Нелинейные преобразования — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 6: Строка 6:
 
----
 
----
  
<math>\bullet</math> Группа Лоренца объединяет в себе преобразования Лоренца и повороты в обычном пространстве. Рассмотрим сначала 2-мерное пространство <math>\textstyle {x, y}</math> и время <math>\textstyle t</math>, которые будут преобразуемыми величинами <math>\textstyle \mathrm{x}=\{t, x,y\}</math>. Пространственные повороты не затрагивают время, поэтому соответствующее преобразование выглядит следующим образом:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим вектор <math>\textstyle n</math> переменных <math>\textstyle \mathbf{x}=(x^1,...,x^n)</math>, которые мы будем называть далее координатами, и набор <math>\textstyle s</math> параметров <math>\textstyle \mathbf{a}=(a^1,...,a^s)</math> определяющих в общем случае ''нелинейное преобразование'':
  
:<center><math>\begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & \sin\phi \\ 0 & -\sin\phi & \cos\phi \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ \end{pmatrix}.</math></center>
+
:<center><math>x^i\mapsto x'^i = f_i(a^1,....,a^s,\;x^1,...,x^n),\;\;\;\;или\;\;\;\;\mathbf{x}\mapsto \mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x}) = \hat{T}_{\mathbf{a}}\mathrm{x}.</math></center>
  
Разложение по углу <math>\textstyle \phi</math> даёт генератор вращений плоскости, который мы обозначим как <math>\textstyle \mathbf{R}</math>:
+
Например, в одномерном случае преобразования ''трансляции'' и ''масштабирования'' (они линейны!) имеют вид:
  
:<center><math>\mathbf{R}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}.</math></center>
+
:<center><math>{трансляция}:\;\;x\mapsto x'=x+a,\;\;\;\;\;\;\;\;{масштабирование}:\;\;x\mapsto x'=e^a\cdot x.</math></center>
  
Преобразования Лоренца (), стр.\,\pageref{Lorenz_txy} вдоль оси <math>\textstyle x</math> со скоростью <math>\textstyle v_x</math> и вдоль оси <math>\textstyle y</math> со скоростью <math>\textstyle v_y</math> запишем в первом порядке малости по скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math> (<math>\textstyle \gamma\approx 1</math>), временно восстановив фундаментальную константу <math>\textstyle c</math>, обозначив <math>\textstyle \alpha=1/c^2</math> :
+
Нас будут интересовать преобразования образующие ''непрерывную группу''. Пусть при помощи параметров <math>\textstyle \mathbf{a}</math> мы перешли в координатном пространстве от точки <math>\textstyle \mathbf{x}</math> к <math>\textstyle \mathbf{x}_1=\mathbf{f}(\mathbf{a}, \mathbf{x})</math>, а затем, при помощи <math>\textstyle \mathbf{b}</math>, от <math>\textstyle \mathbf{x}_1</math> к <math>\textstyle \mathbf{x}_2=\mathbf{f}(\mathbf{b},\mathbf{x}_1)</math>. Пусть существует некоторое <math>\textstyle \mathbf{c}=\phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math>, которое позволяет сразу перейти от <math>\textstyle \mathbf{x}</math> к <math>\textstyle \mathbf{x}_2</math>:
  
:<center><math>\begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\alpha v_x & 0 \\ -v_x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\alpha v_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -v_y & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ \end{pmatrix}.</math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{f} \bigl(\mathbf{b},\;\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr) = \mathbf{f} \bigl(\phi(\mathbf{b},\mathbf{a}),\;\mathbf{x}\bigr). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Соответствующие этим преобразованиям генераторы имеют вид:
+
Кроме этого, предположим, что существует единичное преобразование с параметром '''e''', не изменяющее координат, и обратное, с параметром <math>\textstyle \mathbf{a}^{-1}</math>, которое возвращает преобразованное <math>\textstyle \mathbf{x}</math> к исходному:
  
:<center><math>\mathbf{L}_x= \begin{pmatrix} 0 & -\alpha & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{L}_y= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\alpha \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.</math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{f}(\mathbf{e}, \mathbf{x}) = \mathbf{x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{f}\bigl(\mathbf{a}^{-1},\;\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr) = \mathbf{x}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Несложно проверить, что три матрицы <math>\textstyle \mathbf{L}_x,\mathbf{L}_y</math> и <math>\textstyle \mathbf{R}</math> удовлетворяют следующей алгебре Ли:
+
Для преобразований трансляции и масштабирования единичный параметр <math>\textstyle \mathbf{e}=0</math>, а обратный <math>\textstyle \mathbf{a}^{-1}=-a</math>.
  
:<center><math>[\mathbf{L}_x, \mathbf{R}] = \mathbf{L}_y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_y, \mathbf{R}] = -\mathbf{L}_x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_x, \mathbf{L}_y] = \alpha \mathbf{R}.</math></center>
+
Если число параметров <math>\textstyle s</math> меньше чем размерность пространства <math>\textstyle n</math>, то групповое преобразование имеет простую геометрическую интерпретацию. Так, при <math>\textstyle s=1</math> функция <math>\textstyle \mathbf{f}(a, \mathbf{x})</math> задаёт кривую в пространстве <math>\textstyle \mathbf{x}=(x^1,...,x^n)</math>. Если зафиксировать "начальную" точку <math>\textstyle \mathbf{x}</math> и начать изменять параметр <math>\textstyle a</math>, мы получим непрерывное множество точек образующих некоторую линию. Если взять другую точку в пространстве не лежащую на линии, мы получим другую кривую. Таким образом всё пространство "расслаивается" на множество подобных кривых.
  
В классической механике фундаментальная скорость "<math>\textstyle c</math>" равна бесконечности, а <math>\textstyle \alpha=0</math>. Поэтому эта же алгебра для ''группы Галилея'' (повороты + смена системы отсчёта) имеет вид:
+
Однако, нас интересуют не любые кривые заданные параметрическим образом, а лишь те, которые обладают свойством ''эквивалентности'' всех своих точек. В этом случае ''любая'' точка кривой может выступить в качестве "начальной", и при помощи ''одной и той же'' функции <math>\textstyle \mathbf{f}(a,\mathbf{x})</math> можно из неё "продолжить" кривую дальше. Подобным образом двухпараметрические группы при <math>\textstyle n>2</math> определяют некоторую поверхность, обладающую свойством симметрии (равноправия всех своих точек), и т.д.
  
:<center><math>[\mathbf{L}_x, \mathbf{R}] = \mathbf{L}_y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_y, \mathbf{R}] = -\mathbf{L}_x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_x, \mathbf{L}_y] = 0.</math></center>
+
<math>\textstyle \bullet</math> Функция ''композиции параметров'' двух последовательных непрерывных преобразований <math>\textstyle \mathbf{c}= \phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math> является векторной, <math>\textstyle s</math>-компонентной функцией: <math>\textstyle c^\gamma=\phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a})</math>. Она удовлетворяет таким же функциональным уравнениям как и в случае линейных преобразований (стр.\,\pageref{mat_group_def5}):
  
Отличие состоит в последнем коммутаторе, который равен нулю.
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \phi(\phi({\mathbf c},{\mathbf b}), \;{\mathbf a}) = \phi({\mathbf c}, \phi({\mathbf b},{\mathbf a})). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Мы видели, что линейная группа преобразований определяется набором структурных констант, которые задают алгебру для генераторов:
+
Без потери общности будем считать, что единичное преобразование соответствует нулевому значению параметров: <math>\textstyle \phi(\mathbf{0},\mathbf{a})=\phi(\mathbf{a},\mathbf{0})=\mathbf{a}</math>. Как мы видели, в окрестности нуля эта функция имеет вид:
  
:<center><math>[\mathbf{X}_i,\;\mathbf{X}_j] = c^k_{ij}\,\mathbf{X}_k.</math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \phi^{\gamma}(\mathbf{b},\mathbf{a}) \approx a^\gamma + b^\gamma + \phi^{\,\gamma}_{\alpha\beta} \,b^\alpha \,a^\beta, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Эти константы должны быть антисимметричными по нижним индексам <math>\textstyle c^k_{ij}=-c^k_{ji}</math> и удовлетворять тождеству Якоби (стр.\,\pageref{group_jacobi}):
+
a антисимметричные по нижним индексам величины <math>\textstyle c^{\,\gamma}_{\alpha\beta} = \phi^{\,\gamma}_{\alpha\beta}-\phi^{\,\gamma}_{\beta\alpha}</math> называются ''структурными константами''.
  
:<center><math>c^p_{ij} c^q_{k p} + c^p_{jk} c^q_{i p}+ c^p_{ki} c^q_{j p} = 0.</math></center>
+
<math>\textstyle \bullet</math> Групповые свойства являются сильными ограничениями на возможный вид преобразований. Например, в одномерном случае ''наиболее общее'' преобразование, образующее группу, имеет дробно-линейный вид:
  
В случае 3-параметрической группы <math>\textstyle \{\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3\}=\{\mathbf{L}_x,\mathbf{L}_y,\mathbf{R}\}</math>, рассмотренной выше, возможно 9 различных структурных констант, а тождество Якоби вырождается в одно нетривиальное ограничение, следующее из соотношения <math>\textstyle [\mathbf{X}_1,[\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3]]+[\mathbf{X}_2,[\mathbf{X}_3,\mathbf{X}_1]]+[\mathbf{X}_3,[\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2]]=0</math>. Кроме этого, выбор способа параметризации произволен. Поэтому в рамках одной и той же группы, можно перейти к новым генераторам, являющимися линейной комбинацией старых. В рамках классификации, проделанной Луиджи Бианки (стр.\,\pageref{sym_bianki_class}) показывается, что существует 4 независимых параметра, определяющих структурные константы и 9 нетривиальных групп Ли размерности 3.
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x\mapsto x' = \frac{e^{a_1}\, x + a_2}{1+a_3\, x}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Эти 4 структурные константы можно рассматривать как четвёрку потенциальных фундаментальных физических констант, определяющих ту или иную теорию преобразований между двумя системами отсчёта. При росте числа параметров группы, быстро растёт и число независимых структурных констант. Дополнительные ограничения на них накладывает ''принцип соответствия'', так как в пределе нулевых фундаментальных констант должны получаться соотношения группы Галилея. Поэтому часть из структурных констант уже фиксированы. Далее можно использовать свойства изотропности пространства, которое на языке генераторов выражаются в равноправии (симметрии) между <math>\textstyle \mathbf{L}_x</math> и <math>\textstyle \mathbf{L}_y</math>, и т.д. В результате число фундаментальных констант будет ещё сильнее уменьшаться. Однако на любом этапе можно остановиться, получив некоторое обобщение классической механики.
+
Трансляция и масштабирование являются его частными случаями. В качестве упражнения стоит проверить, что оно удовлетворяет условиям (), (), и найти функцию <math>\textstyle \mathbf{c}=\phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math>. Вторым упражнением является проверка того, что преобразование <math>\textstyle x\mapsto x'=a_1\, x^2+ a_2\, x + a_3</math> не удовлетворяет (), и, следовательно, не является группой.
  
Таким образом, на языке теории групп мы возвращаемся к ''принципу параметрической неполноты'' (стр.\,\pageref{param_incomp}). Построение новых физических теорий может идти по пути расширения исходных групп преобразований классической механики, путём введения новых ненулевых структурных констант. Эти структурные константы являются фундаментальными константами, определяющими свойства соответствующих механик.
+
<math>\textstyle \bullet</math> Заметим, что всегда можно провести замену координат <math>\textstyle \tilde{\mathbf{x}}=h(\mathbf{x})</math> и переопределить параметры группы <math>\textstyle \tilde\mathbf{a}=\psi(\bf a)</math>. Так, переход от декартовых координат <math>\textstyle \mathbf{x}=(x,y)</math> к полярным <math>\textstyle \tilde\mathbf{x}=(r, \chi)</math>, группу 2-мерных поворотов делает трансляционной:
  
Впрочем, сейчас самое время перейти к детальному изучению свойств группы, которая гарантирована реализовалась в нашем Мире и явилась первым параметрическим обобщением классической механики.
+
:<center><math>\begin{array}{l} x \mapsto x' = x \cos a + y \sin a\\ y \mapsto y' = -x \sin a + y \cos a,\\ \end{array} \;\;\;\; \left\{ \begin{array}{l} x = r \cos \chi\\ y = r \sin \chi\\ \end{array} \right\} \;\;\;\;=>\;\;\;\; \begin{array}{l} r\mapsto r' = r \\ \chi \mapsto \chi' = \chi + a.\\ \end{array}</math></center>
  
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим 4-мерное пространство-время. Преобразуемыми величинами будут компоненты 4-вектора <math>\textstyle \mathrm{x}=\{t,x,y,z\}</math>. В матрицы генераторов группы пространственных вращений (), стр.\,\pageref{group_mat_gen_SO3} необходимо добавить нулевые столбик и строчку, так как при поворотах время не изменяется:
+
Аналогично, заменой <math>\textstyle x=e^{\tilde{x}}</math> масштабирование <math>\textstyle x'=e^a x</math> превращается в трансляционное преобразование <math>\textstyle \tilde{x}'=\tilde{x}+a</math>.
  
:<center><math>\mathbf{R}_1= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\;\; \mathbf{R}_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\;\; \mathbf{R}_3= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.</math></center>
+
Поэтому, говоря о единственности дробно-линейных преобразований для <math>\textstyle n=1</math>, на самом деле, подразумевается более общее преобразование:
  
Генераторы лоренцевских бустов вдоль каждой оси получаются также как и в 2-мерном случае, рассмотренном выше. Положив фундаментальную скорость единице, имеем:
+
:<center><math>h(x') = \frac{e^{a_1}\,h(x)+a_2}{1+a_3\,h(x)},</math></center>
  
:<center><math>\mathbf{L}_1= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\; \mathbf{L}_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\; \mathbf{L}_3= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.</math></center>
+
и аналогично, для переопределения параметров группы <math>\textstyle \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)</math>.
  
Прямым умножением матриц можно проверить, что эти генераторы удовлетворяют следующей алгебре Ли (по <math>\textstyle k</math> сумма):
+
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим произвольное, бесконечно - малое преобразование, разложив его в ряд Тейлора по параметрам <math>\textstyle a^\alpha=(a^1,...,a^s)</math>:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> [\mathbf{R}_i,\mathbf{R}_j]=-\varepsilon_{ijk}\mathbf{R}_k,\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_i,\mathbf{R}_j] = -\varepsilon_{ijk}\,\mathbf{L}_k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_i,\mathbf{L}_j]=\varepsilon_{ijk}\mathbf{R}_k. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> f^k(\mathbf{a},\mathbf{x}) = x^k + u^k_{\alpha}(\mathbf{x})\,a^\alpha + ...., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\; u^k_{\alpha}(\mathbf{x}) = \frac{\partial f^k(\mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=0}. </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Особенно важны последние соотношения. Во-первых, именно они отличают группу Лоренца от группы Галилея, а во-вторых, в них выражен факт некоммутативности преобразований Лоренца. Как мы знаем, два последовательных лоренцевских буста, выполненные с непараллельными скоростями не являются снова бустом (стр.\,\pageref{SxxSyyS}). Итоговое преобразование является композицией буста и поворота (подробнее см.стр.\,\pageref{L1L2LR}).
+
Величины <math>\textstyle u^k_{\alpha}</math> называются ''касательными векторами'', так как они касаются кривой (поверхности и т.д.) при бесконечно малом изменении параметров <math>\textstyle \mathbf{a}</math>. Действительно, разница между двумя соседними точками (сдвиг) на кривой или поверхности равна: <math>\textstyle dx^k=x'^k-x^k\approx u^k_{\alpha}(\mathbf{x})\, a^\alpha</math>.
 +
 
 +
Аналогично, закон композиции можно разложить в ряд по первому аргументу (параметры второго преобразования):
 +
 
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a}) = a^\gamma + \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})\,b^{\alpha}+..., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;где\;\; \mu^\gamma_{\alpha}(\mathbf{a}) = \frac{\partial \phi^\gamma(\mathbf{b}, \mathbf{a})}{\partial b^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{b}=0}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Заметим также, что все коммутаторы выглядят похожим образом и записываются при помощи символов Леви-Чевиты. Это отражает тот фундаментальный факт, что группа Лоренца является группой поворотов в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве. В таком пространстве существует 6 плоскостей: <math>\textstyle (t,x)</math>, <math>\textstyle (t,y)</math>, ... <math>\textstyle (y,z)</math> вращение которых определяется 6-ю параметрами. Соответственно это 6-параметрическая неабелева группа. Инвариантом этой группы является световой конус:
+
Так как при малых параметрах преобразования <math>\textstyle \mathbf{a}</math> и <math>\textstyle \mathbf{b}</math> для <math>\textstyle \phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a})</math> справедливо разложение (), то функция <math>\textstyle \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})\approx \delta^\gamma_\alpha+\phi^\gamma_{\alpha\beta}a^\beta</math> (<math>\textstyle \delta^\gamma_\alpha</math> &mdash; символ Кронекера) имеет следующие значения:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> \mathrm{x}^2 = t^2 - \mathbf{r}^2 = inv, </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{0}) = \delta^\gamma_\alpha,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \partial_\beta \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{0}) \equiv \frac{\partial \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})}{\partial a^\beta}\Bigr|_{\mathbf{a}=0} = \phi^\gamma_{\alpha\beta}. </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
имеющий смысл расстояния от начала координат в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве. По аналогии с группой вращения, группу Лоренца обозначают следующим образом: <math>\textstyle \mathbf{O}(1,3)</math>, где первый аргумент &mdash; размерность времени, а второй &mdash; пространства.
+
Функции <math>\textstyle u^k_\alpha(\mathbf{x})</math> и <math>\textstyle \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})</math>, как и структурные константы <math>\textstyle c^\gamma_{\alpha\beta}</math>, играют важную роль в теории нелинейных непрерывных групп.
  
Формально, ''группа Лоренца'' <math>\textstyle \mathbf{O}(1,3)</math> является множеством ортогональных матриц (стр.\,\pageref{orto_lor}) 4x4 в псевдоевклидовом пространстве с метрическим тензором <math>\textstyle \mathbf{g}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math>, <math>\textstyle \mathbf{g}^2=\mathbf{1}</math>, <math>\textstyle \mathbf{g}^T=\mathbf{g}</math>:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Возьмём производную по <math>\textstyle b^{\beta}</math> от закона композиции преобразований:
  
:<center><math>\mathrm{x}^2 = \mathrm{x}^T \mathbf{g}\,\mathrm{x}=\mathrm{x}'^T \mathbf{g}\,\mathrm{x}', \;\;\;\;\;\;\;\mathrm{x}'=\mathbf{\Lambda}\mathrm{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{g}\mathbf{\Lambda}^T \mathbf{g} \mathbf{\Lambda} = \mathbf{1}.</math></center>
+
:<center><math>\mathbf{f}(\mathbf{b}, \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})) = \mathbf{f}(\phi(\mathbf{b},\mathbf{a}),\mathbf{x})</math></center>
 +
 
 +
и приравняем <math>\textstyle \mathbf{b}=\mathbf{0}</math>. Левая часть по определению () равна <math>\textstyle u^k_\beta\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr)</math>, а производная правой берётся как от сложной функции:
 +
 
 +
:<center><math>u^k_\beta\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr) = \frac{\partial f^k}{\partial \phi^\gamma_{(\mathbf{b},\mathbf{a})}}\,\frac{\partial \phi^\gamma_{(\mathbf{b},\mathbf{a})}}{\partial b^\beta}\Bigr|_{\mathbf{b}=0} = \frac{\partial f^k}{\partial a^\gamma} \,\mu^\gamma_\beta(\mathbf{a}).</math></center>
 +
 
 +
Таким образом, функция <math>\textstyle \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})</math> удовлетворяет дифференциальному уравнению:
 +
 
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a}) \,\frac{\partial f^k( \mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\gamma} = u^k_\beta\bigl(f(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Так как <math>\textstyle \det\mathbf{\mathbf{g}}=-1</math>, то <math>\textstyle (\det\mathbf{\Lambda})^2=1</math> и определитель матрицы преобразования <math>\textstyle \mathbf{\Lambda}</math> может быть равен 1 или -1. Последний случай, аналогично обычным вращениям, реализуется в результате операций отражения нечетного числа осей в 4-мерном пространстве-времени. Например, изменение направления хода времени <math>\textstyle t\mapsto -t</math> или всех трёх пространственных осей <math>\textstyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)</math>, осуществляется следующими матрицами:
+
Если функции ''одной'' (векторной) переменной <math>\textstyle u^k_\beta(\mathbf{x})</math> и <math>\textstyle \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a})</math> известны, то решение этого уравнения с начальным условием <math>\textstyle \mathbf{f}( \mathbf{0},\mathbf{x})=\mathbf{x}</math> позволяет восстановить зависимость функции ''двух'' переменных <math>\textstyle \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})</math>.
  
:<center><math>\mathbf{I}_t= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{I}_{\mathbf{r}}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}.</math></center>
+
<math>\textstyle \bullet</math> Найдём уравнение которому удовлетворяют касательные векторы <math>\textstyle u^k_\beta(\mathbf{x})</math>. Возьмём производную () по <math>\textstyle a^\alpha</math> и положим <math>\textstyle \mathbf{a}=\mathbf{0}</math>:
  
Четверка матриц <math>\textstyle \{\mathbf{1},\,\mathbf{I}_t,\,\mathbf{I}_\mathbf{r},\,\mathbf{I}_{t\mathbf{r}}\}</math>, где <math>\textstyle \mathbf{I}_{t\mathbf{r}}=\mathbf{I}_{t}\mathbf{I}_{\mathbf{r}}=-\mathbf{1}</math> (инверсия всех осей) образует дискретную группу. Эта группа, дополненная непрерывными преобразованиями, определяемыми генераторами <math>\textstyle \mathbf{R}_i</math>, <math>\textstyle \mathbf{L}_i</math>, описывает все возможные симметрии не меняющие инварианта ().
+
:<center><math>\phi^\gamma_{\beta\alpha}\, u^k_\gamma(\mathbf{x}) + \frac{\partial f^k(\mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\alpha \partial a^\beta}\Bigr|_{\mathbf{a}=\mathbf{0}} = \frac{\partial u^k_\beta(\mathbf{f})}{\partial f^i}\, \frac{\partial f^i(\mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=0} = \frac{\partial u^k_\beta(\mathbf{x})}{\partial x^i}\, u^i_\alpha(\mathbf{x}),</math></center>
  
Наличие дискретных симметрий приводит к тому, что все возможные преобразования разбиваются на подмножества, несводимые друг к другу при помощи непрерывных преобразований. Пусть исходной является правая система координат с "нормальным" направлением течения времени. При помощи, например, <math>\textstyle \mathbf{I}_{\mathbf{r}}</math> её можно превратить в левую систему координат, после чего, ни преобразованием Лоренца, ни поворотом нельзя вернутся к исходному состоянию. Аналогично с <math>\textstyle \mathbf{I}_{t}</math> и <math>\textstyle \mathbf{I}_{t\mathbf{r}}</math>. Эти 4 подмножества, не соединяемые непрерывным преобразованием, классифицируют по знакам определителя матрицы <math>\textstyle \mathbf{\Lambda}</math> и её нулевого элемента: <math>\textstyle \Lambda^0_{\;0}</math> (который по модулю больше единицы, что следует из условия ортогональности для нулевых индексов (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H)):
+
где мы воспользовались определением () и значениями (). Переставим местами индексы <math>\textstyle \alpha</math>, <math>\textstyle \beta</math> и вычтем из исходного уравнения. Учитывая, что вторая производная по <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math> симметрична, получаем:
  
:<center><math>\begin{array}{llll} I. \;\;\;\; &\det\mathbf{\Lambda}=+1 \;\;\;\;& \Lambda^0_{\;0}\geqslant +1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\mathbf{1}\\ II. &\det\mathbf{\Lambda}=-1 & \Lambda^0_{\;0}\geqslant +1 & \mathbf{I}_{\mathbf{r}}\\ III.&\det\mathbf{\Lambda}=-1 & \Lambda^0_{\;0}\leqslant -1 & \mathbf{I}_{t}\\ IV.&\det\mathbf{\Lambda}=+1 & \Lambda^0_{\;0}\leqslant -1. & \mathbf{I}_{t\mathbf{r}} \end{array}</math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> u^i_\alpha(\mathbf{x}) \,\partial_i u^{k}_\beta(\mathbf{x}) \,-\,u^i_\beta(\mathbf{x}) \,\partial_i u^{k}_\alpha(\mathbf{x}) = -c^\gamma_{\alpha\beta} \,u^k_\gamma(\mathbf{x}), </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Первый класс соответствует "обычным" преобразованиям Лоренца и вращениям правой системы координат. Он называется ''собственной ортохронной группой Лоренца''. В последней колонке записаны матрицы дискретных преобразований, принадлежащие каждому классу (проверьте).
+
где <math>\textstyle \partial_i=\partial/\partial x^i</math> и <math>\textstyle c^\gamma_{\alpha\beta}=\phi^\gamma_{\alpha\beta}-\phi^\gamma_{\beta\alpha}</math> - структурные константы группы.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Алгебру Ли () группы Лоренца можно упростить, если перейти к следующим генераторам (<math>\textstyle \imath^2=-1</math>):
+
Перепишем () в ''операторной форме'' при помощи величин:
  
:<center><math>\mathbf{J}_k = \frac{1}{2}\,(\mathbf{R}_k+\imath\mathbf{L}_k),\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{K}_k = \frac{1}{2}\,(\mathbf{R}_k-\imath\mathbf{L}_k).</math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \hat{X}_\alpha = -u^i_\alpha(\mathbf{x})\partial_i, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Они коммутируют друг с другом, поэтому алгебра "расщепляется":
+
которые удовлетворяют ''алгебре Ли'':
  
:<center><math>[\mathbf{J}_i,\;\mathbf{J}_j] = -\varepsilon_{ijk}\,\mathbf{J}_k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{K}_i,\;\mathbf{K}_j] = -\varepsilon_{ijk}\,\mathbf{K}_k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{J}_i,\;\mathbf{K}_j] = 0.</math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> [\hat{X}_\alpha, \hat{X}_\beta] = c^\gamma_{\alpha\beta}\,\hat{X}_\gamma, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Для каждой тройки генераторов <math>\textstyle \mathbf{J}_i</math> и <math>\textstyle \mathbf{K}_i</math> алгебра Ли группы Лоренца совпадает с алгеброй групп <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math> и <math>\textstyle \mathbf{SU}(2)</math>. Соответственно, есть два оператора Казимира, коммутирующие со всеми генераторами:
+
где как и раньше <math>\textstyle [\hat{A}, \hat{B}]=\hat{A}\,\hat{B}-\hat{B}\,\hat{A}</math> &mdash; ''коммутатор'' операторов. Действительно, так как <math>\textstyle \hat{X}_\alpha</math> операторы, соотношение () понимается в смысле его действия на произвольную функцию <math>\textstyle F=F(\mathbf{x})</math>:
  
:<center><math>\mathbf{J}^2=\mathbf{J}^2_1+\mathbf{J}^2_2+\mathbf{J}^2_3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{K}^2=\mathbf{K}^2_1+\mathbf{K}^2_2+\mathbf{K}^2_3.</math></center>
+
:<center><math>(\hat{X}_\alpha\hat{X}_\beta-\hat{X}_\beta\hat{X}_\alpha)F = u^i_\alpha\,\partial_i ( u^j_\beta\,\partial_j F) - u^j_\beta\,\partial_j ( u^i_\alpha\,\partial_i F) =-c^\gamma_{\alpha\beta} \,u^i_\gamma\,\partial_i F = c^\gamma_{\alpha\beta}\hat{X}_\gamma F,</math></center>
  
Пользуясь результатами предыдущего раздела, можно описать неприводимые представления алгебры Ли. Каждое из них характеризуется парой чисел <math>\textstyle (j_1, j_2)</math>, где <math>\textstyle j_1</math> &mdash; максимальное собственное значение генератора <math>\textstyle \mathbf{J}_3</math>, а <math>\textstyle j_2</math> &mdash; генератора <math>\textstyle \mathbf{K}_3</math>. Числа <math>\textstyle (j_1, j_2)</math> могут быть целыми или полуцелыми, а размерность неприводимых представлений каждой из алгебр равна <math>\textstyle 2j_i+1</math>. Если <math>\textstyle j_1+j_2</math> равно полуцелому числу, то представление называется спинорным, а для целого числа &mdash; векторным. Векторное представление является однозначным, в спинорное &mdash; двухзначным. Если <math>\textstyle j_1\neq j_2</math>, то возможно два неэквивалентных представления одинаковой размерности: <math>\textstyle (j_1, j_2)</math> и <math>\textstyle (j_2, j_1)</math>.
+
где раскрыта производная произведения и учтены уравнения ().
 +
 
 +
Рассмотрим в качестве примера группу масштабирования и сдвига одномерного пространства <math>\textstyle x'=e^{a_1}\,x+a_2</math>. В этом случае, в соответствии с (), касательные векторы равны <math>\textstyle u_1(x) = x</math> и <math>\textstyle u_2(x)=1</math> (индекса <math>\textstyle k</math> нет, так это одномерный случай). Поэтому генераторы группы имеют вид:
 +
 
 +
:<center><math>\hat{X_1} = -x\,\frac{d}{dx},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\hat{X}_2 = -\frac{d}{dx}.</math></center>
 +
 
 +
Вычислим их коммутатор:
 +
 
 +
:<center><math>[\hat{X}_1, \hat{X}_2]\,F(x) = x\, \frac{d^2 F }{dx^2} - \frac{d}{dx} \left(x \,\frac{dF}{dx} \right) = -\frac{dF}{dx} = \hat{X}_2 \,F(x).</math></center>
 +
 
 +
Таким образом
 +
 
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> [\hat{X}_1, \hat{X}_2] = \hat{X}_2, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 
 +
и не нулевые структурные константы равны <math>\textstyle c^2_{12}=-c^2_{21}=1</math>.
 +
 
 +
В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H), предлагается найти генераторы и структурные константы для дробно-линейной группы (), стр.\,\pageref{group_1D_drlin}.
 +
 
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Функция композиции <math>\textstyle \phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math> также как и <math>\textstyle \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})</math> удовлетворяет определённым дифференциальным уравнениям. Их вывод полностью аналогичен выводу уравнений для <math>\textstyle \mathbf{f}( \mathbf{a},\mathbf{x})</math> и <math>\textstyle u^k_\beta(\mathbf{x})</math>. Вообще, параметрическую композицию можно рассматривать как преобразование задающее некоторую кривую в параметрическом пространстве начинающуюся в точке <math>\textstyle \mathbf{a}</math> при изменении парамера <math>\textstyle \mathbf{b}</math>.
 +
 
 +
Запишем для закона композиции свойство ассоциативности:
 +
 
 +
:<center><math>\phi({\mathbf c}, \phi({\mathbf b},{\mathbf a}))=\phi(\phi({\mathbf c},{\mathbf b}), \;{\mathbf a}),</math></center>
 +
 
 +
возьмём его производную по <math>\textstyle c^\beta</math> и приравняем <math>\textstyle \mathbf{c}=\mathbf{0}</math>. Учитывая определение (), имеем
 +
 
 +
:<center><math>\mu^\gamma_\beta\bigl(\phi(\mathbf{b},\mathbf{a})\bigr) = \frac{\partial\phi^\gamma(\phi_{(\mathbf{c},\mathbf{b}), \mathbf{a}})}{\partial \phi^\sigma_{(\mathbf{c},\mathbf{b})}} \,\frac{\partial\phi^\sigma_{(\mathbf{c},\mathbf{b})}}{\partial c^\beta}\Bigr|_{\mathbf{c}=\mathbf{0}} = \frac{\partial\phi^\gamma(\mathbf{b}, \mathbf{a})}{\partial b^\sigma} \,\mu^\sigma_\beta(\mathbf{b}).</math></center>
 +
 
 +
Поэтому уравнение для функции <math>\textstyle \phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math> имеет вид:
 +
 
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mu^\sigma_\beta(\mathbf{b})\,\frac{\partial\phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a})}{\partial b^\sigma} =\mu^\gamma_\beta\bigl(\phi(\mathbf{b},\mathbf{a})\bigr). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 
 +
Для получения дифференциальных ограничений на функции <math>\textstyle \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a})</math> возьмём производную этого уравнения по <math>\textstyle b^\alpha</math> и положим <math>\textstyle \mathbf{b}=\mathbf{0}</math>. Учитывая () имеем:
 +
 
 +
:<center><math>\phi^\sigma_{\beta\alpha}\,\mu^\gamma_\sigma(\mathbf{a}) + \frac{\partial \phi^\gamma( \mathbf{b},\mathbf{a})}{\partial b^\alpha \partial b^\beta}\Bigr|_{\mathbf{b}=\mathbf{0}} =\frac{\partial \mu^\gamma_\beta(\phi_{(\mathbf{b},\mathbf{a})})}{\partial \phi_{(\mathbf{b},\mathbf{a})}^\sigma} \, \frac{\partial\phi^\sigma(\mathbf{b},\mathbf{a})}{\partial b^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{b}=0} =\frac{\partial \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a})}{\partial a^\sigma} \, \mu^\sigma_\alpha(\bf a).</math></center>
 +
 
 +
Переставив индексы <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math>, и вычтя из исходного уравнения, получим:
 +
 
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mu^\sigma_\alpha(\mathbf{a})\,\partial_\sigma \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a}) - \mu^\sigma_\beta(\mathbf{a}) \,\partial_\sigma \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a}) = -c^\sigma_{\alpha\beta} \,\mu^{\gamma}_\sigma(\mathbf{a}), </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 
 +
где <math>\textstyle \partial_\sigma=\partial/\partial a^\sigma</math>. Взяв производную по <math>\textstyle a^k</math> и положив <math>\textstyle \mathbf{a}=0</math>, можно снова прийти к тождеством Якоби для структурных констант () стр.\,\pageref{group_jacobi}.
 +
 
 +
При известных структурных константах <math>\textstyle c^\sigma_{\alpha\beta}</math>, решение уравнения () даёт функцию <math>\textstyle \mu^\gamma_\beta(\mathbf{a})</math>. С её помощью далее решается уравнение () и находится функция композиции <math>\textstyle \phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a})</math>.
 +
 
 +
В случае трансляций и масштабирования <math>\textstyle x'=e^{a_1}\,x+a_2</math> одномерного пространства закон композиции имеет вид (функция <math>\textstyle \phi_k</math> и параметры имеют 2 компоненты и индексы опущены вниз):
 +
 
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{l} \phi_1(\mathbf{b},\mathbf{a}) = a_1+b_1\\ \phi_2(\mathbf{b},\mathbf{a}) = e^{b_1}a_2+b_2\approx a_2+b_2 + b_1a_2 .\\ \end{array} </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Пусть <math>\textstyle S^{(j)}_{\alpha\beta}</math> &mdash; матрица <math>\textstyle (2j+1)</math>x<math>\textstyle (2j+1)</math>, соответствующая данному неприводимому представлению, а <math>\textstyle \Psi_{\alpha\beta}</math> &mdash; некоторая многокомпонентная величина, преобразующаяся по представлению <math>\textstyle (j_1,j_2)</math>:
+
Следовательно, <math>\textstyle \phi^2_{12}=1</math>, а остальные коэффициенты <math>\textstyle \phi^\gamma_{\alpha\beta}</math> равны нулю. Поэтому, ненулевая структурная константа равна <math>\textstyle c^2_{12}=\phi^2_{12}-\phi^2_{21}=1</math>, что и было получено выше ().
  
:<center><math>\Psi'_{\alpha\beta} = S^{(j_1)}_{\alpha\mu}S^{(j_2)}_{\beta\nu} \Psi_{\mu\nu},</math></center>
+
<math>\textstyle \bullet</math> Иногда удачный выбор способа параметризации группы существенно упрощает групповое преобразование. Рассмотрим случай однопараметрической группы <math>\textstyle \mathbf{a}=\{a\}</math>. В этом случае структурные константы равны нулю. Уравнение () для функции <math>\textstyle \mu(\mathbf{a})</math> тождественно выполняется, а уравнение () для <math>\textstyle \phi</math> имеет вид:
  
где по повторяющимся индексам сумма от 1 до <math>\textstyle 2j_1+1</math> для <math>\textstyle \mu</math> и до <math>\textstyle 2j_2+1</math> для <math>\textstyle \nu</math>. В этом смысле произвольное неприводимое представление алгебры группы Лоренца является прямым произведением двух неприводимых представлений алгебры <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math> или <math>\textstyle \mathbf{SU}(2)</math>, т.е. <math>\textstyle \mathbf{S}^{(j_1,j_2)}=\mathbf{S}^{(j_1)}\otimes\mathbf{S}^{(j_2)}</math> и имеет размерность <math>\textstyle (2j_1+1)(2j_2+1)</math>.
+
:<center><math>\mu(b)\,\frac{d\phi(b,a)}{db} = \mu\bigl(\phi(b,a)\bigr).</math></center>
  
Одной из матриц может не быть, что помечается нулем: <math>\textstyle (j_1,0)</math> или <math>\textstyle (0,j_2)</math>. При помощи неприводимых представлений можно получать матрицы приводимых представлений. Однако особый интерес представляют именно неприводимые представления, так как они определяют различные типы нетривиальных математических объектов, тем или иным образом меняющихся при преобразованиях Лоренца (см. стр.\,\pageref{why_need_preds})
+
Интегрируя его с "начальным" условием <math>\textstyle \phi(0,a)=a</math>, получаем:
  
Перечислим некоторые из них для конкретных <math>\textstyle j_1</math> и <math>\textstyle j_2</math>: \item[<math>\textstyle \triangleright</math>] <math>\textstyle (0,0)</math> &mdash; ''скаляр'', не меняющийся при вращениях и преобразованиях Лоренца; это однокомпонентная величина <math>\textstyle \Psi'=\Psi</math>. \item[<math>\textstyle \triangleright</math>] <math>\textstyle (1/2,0)</math> или <math>\textstyle (0,1/2)</math> &mdash; описывают преобразования ''спинора''; это двухкомпонентная комплексная величина <math>\textstyle \Psi_{\alpha}= (\Psi_1\,\Psi_2)^T</math>, см. главу . \item[<math>\textstyle \triangleright</math>] <math>\textstyle (1,0)</math> или <math>\textstyle (0,1)</math> &mdash; преобразования трехкомпонентных величин, которыми могут быть комплексные векторы <math>\textstyle \mathbf{a}+\imath\mathbf{b}</math>, являющиеся компонентами антисимметричного 4-тензора <math>\textstyle A_{ij}=(\mathbf{a},\mathbf{b})</math>, см.стр.\,\pageref{anti_sym_ten_sec}. \item[<math>\textstyle \triangleright</math>] <math>\textstyle (1/2,1/2)</math> &mdash; четырехкомпонентная величина являющаяся обычным 4-вектором <math>\textstyle A^\nu=\{A^0,\mathbf{A}\}</math>. Каким образом прямое произведение двух матриц 2x2 приводит к преобразованиям Лоренца для 4-вектора станет ясно в главе .
+
:<center><math>\psi(\phi(b,a)) = \psi(a) + \psi(b),</math></center>
  
Рассмотрим подробнее представление <math>\textstyle (1,0)</math>. В этом случае матрицы генераторов 3x3 действуют на столбик из трёх, вообще говоря, комплексных чисел. Так как генераторы совпадают с матрицами группы <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math>, то при пространственных поворотах эта тройка чисел преобразуется как компоненты 3-векторов (независимо и одинаково для действительной и мнимой частей). Запишем матрицу преобразования для малых параметров:
+
где <math>\textstyle \psi'(b)=1/\mu(b)</math>. Таким образом, с точностью до переопределения параметров однопараметрическое преобразование должно иметь аддитивный закон композиции <math>\textstyle \phi(b,a)=a+b</math>. Для трансляции и поворотов в плоскости это очевидно, а для преобразования масштабирования в виде <math>\textstyle x\mapsto x'=\tilde{a} \, x</math> имеем <math>\textstyle \tilde{a}=\psi(a)=e^a</math>. Параметризация при которой <math>\textstyle \phi(b,a)=a+b</math> называется ''канонической''.
  
:<center><math>\mathbf{S}\approx\mathbf{1}+\delta\phi_k \mathbf{R}_k+\delta v_k \mathbf{L}_k=\mathbf{1}+(\delta\phi_k-\imath \delta v_k)\mathbf{J}_k+(\delta\phi_k+\imath \delta v_k)\mathbf{K}_k,</math></center>
+
<math>\textstyle \bullet</math> Функция координат называется ''инвариантом группы'', если её ''функциональная зависимость'' не изменяется при групповом преобразовании <math>\textstyle F\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a}, \mathbf{x})\bigr)=F\bigl(\mathbf{x}\bigr)</math> и, следовательно, <math>\textstyle F\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x})\bigr)</math> не зависит от <math>\textstyle \mathbf{a}</math>. Поэтому производная по <math>\textstyle \mathbf{a}</math> в нуле должна равняться нулю:
  
где <math>\textstyle \delta\boldsymbol{\phi}=\mathbf{n}d\phi</math> &mdash; углы поворота, <math>\textstyle \delta\mathbf{v}</math> &mdash; относительная скорость. Таким образом, в представлении <math>\textstyle (1,0)</math> параметры преобразования являются комплексными величинами: <math>\textstyle \delta\phi_k -\imath \delta v_k</math>. Рассмотрим относительное движение двух систем отсчета вдоль оси <math>\textstyle x</math>: <math>\textstyle \delta \mathbf{v}=\{\delta v,0,0\}</math>. В этом случае <math>\textstyle \mathbf{S}\approx\mathbf{1}-\imath\delta v\,\mathbf{J}_1</math>. Взяв генераторы поворота (), стр.\,\pageref{group_mat_gen_SO3} и выделив в преобразуемом векторе явным образом действительную и мнимую части, имеем:
+
:<center><math>\frac{\partial F\bigl(\mathbf{f}(\mathbf{a}, \mathbf{x})\bigr)}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=\mathbf{0}} = \frac{\partial F}{\partial f^k}\,\frac{\partial f^k}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=\mathbf{0}} = u^k_\alpha(\mathbf{x})\, \frac{\partial F}{\partial x^k} \equiv -\hat{X}_\alpha F(\mathbf{x}) =0.</math></center>
  
:<center><math>\begin{pmatrix} a'_x+\imath b'_x \\ a'_y+\imath b'_y \\ a'_z+\imath b'_z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\imath\delta v\\ 0 & \imath\delta v & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_x+\imath b_x \\ a_y+\imath b_y \\ a_z+\imath b_z \\ \end{pmatrix}.</math></center>
+
Справедливо и обратное утверждение: если некоторая функция удовлетворяет уравнениям <math>\textstyle \hat{X}_\alpha F(\mathbf{x})=0</math>, то она будет инвариантной относительно группы определяемой генераторами <math>\textstyle \hat{X}_\alpha</math>.
  
Перемножая и приравнивая действительную и мнимые части, получаем:
+
Для ''однопараметрической группы'' генератор один. В <math>\textstyle n</math>-мерном пространстве уравнение <math>\textstyle \hat{X} F = -u^k(\mathbf{x})\partial_k F = 0</math> является уравнением первого порядка в частных производных. В соответствии с методом характеристик оно решается при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
  
:<center><math>\begin{array}{lll} a'_x=a_x, \;\;\;\;\;&a'_y = a_y + \delta v\, b_z, \;\;\;\;\;&a'_z = a_z - \delta v\, b_y,\\ b'_x=b_x, \;\;\;\;\;&b'_y = b_y - \delta v\, a_z, \;\;\;\;\;&b'_z = b_z + \delta v\, a_y, \end{array}</math></center>
+
:<center><math>\frac{dx^1}{u^1(\mathbf{x})} = \frac{dx^2}{u^2(\mathbf{x})} = ... = \frac{dx^n}{u^n(\mathbf{x})}.</math></center>
  
что совпадет с преобразованием антисимметричного 4-тензора (стр.\,\pageref{anti_sym_ten_sec}) при малой относительной скороcти движения.
+
Эта система имеет <math>\textstyle n-1</math> интегралов <math>\textstyle C_1=I_1(\mathbf{x})</math>, ..., <math>\textstyle C_{n-1}=I_{n-1}(\mathbf{x})</math>. Общее решение уравнения <math>\textstyle \hat{X} F= 0</math> будет иметь вид <math>\textstyle F(I_1(\mathbf{x}),...,I_{n-1}(\mathbf{x}))</math>, где <math>\textstyle F</math> - произвольная функция <math>\textstyle n-1</math> аргументов. Функции <math>\textstyle I_k(\mathbf{x})</math>, <math>\textstyle k=1,...,n-1</math> называются ''базовыми инвариантами''. Произвольный инвариант <math>\textstyle F</math> является их функцией. В качестве упражнения, предлагается найти инварианты 1-параметрической группы масштабирования 2-мерного пространства <math>\textstyle x'=e^a\, x</math>, <math>\textstyle y'=e^a\, y</math> (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) и группы <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math> (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H).
  
 
----
 
----

Версия 18:51, 27 сентября 2012

Группа Пуанкаре << Оглавление (Последняя версия в: Глава 5) >> Эрлангенская программа

Рассмотрим вектор переменных , которые мы будем называть далее координатами, и набор параметров определяющих в общем случае нелинейное преобразование:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^i\mapsto x'^i = f_i(a^1,....,a^s,\;x^1,...,x^n),\;\;\;\;или\;\;\;\;\mathbf{x}\mapsto \mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{a},\mathbf{x}) = \hat{T}_{\mathbf{a}}\mathrm{x}.}

Например, в одномерном случае преобразования трансляции и масштабирования (они линейны!) имеют вид:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle {трансляция}:\;\;x\mapsto x'=x+a,\;\;\;\;\;\;\;\;{масштабирование}:\;\;x\mapsto x'=e^a\cdot x.}

Нас будут интересовать преобразования образующие непрерывную группу. Пусть при помощи параметров мы перешли в координатном пространстве от точки к , а затем, при помощи , от к . Пусть существует некоторое , которое позволяет сразу перейти от к :

(EQN)

Кроме этого, предположим, что существует единичное преобразование с параметром e, не изменяющее координат, и обратное, с параметром , которое возвращает преобразованное к исходному:

(EQN)

Для преобразований трансляции и масштабирования единичный параметр , а обратный .

Если число параметров меньше чем размерность пространства , то групповое преобразование имеет простую геометрическую интерпретацию. Так, при функция задаёт кривую в пространстве . Если зафиксировать "начальную" точку и начать изменять параметр , мы получим непрерывное множество точек образующих некоторую линию. Если взять другую точку в пространстве не лежащую на линии, мы получим другую кривую. Таким образом всё пространство "расслаивается" на множество подобных кривых.

Однако, нас интересуют не любые кривые заданные параметрическим образом, а лишь те, которые обладают свойством эквивалентности всех своих точек. В этом случае любая точка кривой может выступить в качестве "начальной", и при помощи одной и той же функции можно из неё "продолжить" кривую дальше. Подобным образом двухпараметрические группы при определяют некоторую поверхность, обладающую свойством симметрии (равноправия всех своих точек), и т.д.

Функция композиции параметров двух последовательных непрерывных преобразований является векторной, -компонентной функцией: . Она удовлетворяет таким же функциональным уравнениям как и в случае линейных преобразований (стр.\,\pageref{mat_group_def5}):

(EQN)

Без потери общности будем считать, что единичное преобразование соответствует нулевому значению параметров: . Как мы видели, в окрестности нуля эта функция имеет вид:

(EQN)

a антисимметричные по нижним индексам величины называются структурными константами.

Групповые свойства являются сильными ограничениями на возможный вид преобразований. Например, в одномерном случае наиболее общее преобразование, образующее группу, имеет дробно-линейный вид:

(EQN)

Трансляция и масштабирование являются его частными случаями. В качестве упражнения стоит проверить, что оно удовлетворяет условиям (), (), и найти функцию . Вторым упражнением является проверка того, что преобразование не удовлетворяет (), и, следовательно, не является группой.

Заметим, что всегда можно провести замену координат и переопределить параметры группы . Так, переход от декартовых координат к полярным , группу 2-мерных поворотов делает трансляционной:

Аналогично, заменой масштабирование превращается в трансляционное преобразование .

Поэтому, говоря о единственности дробно-линейных преобразований для , на самом деле, подразумевается более общее преобразование:

и аналогично, для переопределения параметров группы .

Рассмотрим произвольное, бесконечно - малое преобразование, разложив его в ряд Тейлора по параметрам :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle f^k(\mathbf{a},\mathbf{x}) = x^k + u^k_{\alpha}(\mathbf{x})\,a^\alpha + ...., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\; u^k_{\alpha}(\mathbf{x}) = \frac{\partial f^k(\mathbf{a},\mathbf{x})}{\partial a^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{a}=0}. }
(EQN)

Величины называются касательными векторами, так как они касаются кривой (поверхности и т.д.) при бесконечно малом изменении параметров . Действительно, разница между двумя соседними точками (сдвиг) на кривой или поверхности равна: .

Аналогично, закон композиции можно разложить в ряд по первому аргументу (параметры второго преобразования):

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \phi^\gamma(\mathbf{b},\mathbf{a}) = a^\gamma + \mu^\gamma_\alpha(\mathbf{a})\,b^{\alpha}+..., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;где\;\; \mu^\gamma_{\alpha}(\mathbf{a}) = \frac{\partial \phi^\gamma(\mathbf{b}, \mathbf{a})}{\partial b^\alpha}\Bigr|_{\mathbf{b}=0}. }
(EQN)

Так как при малых параметрах преобразования и для справедливо разложение (), то функция ( — символ Кронекера) имеет следующие значения:

(EQN)

Функции и , как и структурные константы , играют важную роль в теории нелинейных непрерывных групп.

Возьмём производную по от закона композиции преобразований:

и приравняем . Левая часть по определению () равна , а производная правой берётся как от сложной функции:

Таким образом, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

(EQN)

Если функции одной (векторной) переменной и известны, то решение этого уравнения с начальным условием позволяет восстановить зависимость функции двух переменных .

Найдём уравнение которому удовлетворяют касательные векторы . Возьмём производную () по и положим :

где мы воспользовались определением () и значениями (). Переставим местами индексы , и вычтем из исходного уравнения. Учитывая, что вторая производная по и симметрична, получаем:

(EQN)

где и - структурные константы группы.

Перепишем () в операторной форме при помощи величин:

(EQN)

которые удовлетворяют алгебре Ли:

(EQN)

где как и раньше коммутатор операторов. Действительно, так как операторы, соотношение () понимается в смысле его действия на произвольную функцию :

где раскрыта производная произведения и учтены уравнения ().

Рассмотрим в качестве примера группу масштабирования и сдвига одномерного пространства . В этом случае, в соответствии с (), касательные векторы равны и (индекса нет, так это одномерный случай). Поэтому генераторы группы имеют вид:

Вычислим их коммутатор:

Таким образом

(EQN)

и не нулевые структурные константы равны .

В качестве упражнения (\,H), предлагается найти генераторы и структурные константы для дробно-линейной группы (), стр.\,\pageref{group_1D_drlin}.

Функция композиции также как и удовлетворяет определённым дифференциальным уравнениям. Их вывод полностью аналогичен выводу уравнений для и . Вообще, параметрическую композицию можно рассматривать как преобразование задающее некоторую кривую в параметрическом пространстве начинающуюся в точке при изменении парамера .

Запишем для закона композиции свойство ассоциативности:

возьмём его производную по и приравняем . Учитывая определение (), имеем

Поэтому уравнение для функции имеет вид:

(EQN)

Для получения дифференциальных ограничений на функции возьмём производную этого уравнения по и положим . Учитывая () имеем:

Переставив индексы и , и вычтя из исходного уравнения, получим:

(EQN)

где . Взяв производную по и положив , можно снова прийти к тождеством Якоби для структурных констант () стр.\,\pageref{group_jacobi}.

При известных структурных константах , решение уравнения () даёт функцию . С её помощью далее решается уравнение () и находится функция композиции .

В случае трансляций и масштабирования одномерного пространства закон композиции имеет вид (функция и параметры имеют 2 компоненты и индексы опущены вниз):

(EQN)

Следовательно, , а остальные коэффициенты равны нулю. Поэтому, ненулевая структурная константа равна , что и было получено выше ().

Иногда удачный выбор способа параметризации группы существенно упрощает групповое преобразование. Рассмотрим случай однопараметрической группы . В этом случае структурные константы равны нулю. Уравнение () для функции тождественно выполняется, а уравнение () для имеет вид:

Интегрируя его с "начальным" условием , получаем:

где . Таким образом, с точностью до переопределения параметров однопараметрическое преобразование должно иметь аддитивный закон композиции . Для трансляции и поворотов в плоскости это очевидно, а для преобразования масштабирования в виде имеем . Параметризация при которой называется канонической.

Функция координат называется инвариантом группы, если её функциональная зависимость не изменяется при групповом преобразовании и, следовательно, не зависит от . Поэтому производная по в нуле должна равняться нулю:

Справедливо и обратное утверждение: если некоторая функция удовлетворяет уравнениям , то она будет инвариантной относительно группы определяемой генераторами .

Для однопараметрической группы генератор один. В -мерном пространстве уравнение является уравнением первого порядка в частных производных. В соответствии с методом характеристик оно решается при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Эта система имеет интегралов , ..., . Общее решение уравнения будет иметь вид , где - произвольная функция аргументов. Функции , называются базовыми инвариантами. Произвольный инвариант является их функцией. В качестве упражнения, предлагается найти инварианты 1-параметрической группы масштабирования 2-мерного пространства , (\,H) и группы (\,H).


Группа Пуанкаре << Оглавление (Последняя версия в: Глава 5) >> Эрлангенская программа

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии