Неинерциальные координаты и время — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 12 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Равноускоренная система отсчета]] <<  
+
  | width="40%"|[[Время и расстояние в равноускоренной системе]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
  | width="40%" align="right"| >> [[Масса]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Закон Кулона]]
 
|}
 
|}
 +
 
----
 
----
  
<math>\textstyle \bullet</math> Найдём явный вид преобразований координат и времени некоторого события, наблюдаемого в инерциальной <math>\textstyle (x,t)</math> и неинерциальной <math>\textstyle (x',t')</math> системах отсчёта. При этом <math>\textstyle (x',t')</math> &mdash; это результаты наблюдателя в <math>\textstyle x'=0</math> (первый корабль). Пусть событие происходит в удалённой от него точке, например, возле второго корабля, расстояние <math>\textstyle x'</math> до которого () известно из радиолокационных измерений. Время события <math>\textstyle t</math> связано со временем второго <math>\textstyle t''</math> и первого корабля <math>\textstyle t'</math> следующим образом:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Найдём явный вид преобразований координат и времени некоторого события, наблюдаемого в инерциальной <math>\textstyle (x,t)</math> и неинерциальной <math>\textstyle (x',t')</math> системах отсчёта. При этом <math>\textstyle (x',t')</math> &mdash; это результаты наблюдателя в <math>\textstyle x'=0</math> (первый корабль). Пусть событие происходит в удалённой от него точке, например, возле второго корабля, расстояние <math>\textstyle x'</math> до которого известно из радиолокационных измерений (4.5).  
  
:<center><math>t=\frac{1+ax_0}{a}\,\mathrm{sh}\left(\frac{at''}{1+ax_0}\right)=\frac{1+ax_0}{a}\,\mathrm{sh}(at') = \mathrm{sh}(at') \,e^{ax'}.</math></center>
+
<center>[[File:niso_event.png]]</center>
  
Мы предполагаем, что, как только произошло событие, на первый корабль посылается световой сигнал. С учётом корректировки на время распространения сигнала <math>\textstyle t''</math> и <math>\textstyle t'</math> по формуле ().
+
Время события <math>\textstyle t</math> связано со временем второго <math>\textstyle t''</math> и первого корабля <math>\textstyle t'</math> следующим образом:
  
Координата события совпадает с координатой второго корабля ():
+
:<center><math>t=\frac{1+ax_0}{a}\,\mathrm{sh}\,\left(\frac{at''}{1+ax_0}\right) = \frac{1}{a}\,\mathrm{sh}\,at') \,e^{ax'}.</math></center>
  
:<center><math>ax=f(t)=(1+ax_0)\mathrm{ch}\left(\frac{at''}{1+ax_0}\right)-1 = \mathrm{ch}(at')e^{ax'} - 1.</math></center>
+
Мы предполагаем, что, как только произошло событие, на первый корабль посылается световой сигнал. Время события по часам <math>\textstyle t'</math> записано с учётом корректировки на время его распространения (4.8): <math>\textstyle t'=t'' e^{-ax'}</math>.
  
Таким образом, преобразования между инерциальной и неинерциальной системами отсчёта имеют вид:
+
Координата события совпадает с координатой второго корабля (4.4):
  
{| width="100%"
+
:<center><math>ax=f(t)=(1+ax_0)\mathrm{ch}\,\left(\frac{at''}{1+ax_0}\right)-1 = \mathrm{ch}\,at')e^{ax'} - 1.</math></center>
| width="90%" align="center"|<math> ax = \mathrm{ch}(at')\,e^{ax'}-1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;at=\mathrm{sh}(at')\,e^{ax'}. </math>
 
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
|}
 
  
Обратные преобразования находим прямым обращением:
+
В результате, преобразования между инерциальной и неинерциальной системами отсчёта можно записать в следующем виде:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> ax'=\frac{1}{2}\,\ln\bigl[(1+ax)^2-(at)^2\bigr],\;\;\;\;\;\;\;\;\;at'=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+a\,(x+t)}{1+a\,(x-t)}. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> at=\mathrm{sh}\,at')\,e^{ax'},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;ax = \mathrm{ch}\,at')\,e^{ax'}-1. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.12)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Эти преобразования имеют немного иной смысл по сравнению с преобразованиями между двумя инерциальными системами. Все наблюдатели в инерциальной системе отсчёта имеют единое синхронизированное время <math>\textstyle t</math>. Наблюдатель, находящийся рядом с событием, сообщает о результатах измерения <math>\textstyle (x,t)</math> другим наблюдателям его системы.
+
Эти преобразования получил Кристиан Мёллер, при помощи рассуждений, существенно отличающихся от тех, которые были использованы выше. Заметим так же, что в исходной версии преобразований Мёллера использовалась другая параметризация координаты:
  
В неинерциальной системе каждый наблюдатель обладает собственным временем. Синхронизированное время ввести в такой системе отсчёта, без "разрушения" относительной неподвижности её точек, нельзя. Об удалённых событиях неинерциальный наблюдатель может судить только по распространению от них некоторой информации, проведя корректировку времени при помощи предварительных радиолокационных измерений расстояния.
+
:<center><math>x' \mapsto x'_m=(e^{ax'}-1)/a,</math></center>
  
<math>\textstyle \bullet</math> Выясним физический смысл сингулярности, возникающей в (), когда аргумент логарифма обращается в ноль. Для наблюдателя в начале системы <math>\textstyle S'</math> события, расположенные по ходу движения <math>\textstyle x'>0</math>, соответствуют в системе <math>\textstyle S</math> области <math>\textstyle ax>\sqrt{1+(at)^2}-1</math>. События в обратном направлении видны, только если <math>\textstyle x>t-1/a</math>:
+
Фактически это лишь новый способ нумерации точек пространства в данный (для наблюдателя в начале координат) момент времени.
  
<center>[[File:acsel_is.png]]</center>
+
----
 
 
Действительно, событие будет видимым, если вспышка света, произошедшая в <math>\textstyle (x,t)</math>, "догонит" наблюдателя на первом корабле в момент времени <math>\textstyle T</math>. Это происходит, когда уравнение:
 
 
 
:<center><math>\frac{1}{a}\,\left(\sqrt{1+(aT)^2}-1\right) - x = T-t</math></center>
 
 
 
имеет решение относительно времени прихода <math>\textstyle T</math>. Несложно проверить, что при <math>\textstyle x=t-1/a</math> время <math>\textstyle T</math> обращается в бесконечность. При равноускоренном движении наблюдатели могут "убегать" от происходящих событий, так как постоянно увеличивают свою скорость (хотя, конечно, она всё время остаётся меньше единицы). В результате события, находящиеся сзади далее, чем точка <math>\textstyle t-1/a</math>, в системе <math>\textstyle S'</math> видны не будут.
 
 
 
При помощи преобразований () несложно записать выражение для траектории точки <math>\textstyle x=0</math> системы <math>\textstyle S</math> относительно наблюдателя в <math>\textstyle x'=0</math>:
 
 
 
:<center><math>x'=-\frac{1}{a}\ln[\mathrm{ch}(at')]\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;u'=-\frac{dx'}{dt'}=-\th(at') = -\frac{at}{\sqrt{1+(at)^2}}.</math></center>
 
 
 
В последнем равенстве вместо <math>\textstyle t'</math> подставлено время часов, находящихся в <math>\textstyle x'=0</math>, равное <math>\textstyle \mathrm{sh}(at')=at</math> для наблюдателей в <math>\textstyle S</math>. Из этого соотношения следует, что скорость наблюдателя в <math>\textstyle x=0</math> относительно <math>\textstyle S'</math> равна скорости (с обратным знаком) наблюдателя в <math>\textstyle x'=0</math> относительно <math>\textstyle S</math>. Однако, в отличие от инерциальных систем отсчёта, функциональная зависимость траекторий движения начал систем отсчёта для инерциального и неинерциального наблюдателя различна.
 
  
<math>\textstyle \bullet</math> Запишем теперь более общие преобразования в ситуации, когда неинерциальная система начала ускоряться, уже имея некоторую скорость <math>\textstyle u_0</math>. Для этого введём три системы отсчёта. Первая &mdash; "неподвижная" <math>\textstyle S</math>, наблюдатели которой измеряют <math>\textstyle (x,t)</math>. Вторая &mdash; инерциальная <math>\textstyle \bar{S}</math>, двигающаяся равномерно со скоростью <math>\textstyle u_0</math> относительно <math>\textstyle S</math>. Её наблюдатели измеряют <math>\textstyle (\bar{x},\bar{t})</math>. Третья, <math>\textstyle S'</math>, начинает двигаться равноускоренно относительно <math>\textstyle \bar{S}</math> с нулевой начальной скоростью, так, как это было описано выше. Можно записать два последовательных преобразования координат и времени:
 
  
:<center><math>\left\{ \begin{array}{lll} a\bar{x} &=& \mathrm{ch}(at')\,e^{ax'}-1\\ a\bar{t} &=& \mathrm{sh}(at')\,e^{ax'}, \end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{lll} x &=& \gamma_0\cdot(\bar{x}+u_0\,\bar{t})\\ t &=& \gamma_0\cdot(\bar{t}+u_0\,\bar{x}), \end{array} \right.</math></center>
+
<math>\textstyle \bullet</math> Важно понимать, что преобразования (4.12) имеют немного иной смысл по сравнению с преобразованиями между двумя инерциальными системами. У наблюдателей в инерциальной системе отсчёта существует ''единое'' синхронизированное время. Поэтому преобразования Лоренца одинаковы для всех таких наблюдателей. Именно в силу этого, обычно, в каждой инерциальной системе отсчёта представляют по одному наблюдателю, "размазанному" во всему пространству.
  
где <math>\textstyle \gamma_0=1/\sqrt{1-u^2_0}</math>, и в момент времени <math>\textstyle t=\bar{t}=t'=0</math> начала систем отсчёта <math>\textstyle x=\bar{x}=x'=0</math> совпадали.
+
В неинерциальной системе каждый наблюдатель обладает своим собственным временем. Синхронизированное время ввести в такой системе отсчёта без "разрушения" относительной неподвижности её точек нельзя. Об удалённых событиях неинерциальный наблюдатель может судить только по распространению от них некоторой информации, проведя корректировку времени при помощи предварительных радиолокационных измерений расстояния. Поэтому <blockquote> преобразования (4.12) относятся к ''конкретному'' неинерциальному наблюдателю и ''произвольному'' инерциальному. </blockquote> Это "привязанность" преобразований к конкретным наблюдателям является очень важной особенностью неинерциальных систем отсчёта.
  
Исключая <math>\textstyle {\bar{x},\bar{t}}</math>, получаем преобразования между инерциальной системой <math>\textstyle S</math> и двигающейся относительно неё неинерциальной <math>\textstyle S'</math>, имеющей скорость точки <math>\textstyle x'=0</math>, равную <math>\textstyle u_0</math> в момент времени <math>\textstyle t=0</math>:
+
Имея преобразования (4.12), при помощи прямого обращения, несложно найти обратные преобразования:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle a\,x &\displaystyle =& \displaystyle \gamma_0\,e^{ax'}\cdot\bigl[\mathrm{ch}(at')+u_0\,\mathrm{sh}(at')\bigr] - \gamma_0\\ \displaystyle a\,t &\displaystyle =& \displaystyle \gamma_0\,e^{ax'}\cdot\bigl[\mathrm{sh}(at')+u_0\,\mathrm{ch}(at')\bigr] - u_0\gamma_0. \end{array} \right. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> at'=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+a\,(x+t)}{1+a\,(x-t)},\;\;\;\;\;\;\;\;\;ax'=\frac{1}{2}\,\ln\bigl[(1+ax)^2-(at)^2\bigr]. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.13)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Обратные преобразования имеют вид:
+
То, что прямые и обратные преобразования имеют различную функциональную форму, является отражением неравноправности инерциального и неинерциального наблюдателей.
 +
 
 +
Запишем так же интервал между событиями в координатах неинерциального наблюдателя. Подставляя (4.12) в <math>\textstyle ds^2 = dt^2-dx^2</math>, имеем:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle ax'=\frac{1}{2}\,\ln\bigl\{(a\,x+\gamma_0)^2 - (a\,t+u\gamma)^2\} \\[4mm] \displaystyle at'=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+a\,\gamma_0\,(1-u_0)(x+t)}{1+a\,\gamma_0(1+u_0)(x-t)}. \end{array} \right. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> ds^2 =e^{2ax'}\bigl[dt'^2-dx'^2\bigr]. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.14)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Чтобы найти нерелятивистское приближение, в этих соотношениях необходимо восстановить константу <math>\textstyle c</math>, сделав замены <math>\textstyle t\mapsto ct</math>, <math>\textstyle t'\mapsto ct'</math>, <math>\textstyle a\mapsto a/c^2</math>. При разложении в ряд по <math>\textstyle 1/c</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H) получаются преобразования, справедливые в классической механике:
+
Распространение света соответствует нулевому интервалу: <math>\textstyle ds=0</math> (стр.\pageref{bk_h_ds_inv}). Если свет движется вдоль оси <math>\textstyle x</math>, то его траектория в координатах <math>\textstyle (x',t')</math> является линейной функцией. Именно это и закладывалось в определение радиолокационного расстояния <math>\textstyle x'</math>
  
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x'=x-u_0\,t-\frac{at^2}{2}\\[2mm] \displaystyle t'=t. \end{array} \right.</math></center>
+
Если перейти к координате <math>\textstyle x'_m</math>, то получится интервал Мёллера:
  
Мы видим, что, несмотря на несколько более сложную физику и формулы, неинерциальные системы отсчёта вполне можно описывать в рамках кинематики теории относительности, не прибегая к дифференциальной геометрии и, тем более, к теории гравитации Эйнштейна.
+
:<center> <math> ds^2 = (1+ax')^2 dt'^2 - dx'^2. </math> </center>
  
<math>\textstyle \bullet</math> Определённый интерес представляет значение интервала (стр. \pageref{interval}) между двумя событиями с точки зрения неинерциального наблюдателя. Перейдём к бесконечно малым величинам: <math>\textstyle (ds)^2 = (dt)^2-(dx)^2</math>. При помощи преобразований () имеем:
+
В этих координатах пространственная часть имеет такой же вид, как и в инерциальной системе, а собственное время зависит от положения в неинерциальной системе отсчёта.
  
:<center><math>\begin{array}{lll} (ds)^2 &=& \gamma_0^2\,e^{2ax'} \bigl[\mathrm{ch}(at')dt' + u_0\mathrm{sh}(at')dt' + \mathrm{sh}(at')dx'+u_0\mathrm{ch}(at')\,dx'\bigr]^2\\ &-& \gamma_0^2\,e^{2ax'} \bigl[\mathrm{sh}(at')dt' + u_0\mathrm{ch}(at')dt'+ \mathrm{ch}(at')dx'+u_0\mathrm{sh}(at')\,dx'\bigr]^2. \end{array}</math></center>
+
----
  
Возводя в квадрат и учитывая, что <math>\textstyle \mathrm{ch}^2(x)-\mathrm{sh}^2(x)=1</math>, получаем:
 
  
:<center><math>(ds)^2 = (dt)^2-(dx)^2=e^{2ax'}\bigl[(dt')^2-(dx')^2\bigr].</math></center>
+
<math>\textstyle \bullet</math> Выясним физический смысл сингулярности, возникающей в (4.13), когда аргумент логарифма обращается в ноль. Для наблюдателя в начале системы <math>\textstyle S'</math> события, расположенные по ходу движения <math>\textstyle x'>0</math>, соответствуют в системе <math>\textstyle S</math> области <math>\textstyle ax>\sqrt{1+(at)^2}-1</math>. События в обратном направлении видны, только если <math>\textstyle x>t-1/a</math>:
  
Таким образом, интервал в неинерциальной системе отсчёта отличается от интервала в инерциальной множителем <math>\textstyle e^{ax'}</math>. Светоподобный интервал <math>\textstyle ds=0</math> в инерциальной системе отсчёта будет светоподобным и в неинерциальной. Другими словами, сигнал, распространяющийся с фундаментальной скоростью, будет иметь одинаковую скорость в обоих системах отсчёта. Именно это закладывалось в физический смысл координаты и времени <math>\textstyle (x', t')</math>, которые использует наблюдатель, находящийся в начале системы <math>\textstyle S'</math>.
+
<center>[[File:acsel_is.png]]</center>
  
Имея преобразования (), несложно рассмотреть разнообразные кинематические эффекты в ускоренных системах. Приведём, например, закон сложения скоростей:
+
Действительно, событие будет видимым, если вспышка света, произошедшая в <math>\textstyle (x,t)</math>, "догонит" наблюдателя на первом корабле в момент времени <math>\textstyle T</math>. Это происходит, когда уравнение:
  
:<center><math>u_x=\frac{\;\;u_0+u'_x\;+\;\th(at')\,(1+u_0\,u'_x)}{1+ u_0\, u'_x+ \th(at')\,(u_0+u'_x)}.</math></center>
+
:<center><math>\frac{1}{a}\,\left(\sqrt{1+(aT)^2}-1\right) - x = T-t</math></center>
  
При <math>\textstyle a=0</math> мы переходим к обычному релятивистскому правилу сложения. Напомним, что <math>\textstyle -\th(at')</math> является скоростью начала системы отсчёта <math>\textstyle S</math> с точки зрения наблюдателя, находящегося в <math>\textstyle x'=0</math>.
+
имеет решение относительно времени прихода <math>\textstyle T</math>. Несложно проверить, что при <math>\textstyle x=t-1/a</math> время <math>\textstyle T</math> обращается в бесконечность. При равноускоренном движении наблюдатели могут "убегать" от происходящих событий, так как постоянно увеличивают свою скорость (хотя, конечно, она всё время остаётся меньше единицы). В результате события, находящиеся сзади далее, чем точка <math>\textstyle t-1/a</math>, в системе <math>\textstyle S'</math> видны не будут.
  
Преобразования () нелинейны, поэтому для наблюдателей в неподвижной системе отсчёта <math>\textstyle S</math> двигающаяся мимо них система <math>\textstyle S'</math> не будет статической. В зависимости от знаков <math>\textstyle u_0</math>, <math>\textstyle a</math> неинерциальная система растягивается или сжимается. С точки зрения наблюдателей в <math>\textstyle S'</math>, их система стационарна, а деформируется со временем система <math>\textstyle S</math>. Таким образом, само понятие системы отсчёта, как множества относительно неподвижных наблюдателей, является относительным!
+
При помощи преобразований (4.12) несложно записать выражение для траектории точки <math>\textstyle x=0</math> системы <math>\textstyle S</math> относительно наблюдателя в <math>\textstyle x'=0</math>:
  
Отметим ещё тот очевидный факт, что неинерциальный и инерциальный наблюдатели не являются равноправными. Это, в частности, проявляется в том, что прямые и обратные преобразования (), () имеют различную функциональную форму.
+
:<center><math>x'=-\frac{1}{a}\ln[\mathrm{ch}\,at')]\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;u'=-\frac{dx'}{dt'}=-\mathrm{th}\,at') = -\frac{at}{\sqrt{1+(at)^2}}.</math></center>
  
<math>\textstyle \bullet</math> Теперь мы можем разобрать "''парадокс остановки''" (стр. \pageref{bear_first}). Напомним, что при обсуждении замедления времени рассматривалась эскадра космических кораблей, равномерно двигающихся со скоростью <math>\textstyle v=u_0</math>. В силу относительности одновременности экипажи различных кораблей наблюдают различное время на часах в "неподвижной" системе отсчёта. Корабли, двигающиеся впереди, видят будущее системы <math>\textstyle S</math>, тогда как летящие сзади &mdash; прошлое:
+
В последнем равенстве вместо <math>\textstyle t'</math> подставлено время часов, находящихся в <math>\textstyle x'=0</math>, равное <math>\textstyle \mathrm{sh}\,at')=at</math> для наблюдателей в <math>\textstyle S</math>. Из этого соотношения следует, что скорость наблюдателя в <math>\textstyle x=0</math> относительно <math>\textstyle S'</math> равна скорости (с обратным знаком) наблюдателя в <math>\textstyle x'=0</math> относительно <math>\textstyle S</math>. Однако в отличие от инерциальных систем отсчёта, функциональная зависимость траекторий движения начал систем отсчёта для инерциального и неинерциального наблюдателя различна.
  
<center>[[File:time4.png]]</center>
+
----
  
Если эскадра примет решение остановиться, то для наблюдателей в <math>\textstyle S</math> одновременное торможение кораблей не будет выглядеть одновременным. Тем не менее, их полная остановка произойдёт одновременно для всех наблюдателей (как в <math>\textstyle S</math>, так и в <math>\textstyle S'</math>). Проведём соответствующие расчёты.
 
  
Будем рассматривать три системы отсчёта и два корабля. Пусть в момент времени <math>\textstyle \bar{t}=0</math> по часам инерциальной системы <math>\textstyle \bar{S}</math> корабли эскадры начинают торможение. В "неподвижной" системе <math>\textstyle S</math> передний корабль начнёт торможение позже, чем задний, на время <math>\textstyle t=u_0\,x_0</math>:  
+
<math>\textstyle \bullet</math> Запишем теперь более общие преобразования в ситуации, когда неинерциальная система начала ускоряться, уже имея некоторую скорость <math>\textstyle u_0</math>. Для этого введём три системы отсчёта. Первая &mdash; "неподвижная" <math>\textstyle S</math>, наблюдатели которой измеряют <math>\textstyle (x,t)</math>. Вторая &mdash; инерциальная <math>\textstyle \bar{S}</math>, движущаяся равномерно со скоростью <math>\textstyle u_0</math> относительно <math>\textstyle S</math>. Её наблюдатели измеряют <math>\textstyle (\bar{x},\bar{t})</math>. Третья, <math>\textstyle S'</math>, начинает двигаться равноускоренно относительно <math>\textstyle \bar{S}</math> с нулевой начальной скоростью, так, как это было описано выше. Можно записать два последовательных преобразования координат и времени:
  
<center>[[File:bear_paradox.png]]</center>
+
:<center><math>\left\{ \begin{array}{lll} a\bar{x} &=& \mathrm{ch}\,at')\,e^{ax'}-1\\ a\bar{t} &=& \mathrm{sh}\,at')\,e^{ax'}, \end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{lll} x &=& \gamma_0\,(\bar{x}+u_0\,\bar{t})\\ t &=& \gamma_0\,(\bar{t}+u_0\,\bar{x}), \end{array} \right.</math></center>
  
С точки зрения эскадры расстояние между кораблями при торможении остаётся неизменным и образует систему отсчёта <math>\textstyle S'</math>. Начальное расстояние до торможения было <math>\textstyle \bar{x}_0</math>. Как только включились двигатели, оно стало <math>\textstyle x'_0=-\ln(1-a\bar{x}_0)/a</math> (сейчас ускорение направлено против оси <math>\textstyle x</math>). Для неподвижных наблюдателей в <math>\textstyle S</math> начальное расстояние <math>\textstyle \bar{x}_0</math> испытывало лоренцевское сокращение <math>\textstyle x_0=\bar{x}_0\sqrt{1-u^2_0}</math>. Впоследствии, в силу неодновременного с точки зрения <math>\textstyle S</math> начала торможения и различного ускорения (разный темп времени в неинерциальной системе), расстояние между кораблями будет изменяться.
+
где <math>\textstyle \gamma_0=1/\sqrt{1-u^2_0}</math>, и в момент времени <math>\textstyle t=\bar{t}=t'=0</math> начала систем отсчёта <math>\textstyle x=\bar{x}=x'=0</math> совпадали.
  
Чтобы найти траекторию произвольной точки системы <math>\textstyle S'</math>, можно воспользоваться преобразованиями между инерциальным и неинерциальными наблюдателями. Так как происходит торможение, в (), () необходимо заменить <math>\textstyle a\mapsto -a</math>.
+
Исключая <math>\textstyle {\bar{x},\bar{t}}</math>, получаем преобразования между инерциальной системой <math>\textstyle S</math> и движущейся относительно неё неинерциальной <math>\textstyle S'</math>, имеющей скорость точки <math>\textstyle x'=0</math>, равную <math>\textstyle u_0</math> в момент времени <math>\textstyle t=0</math>:
  
Воспользовавшись первым уравнением (), несложно получить выражение для траектории некоторой фиксированной точки <math>\textstyle x'_0</math>:
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle a\,x &\displaystyle =& \displaystyle \gamma_0\,e^{ax'}\,\bigl[\mathrm{ch}\,at')+u_0\,\mathrm{sh}\,at')\bigr] - \gamma_0\\ \displaystyle a\,t &\displaystyle =& \displaystyle \gamma_0\,e^{ax'}\,\bigl[\mathrm{sh}\,at')+u_0\,\mathrm{ch}\,at')\bigr] - u_0\gamma_0. \end{array} \right. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.15)'''</div>
 +
|}
  
:<center><math>x=\frac{\gamma_0}{a}-\frac{e^{-ax'_0}}{a}\sqrt{1+\bigl(u_0\gamma_0\,e^{ax'_0}- a\,e^{ax'_0}\,t\bigr)^2}.</math></center>
+
Обратные преобразования имеют вид:
  
В общем случае равноускоренного движения (с ускорением <math>\textstyle a_0</math>), начавшееся из точки <math>\textstyle x(t_0)</math> в момент времени <math>\textstyle t_0>0</math> [см. (), стр. \pageref{accel_length}], траектория имеет вид:
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle ax'=\frac{1}{2}\,\ln\bigl\{(a\,x+\gamma_0)^2 - (a\,t+u\gamma)^2\} \\[4mm] \displaystyle at'=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+a\,\gamma_0\,(1-u_0)(x+t)}{1+a\,\gamma_0(1+u_0)(x-t)}. \end{array} \right. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.16)'''</div>
 +
|}
  
:<center><math>x = x(t_0)+\frac{\gamma_0}{a_0}-\frac{1}{a_0}\sqrt{1+\bigl(u_0\gamma_0-a_0\cdot(t-t_0)\bigr)^2}.</math></center>
+
Чтобы найти нерелятивистское приближение, в этих соотношениях необходимо восстановить константу <math>\textstyle c</math>, сделав замены <math>\textstyle t\mapsto ct</math>, <math>\textstyle t'\mapsto ct'</math>, <math>\textstyle a\mapsto a/c^2</math>. При разложении в ряд по <math>\textstyle 1/c</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H) получаются преобразования, справедливые в классической механике:
  
В формуле () мы сдвинули начало отсчёта времени <math>\textstyle t\mapsto t-t_0</math> и записали в явном виде величину <math>\textstyle \pi_0=u_0\gamma_0</math>, и <math>\textstyle \sqrt{1+\pi^2_0}=\gamma_0</math>. Сравнивая эти две траектории, несложно видеть, что
+
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x'=x-u_0\,t-\frac{at^2}{2}\\[2mm] \displaystyle t'=t. \end{array} \right.</math></center>
  
:<center><math>a_0=a\,e^{ax'},\;\;\;\;\;\;\;\;t_0=\frac{u_0\gamma_0}{a_0}\,\left(e^{ax'}-1\right)=u_0\,\gamma_0\,\bar{x}_0,\;\;\;\;\;x(t_0)=\gamma_0\,\bar{x}_0,</math></center>
+
Мы видим, что, несмотря на несколько более сложную физику и формулы, неинерциальные системы отсчёта вполне можно описывать в рамках кинематики теории относительности, не прибегая к дифференциальной геометрии и, тем более, к теории гравитации Эйнштейна.
 
 
где подставлено соотношение <math>\textstyle 1-a\,\bar{x}_0=e^{-ax'_0}</math>. Рассматриваемая точка системы <math>\textstyle S'</math> остановится [см. (), стр. \pageref{acsel_u}], когда <math>\textstyle u(t)=0</math>, что произойдёт при <math>\textstyle \pi_0-a_0\cdot(t-t_0)=0</math>, или:
 
 
 
:<center><math>t=t_0+\frac{u_0\gamma_0}{a_0} = u_0\gamma_0\bar{x}_0 + \frac{u_0\gamma_0}{a}\,\bigl(1-a\,\bar{x}_0\bigr)= u_0\gamma_0.</math></center>
 
 
 
Таким образом, ''независимо от положения'' <math>\textstyle \bar{x}_0</math> корабля в системе <math>\textstyle S'</math> он остановится в момент времени <math>\textstyle u_0\gamma_0</math>. Начав неодновременное торможение с точки зрения системы <math>\textstyle S</math>, корабли эскадры будут двигаться с различной скоростью и в результате приземлятся одновременно.
 
 
 
Координата остановившегося корабля при <math>\textstyle a_0\cdot (t-t_0)=u_0\gamma_0</math> будет равна:
 
 
 
:<center><math>x = x(t_0)+\frac{\gamma_0-1}{a_0} = \bar{x}_0 + \frac{\gamma_0-1}{a}.</math></center>
 
 
 
Поэтому расстояние между первым (в <math>\textstyle \bar{x}_0=0</math>) и вторым (в <math>\textstyle \bar{x}_0>0</math>) кораблями в момент остановки будет в точности равно их расстоянию <math>\textstyle \bar{x}_0</math> в системе <math>\textstyle \bar{S}</math> перед началом торможения. Таким образом, в результате лоренцевское сокращение линеек, возникшее после ускорения систем, полностью исчезнет после остановки корабля.
 
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Равноускоренная система отсчета]] <<  
+
  | width="40%"|[[Время и расстояние в равноускоренной системе]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
  | width="40%" align="right"| >> [[Масса]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Закон Кулона]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 08:38, 11 апреля 2011

Время и расстояние в равноускоренной системе << Оглавление >> Закон Кулона

Найдём явный вид преобразований координат и времени некоторого события, наблюдаемого в инерциальной и неинерциальной системах отсчёта. При этом — это результаты наблюдателя в (первый корабль). Пусть событие происходит в удалённой от него точке, например, возле второго корабля, расстояние до которого известно из радиолокационных измерений (4.5).

Niso event.png

Время события связано со временем второго и первого корабля следующим образом:

Мы предполагаем, что, как только произошло событие, на первый корабль посылается световой сигнал. Время события по часам записано с учётом корректировки на время его распространения (4.8): .

Координата события совпадает с координатой второго корабля (4.4):

В результате, преобразования между инерциальной и неинерциальной системами отсчёта можно записать в следующем виде:

(4.12)

Эти преобразования получил Кристиан Мёллер, при помощи рассуждений, существенно отличающихся от тех, которые были использованы выше. Заметим так же, что в исходной версии преобразований Мёллера использовалась другая параметризация координаты:

Фактически это лишь новый способ нумерации точек пространства в данный (для наблюдателя в начале координат) момент времени.



Важно понимать, что преобразования (4.12) имеют немного иной смысл по сравнению с преобразованиями между двумя инерциальными системами. У наблюдателей в инерциальной системе отсчёта существует единое синхронизированное время. Поэтому преобразования Лоренца одинаковы для всех таких наблюдателей. Именно в силу этого, обычно, в каждой инерциальной системе отсчёта представляют по одному наблюдателю, "размазанному" во всему пространству.

В неинерциальной системе каждый наблюдатель обладает своим собственным временем. Синхронизированное время ввести в такой системе отсчёта без "разрушения" относительной неподвижности её точек нельзя. Об удалённых событиях неинерциальный наблюдатель может судить только по распространению от них некоторой информации, проведя корректировку времени при помощи предварительных радиолокационных измерений расстояния. Поэтому

преобразования (4.12) относятся к конкретному неинерциальному наблюдателю и произвольному инерциальному.

Это "привязанность" преобразований к конкретным наблюдателям является очень важной особенностью неинерциальных систем отсчёта.

Имея преобразования (4.12), при помощи прямого обращения, несложно найти обратные преобразования:

(4.13)

То, что прямые и обратные преобразования имеют различную функциональную форму, является отражением неравноправности инерциального и неинерциального наблюдателей.

Запишем так же интервал между событиями в координатах неинерциального наблюдателя. Подставляя (4.12) в , имеем:

(4.14)

Распространение света соответствует нулевому интервалу: (стр.\pageref{bk_h_ds_inv}). Если свет движется вдоль оси , то его траектория в координатах является линейной функцией. Именно это и закладывалось в определение радиолокационного расстояния

Если перейти к координате , то получится интервал Мёллера:

В этих координатах пространственная часть имеет такой же вид, как и в инерциальной системе, а собственное время зависит от положения в неинерциальной системе отсчёта.



Выясним физический смысл сингулярности, возникающей в (4.13), когда аргумент логарифма обращается в ноль. Для наблюдателя в начале системы события, расположенные по ходу движения , соответствуют в системе области . События в обратном направлении видны, только если :

Acsel is.png

Действительно, событие будет видимым, если вспышка света, произошедшая в , "догонит" наблюдателя на первом корабле в момент времени . Это происходит, когда уравнение:

имеет решение относительно времени прихода . Несложно проверить, что при время обращается в бесконечность. При равноускоренном движении наблюдатели могут "убегать" от происходящих событий, так как постоянно увеличивают свою скорость (хотя, конечно, она всё время остаётся меньше единицы). В результате события, находящиеся сзади далее, чем точка , в системе видны не будут.

При помощи преобразований (4.12) несложно записать выражение для траектории точки системы относительно наблюдателя в :

В последнем равенстве вместо подставлено время часов, находящихся в , равное для наблюдателей в . Из этого соотношения следует, что скорость наблюдателя в относительно равна скорости (с обратным знаком) наблюдателя в относительно . Однако в отличие от инерциальных систем отсчёта, функциональная зависимость траекторий движения начал систем отсчёта для инерциального и неинерциального наблюдателя различна.



Запишем теперь более общие преобразования в ситуации, когда неинерциальная система начала ускоряться, уже имея некоторую скорость . Для этого введём три системы отсчёта. Первая — "неподвижная" , наблюдатели которой измеряют . Вторая — инерциальная , движущаяся равномерно со скоростью относительно . Её наблюдатели измеряют . Третья, , начинает двигаться равноускоренно относительно с нулевой начальной скоростью, так, как это было описано выше. Можно записать два последовательных преобразования координат и времени:

где , и в момент времени начала систем отсчёта совпадали.

Исключая , получаем преобразования между инерциальной системой и движущейся относительно неё неинерциальной , имеющей скорость точки , равную в момент времени :

(4.15)

Обратные преобразования имеют вид:

(4.16)

Чтобы найти нерелятивистское приближение, в этих соотношениях необходимо восстановить константу , сделав замены , , . При разложении в ряд по ( H) получаются преобразования, справедливые в классической механике:

Мы видим, что, несмотря на несколько более сложную физику и формулы, неинерциальные системы отсчёта вполне можно описывать в рамках кинематики теории относительности, не прибегая к дифференциальной геометрии и, тем более, к теории гравитации Эйнштейна.


Время и расстояние в равноускоренной системе << Оглавление >> Закон Кулона

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии