При разложении средних величин в ряд по мы упоминали метод последовательных приближений как один из итерационных способов построения решения. Рассмотрим его теперь подробнее, используя стохастическое интегральное уравнение со сносом и волатильностью, не зависящими от времени:
Идея метода состоит в выборе некоторого нулевого приближения случайной функции , удовлетворяющего начальному условию , и получении поправок к нему по следующей схеме:
В правой части стоит известная случайная функция , найденная на предыдущей итерации. В результате интегрирований получается следующее приближение к решению. Заметим, что на каждой итерации текущее приближение удовлетворяет начальному условию . Вообще говоря, требуется доказать, что подобная процедура при бесконечном её применении сходится к точному решению уравнения. Мы не будем этого делать, а рассмотрим пример её использования.
В качестве нулевого приближения выберем начальное условие . Тогда постоянные величины и выносятся за интеграл, и первая итерация имеет вид:
|
(5.31)
|
Так как , при мы фактически получили итерационную схему для стохастического дифференциального уравнения:
|
(5.32)
|
которая активно использовалась в предыдущих главах. Понятно, что она работает тем лучше, чем меньше прошло времени от начального момента . При численном решении стохастических дифференциальных уравнений выражение (5.32) часто называется схемой Эйлера.
Разложим снос и волатильность в ряд Тейлора в окрестности :
где и . Подставляя их и (5.31) в интегральное уравнение, для второй итерации имеем:
Воспользуемся формулой интегрирования по частям (см. Справочник , стр. \pageref{ref_lemma_Ito_int}) и известным интегралом по от (5.10):
С их помощью перепишем второе приближение к решению:
Интеграл по времени от винеровской переменной через не выражается. Однако, если винеровский процесс выражен через гауссову переменную , то такой интеграл выражается через две независимые гауссовы переменные , , см. (5.4):
Поэтому для второго приближения к решению можно записать:
|
(5.33)
|
Так же, как и схема Эйлера, это соотношение работает тем лучше, чем меньше . Однако этот ряд имеет второй порядок малости по и является более точным. Первую строку в этом решении (точность порядка ) называют схемой Милстейна. Мы воспользуемся ею и более точным выражением (5.33) в девятой главе для ускорения сходимости численного решения стохастических дифференциальных уравнений.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения