Неинерциальные координаты и время

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Равноускоренная система отсчета << Оглавление >> Масса

Найдём явный вид преобразований координат и времени некоторого события, наблюдаемого в инерциальной и неинерциальной системах отсчёта. При этом — это результаты наблюдателя в (первый корабль). Пусть событие происходит в удалённой от него точке, например, возле второго корабля, расстояние до которого (2.28) известно из радиолокационных измерений. Время события связано со временем второго и первого корабля следующим образом:

Мы предполагаем, что, как только произошло событие, на первый корабль посылается световой сигнал. С учётом корректировки на время распространения сигнала и по формуле (2.28).

Координата события совпадает с координатой второго корабля (2.25):

Таким образом, преобразования между инерциальной и неинерциальной системами отсчёта имеют вид:

(2.29)

Обратные преобразования находим прямым обращением:

(2.30)

Эти преобразования имеют немного иной смысл по сравнению с преобразованиями между двумя инерциальными системами. Все наблюдатели в инерциальной системе отсчёта имеют единое синхронизированное время . Наблюдатель, находящийся рядом с событием, сообщает о результатах измерения другим наблюдателям его системы.

В неинерциальной системе каждый наблюдатель обладает собственным временем. Синхронизированное время ввести в такой системе отсчёта, без "разрушения" относительной неподвижности её точек, нельзя. Об удалённых событиях неинерциальный наблюдатель может судить только по распространению от них некоторой информации, проведя корректировку времени при помощи предварительных радиолокационных измерений расстояния.

Выясним физический смысл сингулярности, возникающей в (2.30), когда аргумент логарифма обращается в ноль. Для наблюдателя в начале системы события, расположенные по ходу движения , соответствуют в системе области . События в обратном направлении видны, только если :

Acsel is.png

Действительно, событие будет видимым, если вспышка света, произошедшая в , "догонит" наблюдателя на первом корабле в момент времени . Это происходит, когда уравнение:

имеет решение относительно времени прихода . Несложно проверить, что при время обращается в бесконечность. При равноускоренном движении наблюдатели могут "убегать" от происходящих событий, так как постоянно увеличивают свою скорость (хотя, конечно, она всё время остаётся меньше единицы). В результате события, находящиеся сзади далее, чем точка , в системе видны не будут.

При помощи преобразований (2.29) несложно записать выражение для траектории точки системы относительно наблюдателя в :

В последнем равенстве вместо подставлено время часов, находящихся в , равное для наблюдателей в . Из этого соотношения следует, что скорость наблюдателя в относительно равна скорости (с обратным знаком) наблюдателя в относительно . Однако, в отличие от инерциальных систем отсчёта, функциональная зависимость траекторий движения начал систем отсчёта для инерциального и неинерциального наблюдателя различна.

Запишем теперь более общие преобразования в ситуации, когда неинерциальная система начала ускоряться, уже имея некоторую скорость . Для этого введём три системы отсчёта. Первая — "неподвижная" , наблюдатели которой измеряют . Вторая — инерциальная , двигающаяся равномерно со скоростью относительно . Её наблюдатели измеряют . Третья, , начинает двигаться равноускоренно относительно с нулевой начальной скоростью, так, как это было описано выше. Можно записать два последовательных преобразования координат и времени:

где , и в момент времени начала систем отсчёта совпадали.

Исключая , получаем преобразования между инерциальной системой и двигающейся относительно неё неинерциальной , имеющей скорость точки , равную в момент времени :

(2.31)

Обратные преобразования имеют вид:

(2.32)

Чтобы найти нерелятивистское приближение, в этих соотношениях необходимо восстановить константу , сделав замены , , . При разложении в ряд по ( H) получаются преобразования, справедливые в классической механике:

Мы видим, что, несмотря на несколько более сложную физику и формулы, неинерциальные системы отсчёта вполне можно описывать в рамках кинематики теории относительности, не прибегая к дифференциальной геометрии и, тем более, к теории гравитации Эйнштейна.

Определённый интерес представляет значение интервала между двумя событиями с точки зрения неинерциального наблюдателя. Перейдём к бесконечно малым величинам: . При помощи преобразований (2.31) имеем:

Возводя в квадрат и учитывая, что , получаем:

Таким образом, интервал в неинерциальной системе отсчёта отличается от интервала в инерциальной множителем . Светоподобный интервал в инерциальной системе отсчёта будет светоподобным и в неинерциальной. Другими словами, сигнал, распространяющийся с фундаментальной скоростью, будет иметь одинаковую скорость в обоих системах отсчёта. Именно это закладывалось в физический смысл координаты и времени , которые использует наблюдатель, находящийся в начале системы .

Имея преобразования (2.31), несложно рассмотреть разнообразные кинематические эффекты в ускоренных системах. Приведём, например, закон сложения скоростей:

При мы переходим к обычному релятивистскому правилу сложения. Напомним, что является скоростью начала системы отсчёта с точки зрения наблюдателя, находящегося в .

Преобразования (2.31) нелинейны, поэтому для наблюдателей в неподвижной системе отсчёта двигающаяся мимо них система не будет статической. В зависимости от знаков , неинерциальная система растягивается или сжимается. С точки зрения наблюдателей в , их система стационарна, а деформируется со временем система . Таким образом, само понятие системы отсчёта, как множества относительно неподвижных наблюдателей, является относительным!

Отметим ещё тот очевидный факт, что неинерциальный и инерциальный наблюдатели не являются равноправными. Это, в частности, проявляется в том, что прямые и обратные преобразования (2.31), (2.32) имеют различную функциональную форму.

Теперь мы можем разобрать "парадокс остановки" (стр. \pageref{bear_first}). Напомним, что при обсуждении замедления времени рассматривалась эскадра космических кораблей, равномерно двигающихся со скоростью . В силу относительности одновременности экипажи различных кораблей наблюдают различное время на часах в "неподвижной" системе отсчёта. Корабли, двигающиеся впереди, видят будущее системы , тогда как летящие сзади — прошлое:

Time4.png

Если эскадра примет решение остановиться, то для наблюдателей в одновременное торможение кораблей не будет выглядеть одновременным. Тем не менее, их полная остановка произойдёт одновременно для всех наблюдателей (как в , так и в ). Проведём соответствующие расчёты.

Будем рассматривать три системы отсчёта и два корабля. Пусть в момент времени по часам инерциальной системы корабли эскадры начинают торможение. В "неподвижной" системе передний корабль начнёт торможение позже, чем задний, на время :

Bear paradox.png

С точки зрения эскадры расстояние между кораблями при торможении остаётся неизменным и образует систему отсчёта . Начальное расстояние до торможения было . Как только включились двигатели, оно стало (сейчас ускорение направлено против оси ). Для неподвижных наблюдателей в начальное расстояние испытывало лоренцевское сокращение . Впоследствии, в силу неодновременного с точки зрения начала торможения и различного ускорения (разный темп времени в неинерциальной системе), расстояние между кораблями будет изменяться.

Чтобы найти траекторию произвольной точки системы , можно воспользоваться преобразованиями между инерциальным и неинерциальными наблюдателями. Так как происходит торможение, в (2.31), (2.32) необходимо заменить .

Воспользовавшись первым уравнением (2.32), несложно получить выражение для траектории некоторой фиксированной точки :

В общем случае равноускоренного движения (с ускорением ), начавшееся из точки в момент времени (2.22), траектория имеет вид:

В формуле (2.22) мы сдвинули начало отсчёта времени и записали в явном виде величину , и . Сравнивая эти две траектории, несложно видеть, что

где подставлено соотношение . Рассматриваемая точка системы остановится (2.21), когда , что произойдёт при , или:

Таким образом, независимо от положения корабля в системе он остановится в момент времени . Начав неодновременное торможение с точки зрения системы , корабли эскадры будут двигаться с различной скоростью и в результате приземлятся одновременно.

Координата остановившегося корабля при будет равна:

Поэтому расстояние между первым (в ) и вторым (в ) кораблями в момент остановки будет в точности равно их расстоянию в системе перед началом торможения. Таким образом, в результате лоренцевское сокращение линеек, возникшее после ускорения систем, полностью исчезнет после остановки корабля.



Равноускоренная система отсчета << Оглавление >> Масса

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии