Марковские плотности вероятности

Материал из synset
Версия от 18:14, 15 марта 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Квазидетерминированное приближение << Оглавление >> Уравнение для плотности вероятности


Вернёмся к винеровскому процессу с нулевым сносом и единичной волатильностью. Так как случайная функция зависит от гауссовой переменной :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle x=x_0+\varepsilon\cdot \sqrt{t-t_0}\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon=(x-x_0)/\sqrt{t-t_0},}

то, воспользовавшись распределением Гаусса (см. стр. \pageref{prob_P_from_f}), можно записать условную плотность вероятности в виде:

(4.1)

Чем меньше разница , тем более высоким и узким будет колокол гауссианы, стремясь в пределе к дельта-функции Дирака:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \delta (x-x_0)\;\;\;\;\;при\;\;\; t\to t_0. }
(4.2)

Она равна бесконечности при и нулю в других точках, так, что интеграл по в окрестности равен единице (см. Приложение М, стр. \pageref{math_delta_dirac_int}). Функции Дирака равна любая условная плотность вероятности при . Действительно, в бесконечно близкий к момент времени отлична от нуля только вероятность в окрестности начального значения .

К дельта-функции Дирака при стремится также условная плотность вероятности Коши:

(4.3)

Интеграл от этой функции по равен единице, среднее значение — . Однако моменты второго и более высоких порядков равны бесконечности. Соответственно равна бесконечности волатильность. В результате становятся вероятными очень большие выбросы случайных чисел. Подобные процессы называются процессами со скачками. У колокола распределения существует типичная ширина, пропорциональная . По мере удаления от начального момента времени происходит "расплывание" распределения вероятностей и очень быстрый уход процесса от начального значения . Поэтому в теории диффузных процессов мы не рассматриваем распределение Коши, хотя, как мы увидим чуть ниже, оно является марковским.

Плотность вероятности марковских процессов должна удовлетворять определённым уравнениям. Рассмотрим три последовательных момента времени , в которых принимает значения , и . Совместная плотность вероятности для и равна:

(4.4)

где для краткости опущены времена . В (4.4) мы суммируем все возможные реализации "промежуточного" значения . В результате из трехточечной совместной плотности вероятности получается двуточечная. Подставим в левую часть определение условной вероятности, а в правую, с учётом марковости процесса, трёхточечную плотность вероятности (см. (1.42):

Восстанавливая времена, получаем:

(4.5)

Это интегральное уравнение Чепмена-Колмогорова. В качестве упражнения ( H) имеет смысл проверить, что этому уравнению удовлетворяет гауссова плотность вероятности (4.1). Второе упражнение ( H) состоит в записи уравнения Чепмена-Колмогорова для характеристических функций, если , и проверке марковости распределения Коши (4.3).

Уравнению Чепмена-Колмогорова должны удовлетворять любые вероятности марковских процессов. Правда в таком виде оно слишком общее, и нам нужны его более конкретные представления. В уравнении (4.5) времена и могут быть удалены друг от друга как угодно далеко. Однако особый интерес представляет ситуация бесконечно близких времён. В результате глобальные свойства определяются из решений локальных дифференциальных уравнений. Так как условная плотность вероятности имеет две пары аргументов, то возможны, по крайней мере, два уравнения относительно и . Из (4.5) в следующем разделе мы получим уравнение относительно , которое называется первым уравнением Колмогорова. Аналогично выводится уравнение Фоккера-Планка, или второе уравнение Колмогорова относительно . Мы найдём его при помощи стохастического дифференциального уравнения. Этот вывод покажет непосредственную связь двух математических аппаратов.


Квазидетерминированное приближение << Оглавление >> Уравнение для плотности вероятности

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения