Лемма Ито — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) м (Защищена страница «Лемма Ито» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
|} | |} | ||
---- | ---- | ||
+ | |||
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть процесс <math>\textstyle x(t)</math> подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию <math>\textstyle F(x,t)</math>. Если вместо <math>\textstyle x</math> в неё подставить <math>\textstyle x(t)</math>, то <math>\textstyle F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)</math> станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито: | <math>\textstyle \bullet</math> Пусть процесс <math>\textstyle x(t)</math> подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию <math>\textstyle F(x,t)</math>. Если вместо <math>\textstyle x</math> в неё подставить <math>\textstyle x(t)</math>, то <math>\textstyle F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)</math> станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито: | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> dF = A(x,t)\;dt + B(x,t)\;\delta W </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
с <math>\textstyle x=G(F,t)</math>, где <math>\textstyle G</math> — обратная к <math>\textstyle F</math> функция. Для этого необходимо найти функции сноса <math>\textstyle A</math> и волатильности <math>\textstyle B</math>, а также ''убедиться'', что моменты более высоких порядков равны нулю. | с <math>\textstyle x=G(F,t)</math>, где <math>\textstyle G</math> — обратная к <math>\textstyle F</math> функция. Для этого необходимо найти функции сноса <math>\textstyle A</math> и волатильности <math>\textstyle B</math>, а также ''убедиться'', что моменты более высоких порядков равны нулю. | ||
Строка 19: | Строка 23: | ||
:<center><math>(\Delta x)^2 = \bigl( a_0\;\Delta t + b_0\; \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2 = b_0^2 \;\varepsilon^2 \;\Delta t +...,</math></center> | :<center><math>(\Delta x)^2 = \bigl( a_0\;\Delta t + b_0\; \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2 = b_0^2 \;\varepsilon^2 \;\Delta t +...,</math></center> | ||
− | где оставлено ведущее приближение по <math>\textstyle \Delta t</math>. Таким образом, если в начальный момент времени <math>\textstyle t_0</math> функция равна ''детерминированному'' числу <math>\textstyle F_0=F(x_0, t_0)</math>, то через малый промежуток времени, в зависимости от значения <math>\textstyle \varepsilon</math>, это будет случайная величина вида: | + | где оставлено ведущее приближение по <math>\textstyle \Delta t</math>. Таким образом, если в начальный момент времени <math>\textstyle t_0</math> функция равна ''детерминированному'' числу <math>\textstyle F_0=F(x_0, t_0)</math>, то через малый промежуток времени, в зависимости от значения <math>\textstyle \varepsilon</math>, это будет случайная величина вида (<math>\textstyle \lessdot</math> C): |
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> F=F_0 + \frac{\partial F}{\partial x_0} \cdot (a_0 \Delta t + b_0 \;\varepsilon \sqrt{\Delta t}) + \frac{b^2_0}{2}\;\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} \;\varepsilon^2 \;\Delta t + \frac{\partial F}{\partial t_0} \;\Delta t+... </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
По ''определению'' () коэффициент сноса в пределе <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> равен: | По ''определению'' () коэффициент сноса в пределе <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> равен: | ||
Строка 39: | Строка 46: | ||
Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math> в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math>: | Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math> в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math>: | ||
− | + | {| width="100%" | |
− | \;dF \;= | + | | width="90%" align="center"|<math> { \;dF \;= {\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t} +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W\; }. </math> |
− | \left( \frac{\partial F}{\partial t} | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> |
− | +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x} | + | |} |
− | + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\, | ||
− | \frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W\;. | ||
− | </math> | ||
− | </ | ||
− | Это соотношение называется "''леммой Ито''". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов. | + | Это соотношение называется "''леммой Ито''". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов (<math>\textstyle \lessdot</math> C). |
Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math>, в которую подставили решение <math>\textstyle x=x(t)</math> уравнения <math>\textstyle dx=a(x,t)dt</math>, имеет вид: | Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math>, в которую подставили решение <math>\textstyle x=x(t)</math> уравнения <math>\textstyle dx=a(x,t)dt</math>, имеет вид: | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> dF \;=\; \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial x}\, dx \;=\; \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\right)\, dt. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии <math>\textstyle b^2(x,t)</math> и вторая производная по <math>\textstyle x</math>. Происходит это, как мы видели, благодаря корню <math>\textstyle \sqrt{dt}</math>. Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито. | В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии <math>\textstyle b^2(x,t)</math> и вторая производная по <math>\textstyle x</math>. Происходит это, как мы видели, благодаря корню <math>\textstyle \sqrt{dt}</math>. Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито. |
Версия 18:19, 9 марта 2010
Почему Ито << | Оглавление | >> Точные решения уравнения Ито |
---|
Пусть процесс подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию . Если вместо в неё подставить , то станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:
(EQN)
|
с , где — обратная к функция. Для этого необходимо найти функции сноса и волатильности , а также убедиться, что моменты более высоких порядков равны нулю.
Разложим в ряд Тейлора в окрестности начального фиксированного значения по небольшим и :
где все производные справа вычислены в точке . Для ряда оставлен член второго порядка малости по . При помощи () мы можем записать в следующем виде:
где оставлено ведущее приближение по . Таким образом, если в начальный момент времени функция равна детерминированному числу , то через малый промежуток времени, в зависимости от значения , это будет случайная величина вида ( C):
(EQN)
|
По определению () коэффициент сноса в пределе равен:
где подставлено разложение () для и учтено, что , . Аналогично, для коэффициента диффузии:
Для моментов более высоких порядков в пределе получается ноль. Таким образом, это действительно диффузный процесс.
Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (). Поэтому необходима полная проверка "диффузности", проведенная выше.
Считая уравнение () первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу . Сумма слагаемых вида приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие . Поэтому можно положить .
Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной :
Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle { \;dF \;= {\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t} +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W\; }. } | (EQN)
|
Это соотношение называется "леммой Ито". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов ( C).
Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции , в которую подставили решение уравнения , имеет вид:
(EQN)
|
В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии и вторая производная по . Происходит это, как мы видели, благодаря корню . Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.
Для винеровского уравнения с постоянным сносом и волатильностью дифференциал квадрата траектории , в соответствии с (), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:
Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.
Почему Ито << | Оглавление | >> Точные решения уравнения Ито |
---|
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения