Лемма Ито — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
$\bullet$ Пусть процесс $x(t)$ подчиняется уравнению Ито.
+
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть процесс <math>\textstyle x(t)</math> подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию <math>\textstyle F(x,t)</math>. Если вместо <math>\textstyle x</math> в неё подставить <math>\textstyle x(t)</math>, то <math>\textstyle F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)</math> станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:
Рассмотрим обычную гладкую функцию $F(x,t)$. Если вместо $x$ в неё подставить
 
$x(t)$, то $F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)станет случайным процессом.
 
Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:
 
\begin{equation}\label{Ito_for_F}
 
    dF = A(x,t)~dt + B(x,t)~\delta W
 
\end{equation}
 
с $x=G(F,t)$, где $G$ -- обратная к $F$ функция.
 
Для этого необходимо найти функции сноса $A$ и волатильности $B$, а также {\it убедиться}, что  моменты
 
более высоких порядков равны нулю.
 
  
Разложим в ряд Тейлора
+
:<center><math> dF = A(x,t)\;dt + B(x,t)\;\delta W </math></center>
$F(x,t)=F(x_0+\Delta x,t_0+\Delta t)$
 
в окрестности начального {\it фиксированного} значения $x_0$ по небольшим  $\Delta x$ и $\Delta t$:
 
$$
 
  F(x,t) = F(x_0,t_0) + \frac{\partial F}{\partial x_0}~ \Delta x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2}~ (\Delta x)^2 +...+\frac{\partial F}{\partial t_0}~ \Delta t + ...,
 
$$
 
где все производные справа вычислены в точке $x_0, t_0$. Для  ряда оставлен член второго
 
порядка малости по $\Delta x$.
 
При помощи (\ref{x_minus_x0}) мы можем записать $(\Delta x)^2$ в следующем виде:
 
$$
 
  (\Delta x)^2 = \bigl( a_0~\Delta t + b_0~ \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2
 
= b_0^2 ~\varepsilon^2  ~\Delta t +...,
 
$$
 
где оставлено ведущее приближение по $\Delta t$.
 
Таким образом, если в начальный момент времени $t_0$ функция равна {\it детерминированному} числу $F_0=F(x_0, t_0)$,
 
то через малый промежуток времени, в зависимости от значения $\varepsilon$,
 
это будет случайная величина вида ($\lessdot$ C$_{\ref{c_small_varepsilon}}$): \label{bk_c_small_varepsilon}
 
\begin{equation}\label{process_ito_lemma_F_F0}
 
  F=F_0 + \frac{\partial F}{\partial x_0} \cdot (a_0 \Delta t + b_0 ~\varepsilon \sqrt{\Delta t})
 
  + \frac{b^2_0}{2}~\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} ~\varepsilon^2 ~\Delta t + \frac{\partial F}{\partial t_0} ~\Delta t+...
 
\end{equation}
 
По {\it определению} (\ref{def_a_b}) коэффициент сноса в пределе $\Delta t\to 0$ равен:
 
$$
 
    A(x_0,t_0) ~=~ \frac{\left<F-F_0\right>}{\Delta t}
 
~=~  a_0  \cdot \frac{\partial F}{\partial x_0}
 
  + \frac{b^2_0}{2}\cdot \frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} + \frac{\partial F}{\partial t_0},
 
$$
 
где подставлено разложение (\ref{process_ito_lemma_F_F0}) для $F$ и учтено, что $\left<\varepsilon\right>=0$,  $\left<\varepsilon^2\right>=1$.
 
Аналогично, для коэффициента диффузии:
 
$$
 
    B^2(x_0,t_0) ~=~ \frac{\left<(F-F_0)^2\right>}{\Delta t}
 
~=~  b^2_0  \cdot \left(\frac{\partial F}{\partial x_0}\right)^2.
 
$$
 
Для моментов более высоких порядков в пределе $\Delta t\to 0$ получается ноль.
 
Таким образом, это {\it действительно} диффузный процесс.
 
  
\vskip 1000mm
+
с <math>\textstyle x=G(F,t)</math>, где <math>\textstyle G</math> &mdash; обратная к <math>\textstyle F</math> функция. Для этого необходимо найти функции сноса <math>\textstyle A</math> и волатильности <math>\textstyle B</math>, а также ''убедиться'', что моменты более высоких порядков равны нулю.
  
Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса
+
Разложим в ряд Тейлора <math>\textstyle F(x,t)=F(x_0+\Delta x,t_0+\Delta t)</math> в окрестности начального ''фиксированного'' значения <math>\textstyle x_0</math> по небольшим <math>\textstyle \Delta x</math> и <math>\textstyle \Delta t</math>:
необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка.
 
При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при $\Delta t\to 0$ стремятся к нулю.
 
Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (\ref{Ito_for_F}).
 
Поэтому необходима полная проверка ''диффузности'', проведенная выше.
 
  
Считая уравнение (\ref{process_ito_lemma_F_F0}) первым вычислением в бесконечной итерационной
+
:<center><math>F(x,t) = F(x_0,t_0) + \frac{\partial F}{\partial x_0}\; \Delta x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2}\; (\Delta x)^2 +...+\frac{\partial F}{\partial t_0}\; \Delta t + ...,</math></center>
схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу $\S$\ref{safe_stop}.
 
Сумма слагаемых вида $\varepsilon^2 \Delta t$ приводит к такому же детерминированному
 
результату, как и в отсутствие $\varepsilon^2$. Поэтому можно положить $\varepsilon^2\to 1$.
 
  
Так как начальный момент был выбран произвольным образом,
+
где все производные справа вычислены в точке <math>\textstyle x_0, t_0</math>. Для ряда оставлен член второго порядка малости по <math>\textstyle \Delta x</math>. При помощи () мы можем записать <math>\textstyle (\Delta x)^2</math> в следующем виде:
запишем дифференциал функции $F(x,t)$ в форме Ито при помощи бесконечно малой
 
винеровской переменной $\delta W=\varepsilon\sqrt{dt}$:
 
\begin{equation}\label{process_ito_lemma}
 
\boxed{
 
    ~dF ~= \phantom{\frac{\Bigr|}{\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t}
 
      +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}
 
      + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}
 
      \right)dt
 
      + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}~\delta W~
 
}.
 
\end{equation}
 
Это соотношение называется ''{\it леммой Ито}''.
 
Оно играет очень важную
 
роль в теории случайных процессов\index{лемма Ито}
 
($\lessdot$ C$_{\ref{c_what_is_dF}}$). \label{bk_c_what_is_dF}
 
  
\vskip 2mm
+
:<center><math>(\Delta x)^2 = \bigl( a_0\;\Delta t + b_0\; \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2 = b_0^2 \;\varepsilon^2 \;\Delta t +...,</math></center>
  
Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции $F(x,t)$,
+
где оставлено ведущее приближение по <math>\textstyle \Delta t</math>. Таким образом, если в начальный момент времени <math>\textstyle t_0</math> функция равна ''детерминированному'' числу <math>\textstyle F_0=F(x_0, t_0)</math>, то через малый промежуток времени, в зависимости от значения <math>\textstyle \varepsilon</math>, это будет случайная величина вида (<math>\textstyle \lessdot</math> C):
в которую подставили решение $x=x(t)$ уравнения $dx=a(x,t)dt$, имеет вид:
 
\begin{equation}\label{simple_dF_dt}
 
  dF ~=~ \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial x}\, dx
 
~=~ \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\right)\, dt.
 
\end{equation}
 
В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают
 
функция диффузии $b^2(x,t)$ и вторая производная по $x$. Происходит это, как мы видели,
 
благодаря корню $\sqrt{dt}$. Это, в свою очередь, связано со свойствами
 
простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.
 
  
 +
:<center><math> F=F_0 + \frac{\partial F}{\partial x_0} \cdot (a_0 \Delta t + b_0 \;\varepsilon \sqrt{\Delta t}) + \frac{b^2_0}{2}\;\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} \;\varepsilon^2 \;\Delta t + \frac{\partial F}{\partial t_0} \;\Delta t+... </math></center>
  
Для винеровского уравнения $dx=\mu\, dt+\sigma\delta W$ с постоянным сносом $\mu$ и волатильностью $\sigma$
+
По ''определению'' () коэффициент сноса в пределе <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> равен:
дифференциал {\it квадрата} траектории $y=x^2$, в соответствии с (\ref{process_ito_lemma}),
+
 
удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:
+
:<center><math>A(x_0,t_0) \;=\; \frac{\left\langle F-F_0\right\rangle }{\Delta t} \;=\; a_0 \cdot \frac{\partial F}{\partial x_0} + \frac{b^2_0}{2}\cdot \frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} + \frac{\partial F}{\partial t_0},</math></center>
$$
+
 
  d(x^2) = (2\mu x + \sigma^2)\,dt + 2\sigma\,x\,\delta W15:56, 27 января 2010 (UTC)~=>15:56, 27 января 2010 (UTC)~~dy = (2\mu \sqrt{y}+\sigma^2)\,dt + 2\sigma\sqrt{y}\,\delta W.
+
где подставлено разложение () для <math>\textstyle F</math> и учтено, что <math>\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0</math>, <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1</math>. Аналогично, для коэффициента диффузии:
$$
+
 
Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить
+
:<center><math>B^2(x_0,t_0) \;=\; \frac{\left\langle (F-F_0)^2\right\rangle }{\Delta t} \;=\; b^2_0 \cdot \left(\frac{\partial F}{\partial x_0}\right)^2.</math></center>
одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.
+
 
 +
Для моментов более высоких порядков в пределе <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> получается ноль. Таким образом, это ''действительно'' диффузный процесс.
 +
 
 +
Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (). Поэтому необходима полная проверка "диффузности", проведенная выше.
 +
 
 +
Считая уравнение () первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу <math>\textstyle \S</math>. Сумма слагаемых вида <math>\textstyle \varepsilon^2 \Delta t</math> приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие <math>\textstyle \varepsilon^2</math>. Поэтому можно положить <math>\textstyle \varepsilon^2\to 1</math>.
 +
 
 +
Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math> в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math>:
 +
 
 +
:<center><math> { \;dF \;= {\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t} +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W\; }. </math></center>
 +
 
 +
Это соотношение называется "''леммой Ито''". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов (<math>\textstyle \lessdot</math> C).
 +
 
 +
Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math>, в которую подставили решение <math>\textstyle x=x(t)</math> уравнения <math>\textstyle dx=a(x,t)dt</math>, имеет вид:
 +
 
 +
:<center><math> dF \;=\; \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial x}\, dx \;=\; \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\right)\, dt. </math></center>
 +
 
 +
В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии <math>\textstyle b^2(x,t)</math> и вторая производная по <math>\textstyle x</math>. Происходит это, как мы видели, благодаря корню <math>\textstyle \sqrt{dt}</math>. Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.
 +
 
 +
Для винеровского уравнения <math>\textstyle dx=\mu\, dt+\sigma\delta W</math> с постоянным сносом <math>\textstyle \mu</math> и волатильностью <math>\textstyle \sigma</math> дифференциал ''квадрата'' траектории <math>\textstyle y=x^2</math>, в соответствии с (), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:
 +
 
 +
:<center><math>d(x^2) = (2\mu x + \sigma^2)\,dt + 2\sigma\,x\,\delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;dy = (2\mu \sqrt{y}+\sigma^2)\,dt + 2\sigma\sqrt{y}\,\delta W.</math></center>
 +
 
 +
Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.
  
 
----
 
----

Версия 15:57, 27 января 2010

Почему Ито << Оглавление >> Точные решения уравнения Ито

Пусть процесс подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию . Если вместо в неё подставить , то станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:

с , где — обратная к функция. Для этого необходимо найти функции сноса и волатильности , а также убедиться, что моменты более высоких порядков равны нулю.

Разложим в ряд Тейлора в окрестности начального фиксированного значения по небольшим и :

где все производные справа вычислены в точке . Для ряда оставлен член второго порядка малости по . При помощи () мы можем записать в следующем виде:

где оставлено ведущее приближение по . Таким образом, если в начальный момент времени функция равна детерминированному числу , то через малый промежуток времени, в зависимости от значения , это будет случайная величина вида ( C):

По определению () коэффициент сноса в пределе равен:

где подставлено разложение () для и учтено, что , . Аналогично, для коэффициента диффузии:

Для моментов более высоких порядков в пределе получается ноль. Таким образом, это действительно диффузный процесс.

Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (). Поэтому необходима полная проверка "диффузности", проведенная выше.

Считая уравнение () первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу . Сумма слагаемых вида приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие . Поэтому можно положить .

Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle { \;dF \;= {\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t} +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W\; }. }

Это соотношение называется "леммой Ито". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов ( C).

Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции , в которую подставили решение уравнения , имеет вид:

В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии и вторая производная по . Происходит это, как мы видели, благодаря корню . Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.

Для винеровского уравнения с постоянным сносом и волатильностью дифференциал квадрата траектории , в соответствии с (), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:

Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.


Почему Ито << Оглавление >> Точные решения уравнения Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения