Метод последовательных приближений — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 6: Строка 6:
 
----
 
----
  
При разложении средних величин в ряд по <math>\textstyle t^n</math> (стр. \pageref{method_priblig}) мы упоминали метод последовательных приближений как один из итерационных способов построения решения. Рассмотрим его теперь подробнее, используя стохастическое интегральное уравнение со сносом и волатильностью, не зависящими от времени:
+
При разложении [[Степенные ряды для средних|средних величин в ряд]] по <math>\textstyle t^n</math> мы упоминали метод последовательных приближений как один из итерационных способов построения решения. Рассмотрим его теперь подробнее, используя стохастическое интегральное уравнение со сносом и волатильностью, не зависящими от времени:
  
 
:<center><math>x(t) = x_0 + \int\limits^t_{0} a\bigl(x(\tau)\bigr)\, d\tau + \int\limits^t_{0} b\bigl(x(\tau)\bigr)\,\delta W_\tau.</math></center>
 
:<center><math>x(t) = x_0 + \int\limits^t_{0} a\bigl(x(\tau)\bigr)\, d\tau + \int\limits^t_{0} b\bigl(x(\tau)\bigr)\,\delta W_\tau.</math></center>
Строка 20: Строка 20:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> x_1(t) = x_0 + a_0 \cdot t + b_0 \cdot W_t. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> x_1(t) = x_0 + a_0 \cdot t + b_0 \cdot W_t. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.31)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 27: Строка 27:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> x_1(t) = x_0 + a_0 \cdot t + b_0 \cdot \varepsilon\, \sqrt{t}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> x_1(t) = x_0 + a_0 \cdot t + b_0 \cdot \varepsilon\, \sqrt{t}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.32)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
которая активно использовалась в предыдущих главах. Понятно, что она работает тем лучше, чем меньше прошло времени <math>\textstyle t</math> от начального момента <math>\textstyle t_0=0</math>. При численном решении стохастических дифференциальных уравнений выражение () часто называется ''схемой Эйлера''.
+
которая активно использовалась в предыдущих главах. Понятно, что она работает тем лучше, чем меньше прошло времени <math>\textstyle t</math> от начального момента <math>\textstyle t_0=0</math>. При численном решении стохастических дифференциальных уравнений выражение (5.32) часто называется ''схемой Эйлера''.
  
 
Разложим снос и волатильность в ряд Тейлора в окрестности <math>\textstyle x_0</math>:
 
Разложим снос и волатильность в ряд Тейлора в окрестности <math>\textstyle x_0</math>:
Строка 36: Строка 36:
 
:<center><math>a(x)=a_0 + a'_0\cdot (x-x_0) +...,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b(x)=b_0 + b'_0\cdot (x-x_0) +...,</math></center>
 
:<center><math>a(x)=a_0 + a'_0\cdot (x-x_0) +...,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b(x)=b_0 + b'_0\cdot (x-x_0) +...,</math></center>
  
где <math>\textstyle a'_0=a'(x_0)</math> и <math>\textstyle b'_0=b'(x_0)</math>. Подставляя их и () в интегральное уравнение, для второй итерации имеем:
+
где <math>\textstyle a'_0=a'(x_0)</math> и <math>\textstyle b'_0=b'(x_0)</math>. Подставляя их и (5.31) в интегральное уравнение, для второй итерации имеем:
  
 
:<center><math>x_2(t) = x_1(t)+ a'_0 a_0 \frac{t^2}{2} + a'_0 b_0\int\limits^t_0 W_\tau\, d\tau + b'_0 a_0\int\limits^t_0 \tau \,\delta W_\tau + b'_0 b_0\int\limits^t_0 W_\tau \delta W_\tau.</math></center>
 
:<center><math>x_2(t) = x_1(t)+ a'_0 a_0 \frac{t^2}{2} + a'_0 b_0\int\limits^t_0 W_\tau\, d\tau + b'_0 a_0\int\limits^t_0 \tau \,\delta W_\tau + b'_0 b_0\int\limits^t_0 W_\tau \delta W_\tau.</math></center>
  
Воспользуемся формулой интегрирования по частям (см. Справочник <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>, стр. \pageref{ref_lemma_Ito_int}) и известным интегралом по <math>\textstyle \delta W</math> от <math>\textstyle W</math> (), стр. \pageref{Ito_Int_for_W2}:
+
Воспользуемся формулой интегрирования по частям (см. Справочник <math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>, стр. \pageref{ref_lemma_Ito_int}) и известным интегралом по <math>\textstyle \delta W</math> от <math>\textstyle W</math> [[Интегралы Ито|(5.10)]]:
  
 
:<center><math>\int\limits^t_0 \tau \,\delta W_\tau =t\,W_t-S_t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int\limits^t_0 W_\tau \,\delta W_\tau = \frac{1}{2}\,\bigl(W^2_t - t\bigr).</math></center>
 
:<center><math>\int\limits^t_0 \tau \,\delta W_\tau =t\,W_t-S_t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int\limits^t_0 W_\tau \,\delta W_\tau = \frac{1}{2}\,\bigl(W^2_t - t\bigr).</math></center>
Строка 48: Строка 48:
 
:<center><math>x_2(t) = x_1(t) + \frac{1}{2}\,b'_0b_0 (W^2_t-t) + b'_0a_0 \,t\,W_t + a'_0 a_0 \,\frac{t^2}{2} + \bigl(a'_0 b_0 -a_0 b'_0\bigr)\,S_t.</math></center>
 
:<center><math>x_2(t) = x_1(t) + \frac{1}{2}\,b'_0b_0 (W^2_t-t) + b'_0a_0 \,t\,W_t + a'_0 a_0 \,\frac{t^2}{2} + \bigl(a'_0 b_0 -a_0 b'_0\bigr)\,S_t.</math></center>
  
Интеграл по времени <math>\textstyle S_t</math> от винеровской переменной через <math>\textstyle W_t</math> не выражается. Однако, если винеровский процесс выражен через гауссову переменную <math>\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}</math>, то такой интеграл выражается через две независимые гауссовы переменные <math>\textstyle \varepsilon</math>, <math>\textstyle \eta\;\sim N(0,1)</math>, см. (), стр. \pageref{int_W_ds}:
+
Интеграл по времени <math>\textstyle S_t</math> от винеровской переменной через <math>\textstyle W_t</math> не выражается. Однако, если винеровский процесс выражен через гауссову переменную <math>\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}</math>, то такой интеграл выражается через две независимые гауссовы переменные <math>\textstyle \varepsilon</math>, <math>\textstyle \eta\;\sim N(0,1)</math>, [[Площадь под траекторией Винера|см. (5.4)]]:
  
 
:<center><math>S_t=\int\limits^t_0 W_s \, ds = \bigl(\sqrt{3}\,\varepsilon+\eta\bigr) \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}}.</math></center>
 
:<center><math>S_t=\int\limits^t_0 W_s \, ds = \bigl(\sqrt{3}\,\varepsilon+\eta\bigr) \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}}.</math></center>
Строка 56: Строка 56:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{lll} x_2(t) &=&\displaystyle x_0 + b_0 \varepsilon\sqrt{t} + a_0 t + \frac{1}{2}\,b'_0b_0 \,(\varepsilon^2-1)\, t\\ &+&\displaystyle b'_0\,a_0 \,\varepsilon t^{3/2} + \bigl(a'_0 b_0 -a_0 b'_0\bigr) \bigl(\sqrt{3}\,\varepsilon+\eta\bigr) \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}} + a'_0 a_0 \,\frac{t^2}{2}. \end{array} </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{lll} x_2(t) &=&\displaystyle x_0 + b_0 \varepsilon\sqrt{t} + a_0 t + \frac{1}{2}\,b'_0b_0 \,(\varepsilon^2-1)\, t\\ &+&\displaystyle b'_0\,a_0 \,\varepsilon t^{3/2} + \bigl(a'_0 b_0 -a_0 b'_0\bigr) \bigl(\sqrt{3}\,\varepsilon+\eta\bigr) \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}} + a'_0 a_0 \,\frac{t^2}{2}. \end{array} </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5.33)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Так же, как и схема Эйлера, это соотношение работает тем лучше, чем меньше <math>\textstyle t</math>. Однако этот ряд имеет второй порядок малости по <math>\textstyle t</math> и является более точным. Первую строку в этом решении (точность порядка <math>\textstyle t</math>) называют ''схемой Милстейна''. Мы воспользуемся ею и более точным выражением () в девятой главе для ускорения сходимости численного решения стохастических дифференциальных уравнений.
+
Так же, как и схема Эйлера, это соотношение работает тем лучше, чем меньше <math>\textstyle t</math>. Однако этот ряд имеет второй порядок малости по <math>\textstyle t</math> и является более точным. Первую строку в этом решении (точность порядка <math>\textstyle t</math>) называют ''схемой Милстейна''. Мы воспользуемся ею и более точным выражением (5.33) в девятой главе для ускорения сходимости численного решения стохастических дифференциальных уравнений.
  
  

Текущая версия на 20:00, 15 марта 2010

Единственность решений << Оглавление >> Скоррелированные блуждания

При разложении средних величин в ряд по мы упоминали метод последовательных приближений как один из итерационных способов построения решения. Рассмотрим его теперь подробнее, используя стохастическое интегральное уравнение со сносом и волатильностью, не зависящими от времени:

Идея метода состоит в выборе некоторого нулевого приближения случайной функции , удовлетворяющего начальному условию , и получении поправок к нему по следующей схеме:

В правой части стоит известная случайная функция , найденная на предыдущей итерации. В результате интегрирований получается следующее приближение к решению. Заметим, что на каждой итерации текущее приближение удовлетворяет начальному условию . Вообще говоря, требуется доказать, что подобная процедура при бесконечном её применении сходится к точному решению уравнения. Мы не будем этого делать, а рассмотрим пример её использования.

В качестве нулевого приближения выберем начальное условие . Тогда постоянные величины и выносятся за интеграл, и первая итерация имеет вид:

(5.31)

Так как , при мы фактически получили итерационную схему для стохастического дифференциального уравнения:

(5.32)

которая активно использовалась в предыдущих главах. Понятно, что она работает тем лучше, чем меньше прошло времени от начального момента . При численном решении стохастических дифференциальных уравнений выражение (5.32) часто называется схемой Эйлера.

Разложим снос и волатильность в ряд Тейлора в окрестности :

где и . Подставляя их и (5.31) в интегральное уравнение, для второй итерации имеем:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям (см. Справочник , стр. \pageref{ref_lemma_Ito_int}) и известным интегралом по от (5.10):

С их помощью перепишем второе приближение к решению:

Интеграл по времени от винеровской переменной через не выражается. Однако, если винеровский процесс выражен через гауссову переменную , то такой интеграл выражается через две независимые гауссовы переменные , , см. (5.4):

Поэтому для второго приближения к решению можно записать:

(5.33)

Так же, как и схема Эйлера, это соотношение работает тем лучше, чем меньше . Однако этот ряд имеет второй порядок малости по и является более точным. Первую строку в этом решении (точность порядка ) называют схемой Милстейна. Мы воспользуемся ею и более точным выражением (5.33) в девятой главе для ускорения сходимости численного решения стохастических дифференциальных уравнений.



Единственность решений << Оглавление >> Скоррелированные блуждания

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения