Магнитостатика — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника)
Строка 119: Строка 119:
  
 
В частности, два линейных параллельных проводника на единицу длины притягиваются с силой <math>\textstyle F = 2I_1I_2/R</math>, где <math>\textstyle R</math> &mdash; расстояние между проводниками и токи направлены в одну сторону. Если же токи противоположны, то проводники отталкиваются.
 
В частности, два линейных параллельных проводника на единицу длины притягиваются с силой <math>\textstyle F = 2I_1I_2/R</math>, где <math>\textstyle R</math> &mdash; расстояние между проводниками и токи направлены в одну сторону. Если же токи противоположны, то проводники отталкиваются.
 +
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Применим полученные выше формулы для нахождения магнитного поля, создаваемого постоянным током <math>\textstyle I</math>, текущим по круговому контуру радиуса <math>\textstyle a</math>. Пусть окружность контура лежит в плоскости <math>\textstyle x,y</math> с центром в начале координат. Найдём поле на оси <math>\textstyle z</math>. Проведём вектор <math>\textstyle \mathbf{a}=\{a c_\phi,\;a s_\phi, 0\}</math> от начала координат к некоторой точки окружности. Как и раньше, <math>\textstyle c_\phi=\cos\phi</math>, и т.д.
 +
 +
<center>[[File:mag_ring.png]]</center>
 +
 +
Радиус-вектор, соединяющий точку на контуре и точку наблюдения, по правилу сложения векторов равен:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{r}=\{0,0,z\} - \mathbf{a}=\{-a c_\phi,\;-a s_\phi,\; z\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}^2=a^2+z^2.</math></center>
 +
 +
Смещение вдоль контура равно <math>\textstyle d\mathbf{a}=\{-a s_\phi d\phi,\;a c_\phi d\phi,0\}</math> (выше мы обозначали его, как <math>\textstyle d\mathbf{r}</math>). Поэтому:
 +
 +
:<center><math>d\mathbf{a}\times\mathbf{r}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -a s_\phi & a c_\phi & 0\\ -a c_\phi & -a s_\phi & \;\;z\;\; \end{vmatrix}\,d\phi =\{az c_\phi,\;-az s_\phi,\;a^2\}\,d\phi.</math></center>
 +
 +
Магнитное поле в соответствии с () равно:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{B} = I\int\limits_L\frac{d\mathbf{a}\times\mathbf{r}}{r^3} = I\int\limits^{2\pi}_0 \frac{\{az c_\phi,\;-az s_\phi,\;a^2\}}{(a^2+z^2)^{3/2}}\,d\phi = \{0,0,1\}\,\frac{ 2\pi a^2 I }{(a^2+z^2)^{3/2}},</math></center>
 +
 +
где учтено, что интегралы по периоду косинуса и синуса равны нулю. Таким образом, магнитное поле на оси <math>\textstyle z</math> направлено вдоль этой оси и убывает с ростом <math>\textstyle z</math>, как <math>\textstyle 1/z^3</math>.
 +
 +
Для вычисления поля в произвольной точке необходимо проделать аналогичные выкладки. В этом случае возникает т.н. эллиптический интеграл. Если же контур с током имеет некруговую форму (<math>\textstyle a=a(\phi)</math>), интеграл, скорее всего, не сведётся к известным функциям, но будет одномерным (по углу <math>\textstyle \phi</math>), поэтому легко вычисляется численно.
 +
 +
Выше на правом рисунке приведены магнитные силовые линии, возникающие вокруг кольцевого тока. Рисунок выполнен в сечении (для фиксированного полярного угла <math>\textstyle \phi</math>). Магнитные линии замкнуты (как и в случае движущегося точечного заряда или бесконечного проводника). Исключением является магнитное поле на оси <math>\textstyle z</math>, силовая линия которого приходит из бесконечности и в бесконечность уходит.
 +
 +
Из "поставленных стопкой" круговых колец с током можно составить соленоид. На практике он организуется при помощи единого проводника, скрученного в спираль. Если шаг спирали много меньше её радиуса, то такая спираль эквивалентна "стопке" колец (ниже первый рисунок). Внутри соленоида магнитное поле "плотное" и его силовые линии почти параллельны. Вне соленоида напряжённость поля очень небольшая. В пределе бесконечного соленоида (бесконечная стопка) магнитное поле снаружи оказывается равным нулю, а внутри постоянно и однородно.
 +
 +
<center>[[File:mag_ring2.png]]</center>
 +
 +
Это можно доказать при помощи простых рассуждений. Из соображений симметрии магнитные силовые линии должны быть параллельны. ''Пусть'' вне соленоида магнитное поле убывает при удалении от его оси. В силу интегральной версии уравнения <math>\textstyle \nabla\times\mathbf{B}=4\pi\mathbf{j}</math> интеграл <math>\textstyle \mathbf{B}d\mathbf{r}</math> по замкнутому контуру равен току, проходящему через натянутую на него поверхность. Если тока нет, интеграл равен нулю. Если контур имеет форму прямоугольника, интеграл по его горизонтальным сторонам равен нулю (<math>\textstyle \mathbf{B}</math> перпендикулярно <math>\textstyle d\mathbf{r}</math>), а по вертикальным: <math>\textstyle (B_1-B_2)L</math>, где <math>\textstyle L</math> &mdash; длина стороны прямоугольника, а <math>\textstyle B_1</math> и <math>\textstyle B_2</math> &mdash; значения поля на его сторонах. Для контура внутри соленоида <math>\textstyle B_1=B_2</math> независимо от его положения. Поэтому <math>\textstyle \mathbf{B}=const</math>. Аналогично снаружи, однако, если поле убывает, то из <math>\textstyle B_1=B_2</math> следует <math>\textstyle \mathbf{B}=0</math>. Если контур охватывает ток (выше третий рисунок), то <math>\textstyle BL=4\pi I</math>, поэтому однородное поле внутри соленоида равно <math>\textstyle B=4\pi I/L</math>, где <math>\textstyle I/L</math> &mdash; ток на единицу высоты "стопки".
 +
 +
В качестве упражнения предлагается проверить, что векторный потенциал внутри бесконечного соленоида равен <math>\textstyle \mathbf{A}=(B/2)\,[\mathbf{k}\times \mathbf{r}]</math>, где <math>\textstyle \mathbf{k}</math> &mdash; единичный вектор вдоль оси. Вне соленоида потенциал отличен от нуля (в отличие от магнитного поля!) и имеет вид <math>\textstyle \mathbf{A}=(Ba^2/2) [\mathbf{k}\times \mathbf{r}]/R</math>, где <math>\textstyle R=(\mathbf{r^2}-(\mathbf{k}\mathbf{r}))^{1/2}</math> &mdash; расстояние от оси до точки наблюдения.
 +
 +
В заключение заметим, что магнитные силовые линии могут иметь бесконечную длину, но находиться в ограниченном пространстве. Так, если к магнитному полю кольца добавляется магнитное поле бесконечного тока вдоль оси <math>\textstyle z</math>, то их сумма, в общем случае, даёт незамкнутую силовую линию, плотно "навивающуюся" на торообразную поверхность, полностью её заполняя (выше последний рисунок) \cite{Tamm_1989}.
 +
  
 
----
 
----

Текущая версия на 18:52, 2 июля 2013

Уравнения Максвелла << Оглавление (Глава 5) >> Дипольный и магнитный моменты


Рассмотрим такую конфигурацию токов, при которой напряжённости поля не зависят от времени. В этом случае уравнения Максвелла для магнитного поля имеют вид:

(EQN)

В случаях, обладающих явной симметрией, магнитное поле можно найти при помощи интегральных теорем. Рассмотрим, например, бесконечный проводник, по которому течёт постоянный ток. С направлением тока связано выделенное направление, поэтому возможны три разновидности силовых линий с цилиндрической симметрией.

B current.png

Однако уравнениям магнитостатики удовлетворяет только третья картинка. Действительно, запишем интегральную форму уравнений ():

где — ток, текущий через поверхность, которая имеет своей границей контур . Выберем для первого интеграла в качестве поверхности цилиндр с осью, проходящей через проводник. Вектор площади перпендикулярен поверхности, и, как несложно видеть, конфигурация поля на первой картинке приводит к ненулевому потоку (через боковую поверхность цилиндра). В качестве контура для второго интеграла возьмём окружность радиуса , симметрично окружающую проводник. Вектор касателен контуру, поэтому вторая конфигурация приводит к нулевой циркуляции. Отличную от нуля циркуляцию имеет только третий случай:

где — расстояние от проводника. Обратим внимание, что напряжённость магнитного поля убывает, как . Такая же зависимость от расстояния к проводнику справедлива и для электрического поля бесконечной заряженной нити (стр.\pageref{E_charge_line}). Хотя в этом случае вектор напряжённости направлен так, как это изображено выше на первом рисунке.

Убедимся, что такой же результат получается, если просуммировать магнитные поля от множества точечных зарядов, создающих ток. Текущий через проводник ток — это количество заряда , проходящее через сечение провода в единицу времени . Если мы возьмём маленький участок провода , то его сечение за время пересечёт заряд, движущийся со скоростью :

Магнитное поле от такого заряда, в соответствии с (), стр.\pageref{E_B_main} равно:

Введём угол между направлением скорости и радиус-вектором .

B current2.png

Если — расстояние от точки наблюдения к проводнику (см. рисунок), то

Векторное произведение направлено по окружности к проводнику и по модулю равно , поэтому:

где учтено, что , и сделана замена . Дифференцируя, можно проверить, что первообразная интеграла — это . Поэтому определённый интеграл равен 2, и мы приходим к полученному из соображений симметрии выражению .

Понятно, что если заряды всё время приходят из бесконечности и туда же уходят, то такое магнитное поле будет стационарным. Эта ситуация отличается от магнитного поля одиночного заряда. Последнее зависит от времени и по мере удаления заряда от точки наблюдения уменьшается.

Первое уравнение магнитостатики можно тождественно выполнить, если ввести векторный потенциал, ротор которого даёт магнитное поле:

Так как векторное произведение вектора самого на себя равно нулю, по правилу "выталкивания" имеем: . По этой же причине прибавление к векторному потенциалу градиента произвольной скалярной функции не изменяет магнитного поля:

Выбором того или иного вида функции можно добиться выполнения определённого условия на векторный потенциал, которое называется калибровочным условием. Например, можно потребовать, чтобы выполнялась кулоновская калибровка:

Действительно, пусть не удовлетворяет этому условию и в правой части стоит не ноль, а некоторая функция . Перейдём к другому потенциалу . Если выбрать функцию как решение уравнения Лапласа , то новый векторный потенциал будет удовлетворять кулоновской калибровке. В этой калибровке второе уравнение магнитостатики приобретает вид уравнения Лапласа. По формуле "бац минус цаб" имеем

Первое слагаемое равно нулю, поэтому:

Это уравнение для каждой компоненты имеет вид уравнения (), стр. \pageref{laplas_phi}, поэтому для ограниченных токов можно записать его решение:

(EQN)

Взяв ротор от этого выражения, получаем магнитное поле:

(EQN)

где учтено, что , и при взятии ротора под интегралом векторы в векторном произведении переставлены местами: .

В 1819 г. Ганс Христиан Эрстед обнаружил, что ток, текущий по проводнику, создаёт магнитное поле, которое влияет, например, на стрелку компаса. В 1920 г. Био и Савар, а затем в более точных опытах Андре Мари Ампер изучили магнитное взаимодействие стационарных токов.

B current3.png

Для тонкого проводника плотность тока сосредоточена вдоль проводника. Поэтому объёмный интеграл () превращается в контурный: , где вектор направлен вдоль направления тока (см. выше первый рисунок). Если направлен от в точку наблюдения, то результирующее магнитное поле () получается при интегрировании выражения:

(EQN)

Сила, действующая на второй проводник, определяется силой Лоренца, которая в непрерывном случае имеет вид:

(EQN)

где суммарная сила Лоренца получается для системы точечных зарядов . Переходя для проводника от объёмного интеграла к контурному, запишем элемент силы:

Сила со стороны второго проводника на первый (см. рисунок) равна:

где и во втором равенстве применена формула "бац минус цаб". Первое слагаемое во втором равенстве является полным дифференциалом по : . Поэтому при интегрировании по замкнутому контуру или проводнику, приходящему и уходящему в бесконечности, это слагаемое будет равно нулю. В результате:

В частности, два линейных параллельных проводника на единицу длины притягиваются с силой , где — расстояние между проводниками и токи направлены в одну сторону. Если же токи противоположны, то проводники отталкиваются.


Применим полученные выше формулы для нахождения магнитного поля, создаваемого постоянным током , текущим по круговому контуру радиуса . Пусть окружность контура лежит в плоскости с центром в начале координат. Найдём поле на оси . Проведём вектор от начала координат к некоторой точки окружности. Как и раньше, , и т.д.

Mag ring.png

Радиус-вектор, соединяющий точку на контуре и точку наблюдения, по правилу сложения векторов равен:

Смещение вдоль контура равно (выше мы обозначали его, как ). Поэтому:

Магнитное поле в соответствии с () равно:

где учтено, что интегралы по периоду косинуса и синуса равны нулю. Таким образом, магнитное поле на оси направлено вдоль этой оси и убывает с ростом , как .

Для вычисления поля в произвольной точке необходимо проделать аналогичные выкладки. В этом случае возникает т.н. эллиптический интеграл. Если же контур с током имеет некруговую форму (), интеграл, скорее всего, не сведётся к известным функциям, но будет одномерным (по углу ), поэтому легко вычисляется численно.

Выше на правом рисунке приведены магнитные силовые линии, возникающие вокруг кольцевого тока. Рисунок выполнен в сечении (для фиксированного полярного угла ). Магнитные линии замкнуты (как и в случае движущегося точечного заряда или бесконечного проводника). Исключением является магнитное поле на оси , силовая линия которого приходит из бесконечности и в бесконечность уходит.

Из "поставленных стопкой" круговых колец с током можно составить соленоид. На практике он организуется при помощи единого проводника, скрученного в спираль. Если шаг спирали много меньше её радиуса, то такая спираль эквивалентна "стопке" колец (ниже первый рисунок). Внутри соленоида магнитное поле "плотное" и его силовые линии почти параллельны. Вне соленоида напряжённость поля очень небольшая. В пределе бесконечного соленоида (бесконечная стопка) магнитное поле снаружи оказывается равным нулю, а внутри постоянно и однородно.

Mag ring2.png

Это можно доказать при помощи простых рассуждений. Из соображений симметрии магнитные силовые линии должны быть параллельны. Пусть вне соленоида магнитное поле убывает при удалении от его оси. В силу интегральной версии уравнения интеграл по замкнутому контуру равен току, проходящему через натянутую на него поверхность. Если тока нет, интеграл равен нулю. Если контур имеет форму прямоугольника, интеграл по его горизонтальным сторонам равен нулю ( перпендикулярно ), а по вертикальным: , где — длина стороны прямоугольника, а и — значения поля на его сторонах. Для контура внутри соленоида независимо от его положения. Поэтому . Аналогично снаружи, однако, если поле убывает, то из следует . Если контур охватывает ток (выше третий рисунок), то , поэтому однородное поле внутри соленоида равно , где — ток на единицу высоты "стопки".

В качестве упражнения предлагается проверить, что векторный потенциал внутри бесконечного соленоида равен , где — единичный вектор вдоль оси. Вне соленоида потенциал отличен от нуля (в отличие от магнитного поля!) и имеет вид , где — расстояние от оси до точки наблюдения.

В заключение заметим, что магнитные силовые линии могут иметь бесконечную длину, но находиться в ограниченном пространстве. Так, если к магнитному полю кольца добавляется магнитное поле бесконечного тока вдоль оси , то их сумма, в общем случае, даёт незамкнутую силовую линию, плотно "навивающуюся" на торообразную поверхность, полностью её заполняя (выше последний рисунок) \cite{Tamm_1989}.



Уравнения Максвелла << Оглавление (Глава 5) >> Дипольный и магнитный моменты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии