Логистическое уравнение

Процесс Феллера <<	Оглавление	>> Степенные ряды для средних

---

$\textstyle \bullet$ Динамика роста в условиях ограниченности ресурсов описывается при помощи логистического уравнения (стр. \pageref{df_eq_logistic}). Рассмотрим его стохастический аналог с начальным условием $\textstyle x_{0}=x(0)$:

$dx=(\alpha x-\beta x^{2})\,dt+\sigma \,x\,\delta W.$

Прежде чем приступить к анализу задачи, стоит уменьшить число параметров, проведя скейлинговые замены: $\textstyle t\to t/\alpha$, $\textstyle x\to x\alpha /\beta$. В этих переменных уравнение принимает вид:

$dx=x\cdot (1-x)\,dt+{\sqrt {2\gamma }}\cdot x\,\delta W,$

где $\textstyle \gamma =\sigma ^{2}/2\alpha$. При масштабировании времени мы воспользовались тем, что $\textstyle \delta W=\varepsilon {\sqrt {dt}}$. Таким образом, с точностью до размерных преобразований свойства решения определяются единственным параметром $\textstyle \gamma$. Найдя решение уравнения, мы всегда можем сделать обратное преобразование:

$t\to \alpha t,\;\;\;\;\;\;x\to {\frac {\beta }{\alpha }}\,x,\;\;\;\;\;\;\;\;x_{0}\to {\frac {\beta }{\alpha }}\,x_{0}.$

В детерминированном случае ($\textstyle \gamma =0$) задача имеет простое решение:

${\frac {dx}{dt}}=a(x)=x\cdot (1-x)\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;x(t)={\frac {1}{1-(1-1/x_{0})\cdot e^{-t}}},$

В пределе $\textstyle t\to \infty$, при любом начальном условии $\textstyle x_{0}$, решение стремится к равновесному значению $\textstyle x=1$. Если в этой точке оно находится с самого начала $\textstyle x_{0}=1$, то решение там и остаётся и не зависит от времени.

Качественно это поведение легко понять. Уравнение $\textstyle a(x_{\infty })=0$ имеет две особые точки $\textstyle x_{\infty }=0$ и $\textstyle x_{\infty }=1$. Если разложить $\textstyle a(x)$ в окрестности особой точки в ряд по отклонениям от неё, то уравнение примет вид:

${\frac {dx}{dt}}=a(x)\approx a'(x_{\infty })\,(x-x_{\infty })+..$

Если $\textstyle a'(x_{\infty })>0$, то это точка неустойчивого равновесия. Действительно, при $\textstyle x>x_{\infty }$ производная $\textstyle dx/dt$ будет положительна, и $\textstyle x$ начнёт увеличиваться, удаляясь от $\textstyle x_{\infty }$. Устойчивое равновесие возможно только, если $\textstyle a'(x_{\infty })<0$. Поэтому для логистического уравнения единственной устойчивой точкой является $\textstyle x_{\infty }=1$. Именно к ней, в пределе больших времён, и стремится решение.

$\textstyle \bullet$ В стохастическом случае решение найти не так просто. Для анализа асимптотических свойств при $\textstyle t\to \infty$ воспользуемся динамическим уравнением для средних (3.3), с $\textstyle F=\ln x$ и $\textstyle F=x$:

${\begin{array}{l}{\dot {\left\langle \ln x\right\rangle }}=1-\left\langle x\right\rangle -\gamma \\{\dot {\left\langle x\right\rangle }}=\left\langle x\right\rangle -\left\langle x^{2}\right\rangle .\\\end{array}}$

Положив производные по времени равными нулю, получаем:

$\left\langle x\right\rangle =1-\gamma ,\;\;\;\;\;\left\langle x^{2}\right\rangle =\left\langle x\right\rangle ,\;\;\;\;\;\sigma _{x}^{2}=\gamma \,\left(1-\gamma \right).$

(3.13)

Как мы видим, стохастичный шум уменьшает численность популяции, которая в детерминированном случае стремится к $\textstyle 1$. Обратим внимание на то, что положительная дисперсия возможна только при $\textstyle \gamma <1$. Стационарное уравнение Фоккера-Планка приводит к гамма-распределению:

$P(x)={\frac {1}{\gamma \Gamma (\mu )}}\,\left({\frac {x}{\gamma }}\right)^{\mu -1}\,e^{-x/\gamma },$

где $\textstyle \mu =(1-\gamma )/\gamma$. В окрестности максимума $\textstyle x_{max}=(\mu -1)/\gamma$ гамма - распределение можно приближённо описать гауссианой. Если $\textstyle \mu$ велико, то максимум сдвигается вправо, и его относительная ширина уменьшается. Асимметрия $\textstyle asym=2/{\sqrt {\mu }}$ и эксцесс $\textstyle excess=6/\mu$ распределения стремятся к нулю при $\textstyle \mu \to \infty$. Плотность $\textstyle P(x)$ несимметрична (см. стр. \pageref{gamma_density}), поэтому характеристикой значений случайной величины может служить как $\textstyle \left\langle x\right\rangle$, так и $\textstyle x_{max}$.

$\textstyle \bullet$ Выберем теперь в динамическом уравнении $\textstyle F=1/x$:

${\dot {\left\langle x^{-1}\right\rangle }}=(2\gamma -1)\left\langle x^{-1}\right\rangle +1,$

(3.14)

откуда:

$\left\langle x^{-1}\right\rangle =\left[{\frac {1}{x_{0}}}+{\frac {1}{2\gamma -1}}\right]\cdot e^{(2\gamma -1)\,t}\;-\;{\frac {1}{2\gamma -1}}.$

(3.15)

Обратная функция нелинейна ($\textstyle {\overline {1/x}}\neq 1/{\overline {x}}$), и это решение не даёт нам возможности найти $\textstyle {\overline {x}}(t)$. Заметим, что $\textstyle y(t)=1/x(t)$, в силу леммы Ито, удовлетворяет линейному уравнению:

$dy={\bigl [}1+(2\gamma -1)y{\bigr ]}\,dt-{\sqrt {2\gamma }}\,y\,\delta W.$

Несмотря на особенность в знаменателе (3.15), при $\textstyle \gamma =1/2$ решение не обращается в бесконечность. В этом легко убедиться, разложив экспоненту в ряд при малых $\textstyle 2\gamma -1$. В результате предел решения при $\textstyle \gamma \to 1/2$ имеет вид: $\textstyle \left\langle x^{-1}\right\rangle =x_{0}^{-1}+t.$ Этот результат можно получить сразу из исходного уравнения (3.14), положив $\textstyle \gamma =1/2$.

$\textstyle \bullet$ Поведение решения можно исследовать численными методами. Для этого, при помощи итерационной процедуры (стр. \pageref{process_ito_iter}), генерится большое количество выборочных траекторий. По ним находят среднее $\textstyle \left\langle x\right\rangle$, волатильности $\textstyle \sigma _{x}(t)$ или плотность вероятности $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$. Детали реализации подобных вычислений на языке $\textstyle C$++ мы рассмотрим в девятой главе, а сейчас приведём графики поведения среднего и волатильности процесса.

В качестве начального условия выберем $\textstyle x_{0}=1$. Слева на рисунках представлены средние значения при различных параметрах $\textstyle \gamma$ (числа возле линий), а справа — волатильности:

Если $\textstyle \gamma <1$, то среднее значение стремится к не нулевому уровню $\textstyle \left\langle x\right\rangle =1-\gamma$. При $\textstyle \gamma \geqslant 1$ и среднее, и волатильность стремятся к нулю. Это означает, что при большом стохастическом шуме решение вырождается в константу $\textstyle x=0$. Этот результат качественно отличается от детерминированной задачи, где решение всегда стремилось к $\textstyle x=1$. Причина подобного поведения состоит в следующем. Снос уравнения имеет точку устойчивого равновесия $\textstyle x=1$. Она не даёт процессу при блуждании уходить далеко вверх. В результате происходят колебания вокруг равновесного уровня, в процессе которых, рано или поздно, процесс оказывается в значении $\textstyle x=0$. В этот момент снос и волатильность в уравнении обращаются в ноль, и, несмотря на наличие стохастического члена, дальнейшее изменение $\textstyle x$ прекращается, так как $\textstyle dx=0$.

Значение $\textstyle x=0$ является точкой неустойчивого равновесия, и малейшее внешнее возмущение может решение с неё столкнуть, в том числе и в область $\textstyle x<0$. Поэтому, вообще говоря, логистическое уравнение необходимо дополнить граничным условием в $\textstyle x=0$.

Если в качестве начального условия выбрать асимптотическое значение $\textstyle x_{0}=1-\gamma$, то при небольших $\textstyle \gamma$ среднее сначала несколько увеличится, а затем начинает асимптотически приближаться к $\textstyle \left\langle x\right\rangle =1-\gamma$.

$\textstyle \bullet$ Логистическое уравнение имеет устойчивую точку $\textstyle x_{\infty }=1$, при которой решение детерминированного уравнения $\textstyle dx=x(1-x)\,dt$ перестаёт изменяться. Для любого стохастического уравнения с небольшой волатильностью также можно изучить поведение решения в окрестности подобной особой точки. Так, в уравнении

$dx=a(x)\,dt+b(x)\,\delta W$

разложим $\textstyle a(x)$ в ряд в окрестности $\textstyle x_{\infty }$, где $\textstyle a(x_{\infty })=0$, а для $\textstyle b(x)$ возьмём "нулевое" приближение:

$dx=a'(x_{\infty })\cdot (x-x_{\infty })\,dt+b(x_{\infty })\,\delta W,$

где штрих — производная по $\textstyle x$.

Если $\textstyle a'(x_{\infty })<0$, то это ни что иное, как уравнение Орнштейна-Уленбека, имеющее при больших $\textstyle t$ следующее решение:

$x(t)\to x_{\infty }+{\frac {b(x_{\infty })}{\sqrt {-2a'(x_{\infty })}}}\cdot \varepsilon ,$

(3.16)

являющееся стационарным гауссовым процессом с средним $\textstyle x_{\infty }$ и волатильностью $\textstyle b_{\infty }/{\sqrt {-2a'_{\infty }}}$.

Для логистического уравнения

$x_{\infty }=1,\;\;\;\;\;\;\;a'(x_{\infty })=-1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b(x_{\infty })={\sqrt {2\gamma }},$

поэтому приближённое решение в пределе больших времён $\textstyle t\to \infty$ в соответствии с формулой (3.16) можно записать в следующем виде:

$x(t)\to 1\;+\;{\sqrt {\gamma }}\cdot \varepsilon ,$

(3.17)

где $\textstyle \varepsilon$ — гауссово случайное число. Асимптотическое значение среднего равно $\textstyle 1$, а дисперсия — $\textstyle \gamma$. Сравнивая эти значения с точными (3.13), мы видим, что (3.17) — лишь первое приближение по $\textstyle \gamma$.

К тому же, на самом деле, стационарная плотность вероятности для логистического блуждания - это гамма-распределение. Оно стремится к гауссовому только, когда параметр стохастического шума $\textstyle \gamma$ мал.

Таким образом, использовать решение Орнштейна - Уленбека для нелинейных уравнений, имеющих детерминированное стационарное решение, можно только в предположении малости стохастического воздействия. Тем не менее, подобный способ изучения поведения решения очень полезен, особенно в многомерном случае.

---

Процесс Феллера <<	Оглавление	>> Степенные ряды для средних

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения