Лемма Ито — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Уравнения Ито]] <<  
+
  | width="40%"|[[Почему Ито]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Точные решения уравнения Ито]]
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Точные решения уравнения Ито]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
$\bullet$ Пусть процесс $x(t)$ подчиняется уравнению Ито.
 +
Рассмотрим обычную гладкую функцию $F(x,t)$. Если вместо $x$ в неё подставить
 +
$x(t)$, то $F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)$  станет случайным процессом.
 +
Покажем, что он также подчиняется диффузному  уравнению Ито:
 +
\begin{equation}\label{Ito_for_F}
 +
    dF = A(x,t)~dt + B(x,t)~\delta W
 +
\end{equation}
 +
с $x=G(F,t)$, где $G$ -- обратная к $F$ функция.
 +
Для этого необходимо найти функции сноса $A$ и волатильности $B$, а также {\it убедиться}, что  моменты
 +
более высоких порядков равны нулю.
 +
 +
Разложим в ряд Тейлора
 +
$F(x,t)=F(x_0+\Delta x,t_0+\Delta t)$
 +
в окрестности начального {\it фиксированного} значения $x_0$ по небольшим  $\Delta x$ и $\Delta t$:
 +
$$
 +
  F(x,t) = F(x_0,t_0) + \frac{\partial F}{\partial x_0}~ \Delta x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2}~ (\Delta x)^2 +...+\frac{\partial F}{\partial t_0}~ \Delta t + ...,
 +
$$
 +
где все производные справа вычислены в точке $x_0, t_0$. Для  ряда оставлен член второго
 +
порядка малости по $\Delta x$.
 +
При помощи (\ref{x_minus_x0}) мы можем записать $(\Delta x)^2$ в следующем виде:
 +
$$
 +
  (\Delta x)^2 = \bigl( a_0~\Delta t + b_0~ \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2
 +
= b_0^2 ~\varepsilon^2  ~\Delta t +...,
 +
$$
 +
где оставлено ведущее приближение по $\Delta t$.
 +
Таким образом, если в начальный момент времени $t_0$ функция равна {\it детерминированному} числу $F_0=F(x_0, t_0)$,
 +
то через малый промежуток времени, в зависимости от значения $\varepsilon$,
 +
это будет случайная величина вида ($\lessdot$ C$_{\ref{c_small_varepsilon}}$): \label{bk_c_small_varepsilon}
 +
\begin{equation}\label{process_ito_lemma_F_F0}
 +
  F=F_0 + \frac{\partial F}{\partial x_0} \cdot (a_0 \Delta t + b_0 ~\varepsilon \sqrt{\Delta t})
 +
  + \frac{b^2_0}{2}~\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} ~\varepsilon^2 ~\Delta t + \frac{\partial F}{\partial t_0} ~\Delta t+...
 +
\end{equation}
 +
По {\it определению} (\ref{def_a_b}) коэффициент сноса в пределе $\Delta t\to 0$ равен:
 +
$$
 +
    A(x_0,t_0) ~=~ \frac{\left<F-F_0\right>}{\Delta t}
 +
~=~  a_0  \cdot \frac{\partial F}{\partial x_0}
 +
  + \frac{b^2_0}{2}\cdot \frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} + \frac{\partial F}{\partial t_0},
 +
$$
 +
где подставлено разложение (\ref{process_ito_lemma_F_F0}) для $F$ и учтено, что $\left<\varepsilon\right>=0$,  $\left<\varepsilon^2\right>=1$.
 +
Аналогично, для коэффициента диффузии:
 +
$$
 +
    B^2(x_0,t_0) ~=~ \frac{\left<(F-F_0)^2\right>}{\Delta t}
 +
~=~  b^2_0  \cdot \left(\frac{\partial F}{\partial x_0}\right)^2.
 +
$$
 +
Для моментов более высоких порядков в пределе $\Delta t\to 0$ получается ноль.
 +
Таким образом, это {\it действительно} диффузный процесс.
 +
 +
\vskip 1000mm
 +
 +
Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса
 +
необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка.
 +
При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при $\Delta t\to 0$ стремятся к нулю.
 +
Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (\ref{Ito_for_F}).
 +
Поэтому необходима полная проверка ''диффузности'', проведенная выше.
 +
 +
Считая уравнение (\ref{process_ito_lemma_F_F0}) первым вычислением в бесконечной итерационной
 +
схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу $\S$\ref{safe_stop}.
 +
Сумма слагаемых вида $\varepsilon^2 \Delta t$ приводит к такому же детерминированному
 +
результату, как и в отсутствие $\varepsilon^2$. Поэтому можно положить $\varepsilon^2\to 1$.
 +
 +
Так как начальный момент был выбран произвольным образом,
 +
запишем дифференциал функции $F(x,t)$ в форме Ито при помощи бесконечно малой
 +
винеровской переменной $\delta W=\varepsilon\sqrt{dt}$:
 +
\begin{equation}\label{process_ito_lemma}
 +
\boxed{
 +
    ~dF ~= \phantom{\frac{\Bigr|}{\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t}
 +
      +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}
 +
      + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}
 +
      \right)dt
 +
      + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}~\delta W~
 +
}.
 +
\end{equation}
 +
Это соотношение называется ''{\it леммой Ито}''.
 +
Оно играет очень важную
 +
роль в теории случайных процессов\index{лемма Ито}
 +
($\lessdot$ C$_{\ref{c_what_is_dF}}$). \label{bk_c_what_is_dF}
 +
 +
\vskip 2mm
 +
 +
Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции $F(x,t)$,
 +
в которую подставили решение $x=x(t)$ уравнения $dx=a(x,t)dt$, имеет вид:
 +
\begin{equation}\label{simple_dF_dt}
 +
  dF ~=~ \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial x}\, dx
 +
~=~ \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\right)\, dt.
 +
\end{equation}
 +
В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают
 +
функция диффузии $b^2(x,t)$ и вторая производная по $x$. Происходит это, как мы видели,
 +
благодаря корню $\sqrt{dt}$. Это, в свою очередь, связано со свойствами
 +
простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.
 +
 +
 +
Для винеровского уравнения $dx=\mu\, dt+\sigma\delta W$ с постоянным сносом $\mu$ и волатильностью $\sigma$
 +
дифференциал {\it квадрата} траектории $y=x^2$, в соответствии с (\ref{process_ito_lemma}),
 +
удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:
 +
$$
 +
  d(x^2) = (2\mu x + \sigma^2)\,dt + 2\sigma\,x\,\delta W15:56, 27 января 2010 (UTC)~=>15:56, 27 января 2010 (UTC)~~dy = (2\mu \sqrt{y}+\sigma^2)\,dt +  2\sigma\sqrt{y}\,\delta W.
 +
$$
 +
Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить
 +
одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Уравнения Ито]] <<  
+
  | width="40%"|[[Почему Ито]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Точные решения уравнения Ито]]
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Точные решения уравнения Ито]]

Версия 15:56, 27 января 2010

Почему Ито << Оглавление >> Точные решения уравнения Ито

$\bullet$ Пусть процесс $x(t)$ подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию $F(x,t)$. Если вместо $x$ в неё подставить $x(t)$, то $F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)$ станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито: \begin{equation}\label{Ito_for_F}

   dF = A(x,t)~dt + B(x,t)~\delta W

\end{equation} с $x=G(F,t)$, где $G$ -- обратная к $F$ функция. Для этого необходимо найти функции сноса $A$ и волатильности $B$, а также {\it убедиться}, что моменты более высоких порядков равны нулю.

Разложим в ряд Тейлора $F(x,t)=F(x_0+\Delta x,t_0+\Delta t)$ в окрестности начального {\it фиксированного} значения $x_0$ по небольшим $\Delta x$ и $\Delta t$: $$

  F(x,t) = F(x_0,t_0) + \frac{\partial F}{\partial x_0}~ \Delta x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2}~ (\Delta x)^2 +...+\frac{\partial F}{\partial t_0}~ \Delta t + ...,

$$ где все производные справа вычислены в точке $x_0, t_0$. Для ряда оставлен член второго порядка малости по $\Delta x$. При помощи (\ref{x_minus_x0}) мы можем записать $(\Delta x)^2$ в следующем виде: $$

  (\Delta x)^2 = \bigl( a_0~\Delta t + b_0~ \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2

= b_0^2 ~\varepsilon^2 ~\Delta t +..., $$ где оставлено ведущее приближение по $\Delta t$. Таким образом, если в начальный момент времени $t_0$ функция равна {\it детерминированному} числу $F_0=F(x_0, t_0)$, то через малый промежуток времени, в зависимости от значения $\varepsilon$, это будет случайная величина вида ($\lessdot$ C$_{\ref{c_small_varepsilon}}$): \label{bk_c_small_varepsilon} \begin{equation}\label{process_ito_lemma_F_F0}

  F=F_0 + \frac{\partial F}{\partial x_0} \cdot (a_0 \Delta t + b_0 ~\varepsilon \sqrt{\Delta t})
  + \frac{b^2_0}{2}~\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} ~\varepsilon^2 ~\Delta t + \frac{\partial F}{\partial t_0} ~\Delta t+...

\end{equation} По {\it определению} (\ref{def_a_b}) коэффициент сноса в пределе $\Delta t\to 0$ равен: $$

   A(x_0,t_0) ~=~ \frac{\left<F-F_0\right>}{\Delta t}

~=~ a_0 \cdot \frac{\partial F}{\partial x_0}

  + \frac{b^2_0}{2}\cdot \frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} + \frac{\partial F}{\partial t_0},

$$ где подставлено разложение (\ref{process_ito_lemma_F_F0}) для $F$ и учтено, что $\left<\varepsilon\right>=0$, $\left<\varepsilon^2\right>=1$. Аналогично, для коэффициента диффузии: $$

   B^2(x_0,t_0) ~=~ \frac{\left<(F-F_0)^2\right>}{\Delta t}

~=~ b^2_0 \cdot \left(\frac{\partial F}{\partial x_0}\right)^2. $$ Для моментов более высоких порядков в пределе $\Delta t\to 0$ получается ноль. Таким образом, это {\it действительно} диффузный процесс.

\vskip 1000mm

Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при $\Delta t\to 0$ стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (\ref{Ito_for_F}). Поэтому необходима полная проверка диффузности, проведенная выше.

Считая уравнение (\ref{process_ito_lemma_F_F0}) первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу $\S$\ref{safe_stop}. Сумма слагаемых вида $\varepsilon^2 \Delta t$ приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие $\varepsilon^2$. Поэтому можно положить $\varepsilon^2\to 1$.

Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции $F(x,t)$ в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной $\delta W=\varepsilon\sqrt{dt}$: \begin{equation}\label{process_ito_lemma} \boxed{

   ~dF ~= \phantom{\frac{\Bigr|}{\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t}
      +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}
      + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}
      \right)dt
      + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}~\delta W~

}. \end{equation} Это соотношение называется {\it леммой Ито}. Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов\index{лемма Ито} ($\lessdot$ C$_{\ref{c_what_is_dF}}$). \label{bk_c_what_is_dF}

\vskip 2mm

Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции $F(x,t)$, в которую подставили решение $x=x(t)$ уравнения $dx=a(x,t)dt$, имеет вид: \begin{equation}\label{simple_dF_dt}

  dF ~=~ \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial x}\, dx

~=~ \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\right)\, dt. \end{equation} В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии $b^2(x,t)$ и вторая производная по $x$. Происходит это, как мы видели, благодаря корню $\sqrt{dt}$. Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.


Для винеровского уравнения $dx=\mu\, dt+\sigma\delta W$ с постоянным сносом $\mu$ и волатильностью $\sigma$ дифференциал {\it квадрата} траектории $y=x^2$, в соответствии с (\ref{process_ito_lemma}), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито: $$

 d(x^2) = (2\mu x + \sigma^2)\,dt + 2\sigma\,x\,\delta W15:56, 27 января 2010 (UTC)~=>15:56, 27 января 2010 (UTC)~~dy = (2\mu \sqrt{y}+\sigma^2)\,dt +  2\sigma\sqrt{y}\,\delta W.

$$ Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.


Почему Ито << Оглавление >> Точные решения уравнения Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения