Метод последовательных приближений

Материал из synset
Версия от 20:00, 15 марта 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Единственность решений << Оглавление >> Скоррелированные блуждания

При разложении средних величин в ряд по мы упоминали метод последовательных приближений как один из итерационных способов построения решения. Рассмотрим его теперь подробнее, используя стохастическое интегральное уравнение со сносом и волатильностью, не зависящими от времени:

Идея метода состоит в выборе некоторого нулевого приближения случайной функции , удовлетворяющего начальному условию , и получении поправок к нему по следующей схеме:

В правой части стоит известная случайная функция , найденная на предыдущей итерации. В результате интегрирований получается следующее приближение к решению. Заметим, что на каждой итерации текущее приближение удовлетворяет начальному условию . Вообще говоря, требуется доказать, что подобная процедура при бесконечном её применении сходится к точному решению уравнения. Мы не будем этого делать, а рассмотрим пример её использования.

В качестве нулевого приближения выберем начальное условие . Тогда постоянные величины и выносятся за интеграл, и первая итерация имеет вид:

(5.31)

Так как , при мы фактически получили итерационную схему для стохастического дифференциального уравнения:

(5.32)

которая активно использовалась в предыдущих главах. Понятно, что она работает тем лучше, чем меньше прошло времени от начального момента . При численном решении стохастических дифференциальных уравнений выражение (5.32) часто называется схемой Эйлера.

Разложим снос и волатильность в ряд Тейлора в окрестности :

где и . Подставляя их и (5.31) в интегральное уравнение, для второй итерации имеем:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям (см. Справочник , стр. \pageref{ref_lemma_Ito_int}) и известным интегралом по от (5.10):

С их помощью перепишем второе приближение к решению:

Интеграл по времени от винеровской переменной через не выражается. Однако, если винеровский процесс выражен через гауссову переменную , то такой интеграл выражается через две независимые гауссовы переменные , , см. (5.4):

Поэтому для второго приближения к решению можно записать:

(5.33)

Так же, как и схема Эйлера, это соотношение работает тем лучше, чем меньше . Однако этот ряд имеет второй порядок малости по и является более точным. Первую строку в этом решении (точность порядка ) называют схемой Милстейна. Мы воспользуемся ею и более точным выражением (5.33) в девятой главе для ускорения сходимости численного решения стохастических дифференциальных уравнений.



Единственность решений << Оглавление >> Скоррелированные блуждания

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения