Мартингалы

Случайные процессы <<	Оглавление	>> Уравнения Ито

---

Бесплатного сыра, как известно, не бывает. Этот эвристический принцип оказывается мощным и конструктивным в теории финансов.

Если цена при блуждании в среднем не изменяется, $\textstyle \left\langle x\right\rangle =x_{0}$, то такую модель называют мартингалом. Для неё лучшим прогнозом будущей цены будет текущее значение $\textstyle x_{0}$. Это очень общая математическая концепция. Например, в дискретной аддитивной модели $\textstyle x=x_{0}+\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{n}$ для её мартингальности не требуется независимость и стационарность случайных изменений $\textstyle \varepsilon _{i}$ цены. Два последовательных изменения могут быть скоррелированы, и $\textstyle P(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})\neq P(\varepsilon _{1})\cdot ...\cdot P(\varepsilon _{n})$. Единственное, что требуется, — это неизменность цены в среднем при любом $\textstyle n$:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{n})\cdot P(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})\;d\varepsilon _{1}...d\varepsilon _{n}=0.$

Таким образом, среднее значение накопленного изменения цены оказывается равным нулю и $\textstyle \left\langle x\right\rangle =x_{0}$. Для мартингального процесса не имеет значения, когда начинается и заканчивается накопление изменения. На любом интервале времени оно должно быть нулевым. Чтобы проиллюстрировать этот важный момент, рассмотрим двухшаговое дискретное блуждание по дереву:

Из начальной цены $\textstyle x_{0}=5$ возможны равновероятные переходы к ценам 6 и 4 и т.д. по дереву. На рисунках представлены два различных процесса. В обоих случаях на втором этапе вероятности состояний равны $\textstyle \{1/4,1/2,1/4\}$ и среднее значение цены равно начальному:

$0.25\cdot 7+0.5\cdot 5+0.25\cdot 3=5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.25\cdot 8+0.5\cdot 5+0.25\cdot 2=5.$

Однако для правого процесса это свойство нарушается в промежуточных состояниях. Рассмотрим нижний узел первого ветвления с ценой 4. Если мы находимся в нём, то среднее значение будущей цены отлично от четырех: $\textstyle 0.5\cdot 5+0.5\cdot 2=3.5\neq 4.$ Поэтому второй процесс не является мартингалом и позволяет заработать, начиная с состояний 4 или 6.

$\textstyle \bullet$ При обсуждении стохастических процессов в литературе часто используют достаточно формальные обозначения. Следуя Колмогорову, который построил аксиоматику теории вероятностей, говорят о вероятностном пространстве. Оно определяется тройкой $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$, где $\textstyle \Omega$ — пространство элементарных событий, $\textstyle {\mathcal {F}}$ — сигма-алгебра событий и $\mathbf {P}$ — распределение вероятностей. Разберёмся с каждым из этих понятий.

Пространство элементарных событий $\textstyle \Omega$ представляет собой множество простейших, не делимых далее событий, которые не могут произойти одновременно (попарно несовместные). Например, при броске игральной кости это пространство состоит из шести возможных событий, соответствующих выпадению тех или иных очков: $\textstyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$.

Алгебра событий $\textstyle {\mathcal {F}}$ — это множество всех возможных составных событий, включая элементарные. Для броска кости примерами таких событий могут быть $\textstyle A=$"число делится на 3"=Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle (3\;или\;6)} и $\textstyle B=$"число больше 4"=Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle (5\;или\;6)} . Над событиями возможны операции объединения $\textstyle A+B$, пересечения $\textstyle A\cdot B$ и отрицания $\textstyle {\bar {A}}$ (стр. \pageref{prob_theor_intersect_union_not}). В результате получаются новые события. Множество $\textstyle {\mathcal {F}}$ является замкнутым, т.е. эти три операции всегда приводят к событиям, находящимся в $\textstyle {\mathcal {F}}$. Множества и операции, обладающие таким свойством, называют $\textstyle \sigma$-алгеброй.

Распределение вероятностей $\mathbf {P}$ — это функция $\textstyle p:A\mapsto \mathbf {P} ({A}):A\in {\mathcal {F}}$, которая ставит в соответствие каждому событию $\textstyle A$ из $\textstyle {\mathcal {F}}$ вещественное число $\textstyle 0\leqslant p\leqslant 1$. Другими словами, это вероятности всех возможных событий. Указание вероятностей $\textstyle \mathbf {P} ({\mathcal {F}})$, а не $\textstyle \mathbf {P} (\Omega )$, существенно для задач, в которых событий из $\textstyle \Omega$ бесконечно много и они несчётны. Вероятность каждого из них может быть равна нулю. Так, равна нулю вероятность конкретного значения $\textstyle x$ непрерывной случайной величины. В то же время составное событие из $\textstyle {\mathcal {F}}$ может иметь отличную от нуля вероятность (например, вероятность попадания в некоторый конечный интервал).

Случайной величиной $\textstyle x$ называется объект, возможные реализации которого попадают в те или иные элементы алгебры событий $\textstyle {\mathcal {F}}$. Если $\textstyle x$ — вещественная величина, то в $\textstyle {\mathcal {F}}$ находятся все возможные отрезки вещественной оси, в которых может находиться $\textstyle x$. Соответственно, $\textstyle \mathbf {P}$ определяет вероятности попаданий $\textstyle x$ в такие отрезки.

Случайный процесс $\textstyle x(t)$ — это дискретное $\textstyle x_{t}=x_{1},x_{2},...$ или непрерывное $\textstyle x(t)$ упорядоченное множество случайных величин, которые могут быть, например, ценами финансового инструмента в различные моменты времени. Случайный процесс можно также рассматривать, как многомерную случайную величину: $\textstyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3},...)$.

$\textstyle \bullet$ Конкретная история значений случайного процесса $\textstyle x(t)$ является элементом множества алгебры событий $\textstyle {\mathcal {F}}$ случайного процесса. Если рассматриваются цены до момента времени $\textstyle t$ включительно, то такую историю обычно обозначают в виде $\textstyle {\mathcal {F}}_{t}$. Для дискретного случайного процесса $\textstyle {\mathcal {F}}_{t}$ имеет вид:

${\mathcal {F}}_{t}=...,x_{t-2},x_{t-1},x_{t}.$

В общем случае это бесконечная последовательность, идущая из прошлого.

Если известна некоторая история, то для данного процесса существует определённая вероятность появления следующего значения. Эта вероятность является условной, так как описывает наступление события при условии реализации данной истории.

Среднее значение случайного процесса в момент времени $\textstyle t_{i}$ при условии реализации той или иной истории $\textstyle {\mathcal {F}}_{j}=...,x_{j-1},x_{j}$ часто обозначают следующим образом:

$\mathbf {E} (x_{i}|{\mathcal {F}}_{j})\;=\;\left\langle x_{i}\right\rangle _{j}\;=\;\int \;x\cdot P(...;\;x_{j-1},t_{j-1};\;x_{j},t_{j}\Rightarrow x_{i},t_{i})\;dx_{i}.$

Мартингалом называют такой случайный процесс, для которого

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathbf{E}(x_i|{\mathcal F}_j) = x_j,\;\;\;\;для\;''любых''\;\;\;\;j\leqslant i. }

(1.3)

Другими словами, среднее значение цены в момент времени $\textstyle t_{i}$ равно последнему известному историческому значению в момент $\textstyle t_{j}$.

Для марковских процессов, которые мы обсуждаем в этих лекциях, вероятность $\textstyle x(t)$ зависит только от его значения в прошлом $\textstyle x(t_{0})$ и не зависит от всей предыдущей истории. Марковский процесс будет мартингальным, если для любых моментов времени $\textstyle t_{0}<t$ выполняется соотношение:

$\mathbf {E} (x(t)|x(t_{0}))\equiv \left\langle x(t)\right\rangle _{x(t_{0})}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\cdot P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)\;dx\;=\;x(t_{0})\;=\;x_{0},$

где индекс у знака среднего обозначает усреднение с условной вероятностью $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$. Моменты времени могут быть номерами на дискретной сетке или вещественными числами в модели непрерывного времени. Чаще всего мы считаем цены финансовых инструментов положительными величинами. В таких случаях плотность вероятности $\textstyle P=0$ при $\textstyle x<0$, и, следовательно, интегрирование реально будет происходить от нуля до плюс бесконечности.

$\textstyle \bullet$ Если средняя цена случайного процесса со временем не уменьшается, то он называется субмартингалом, а если не увеличивается — супермартингалом. В обозначениях условного среднего субмартингал определяется следующим образом:

$\mathbf {E} (x_{i}|{\mathcal {F}}_{j})\geqslant x_{j}.$

Аналогично для супермартингала:

$\mathbf {E} (x_{i}|{\mathcal {F}}_{j})\leqslant x_{j}.$

Каждый мартингал является и субмартингалом, и супермартингалом. Понятно, что если процесс одновременно обладает обоими свойствами, то он является мартингалом.

Рассмотрим простой пример. Пусть подбрасывается монета, и при выпадении "орла" один игрок платит другому доллар, а при выпадении "решки" — наоборот. Тогда накопленная сумма у каждого игрока является стохастическим процессом, так как она случайно изменяется со временем. Если монета симметрична и вероятность выпадения каждой из сторон $\textstyle p=1/2$, то капитал каждого игрока является мартингалом. При смещённом центре тяжести $\textstyle p\neq 1/2$ для проигрывающего в среднем игрока это будет супермартингал, а для выигрывающего — субмартингал.

$\textstyle \bullet$ Мартингальные процессы оказываются удобной и очень общей моделью эффективного рынка, на котором нельзя гарантированно или в среднем получать прибыль. Если бы $\textstyle \left\langle x\right\rangle$ в будущем было отлично от $\textstyle x_{0}$, то при $\textstyle \left\langle x\right\rangle >x_{0}$ такой финансовый инструмент имело бы смысл покупать, а при $\textstyle \left\langle x\right\rangle <x_{0}$ — продавать, получая в среднем доход $\textstyle |\left\langle x\right\rangle -x_{0}|$. На самом деле, цены на многих рынках в долгосрочной перспективе растут. Например, рост экономики сопровождается ростом фондовых рынков. Однако, в силу их существенной волатильности, на относительно краткосрочных интервалах времени мартингальная модель вполне адекватна. Она обычно лежит в основе вычисления справедливых цен опционов и других производных ценных бумаг.

В заключение отметим, что, при всей своей математической изящности, непрерывные стохастические процессы являются лишь моделью, причём достаточно ограниченной. На самом деле рынки имеют разрывную динамику, так как существуют периоды времени, когда они закрыты и торговля не ведётся. Достаточно искусственным является также допущение о непрерывности торговли в ультракоротких периодах времени. Тем не менее, аппарат непрерывных стохастических процессов достаточно эффективно используется в вычислительных финансах и является обязательным инструментом любого финансового аналитика.

---

Случайные процессы <<	Оглавление	>> Уравнения Ито

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения