностный интеграл от пространственной компоненты 4-тока на бесконечности равнялся нулю.

Запишем в значение заряда в данный момент времени . Для этого сначала, при помощи -функции Дирака, перейдём от интегрирования по 3-мерному пространству , к интегрированию по всему пространству-времени :

Введём функцию ступеньки Хевисайда:

(EQN)

Производная от неё равна -функции: , что проверяется проведением интегрирования по частям с произвольной функцией (стр.\,\pageref{math_Heaviside}). При помощи функции Хевисайда выражение для заряда можно переписать в следующем виде:

По повторяющемуся индексу , как обычно, проводится суммирование от 0 до 3. Переход от производной по к ковариантной производной во втором равенстве возможен, так как функция Хевисайда зависит только от времени (производные по координатам будут равны нулю). Учитывая уравнение непрерывности , ток можно внести под производную:

(EQN)

где второе равенство записано при помощи интегральной теоремы Гаусса в 4-мерном пространстве (переход от объёмного интеграла , к интегралу по поверхности , окружающей этот объём).

Запишем теперь значение заряда в другой инерциальной системе отсчёта, движущейся относительно первой вдоль оси со скоростью . В этой системе всем величинам добавляются штрихи:

Сделаем замену переменных интегрирования, совпадающих с преобразованиями Лоренца: , . Якобиан такого преобразования равен единице (\,H), поэтому . Производная преобразуется аналогично ковектору при преобразованиях Лоренца. Так как при этом штрих у можно убрать. Поэтому:

(EQN)

Используя теорему Гаусса в 4-мерном пространстве и вычитая () и (), имеем:

Представим гиперповерхность , охватывающую всё 4-пространство, как цилиндр, осью которого является ось времени . Поверхностный интеграл на боковых сторонах этого цилиндра равен нулю, так как при . На основаниях цилиндра при любых конечных , , при разница функций Хевисайда равна нулю. Действительно, если и константы, то в силу определения (), имеем:

Аналогично, обе функции Хевисайда стремятся к нулю при . Если же вместе с к бесконечности стремится , то ноль возникает, так как стремится к нулю значение 4-тока. Таким образом, мы доказали, что . При помощи этого же метода несложно показать, что, при выполнении уравнения , интеграл от будет 4-вектором.

Заметим, что иногда поля в течении всего времени локализованы в компактной области пространства (перемещающейся вдоль некоторой траектории). В этом случае могут существовать квазисохраняющиеся токи. Это означает, что уравнение непрерывности не выполняется, но заряд является инвариантом, если пренебречь размерами области. Например, пусть в пределе при котором соответствующая область стремиться к нулю, возникает функция Дирака . Если при этом не зависит от времени, то и интеграл от будет постоянным. Другими словами, отклонения от тензорного характера интегральных величин иногда могут быть и небольшими.


Применения теоремы Нётер << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Спин

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии