Лемма Ито — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Лемма Ито» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть процесс <math>\textstyle x(t)</math> подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию <math>\textstyle F(x,t)</math>. Если вместо <math>\textstyle x</math> в неё подставить <math>\textstyle x(t)</math>, то <math>\textstyle F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)</math> станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть процесс <math>\textstyle x(t)</math> подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию <math>\textstyle F(x,t)</math>. Если вместо <math>\textstyle x</math> в неё подставить <math>\textstyle x(t)</math>, то <math>\textstyle F(t)=F\bigl(x(t),t\bigr)</math> станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:
  
:<center><math> dF = A(x,t)\;dt + B(x,t)\;\delta W </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> dF = A(x,t)\;dt + B(x,t)\;\delta W </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
с <math>\textstyle x=G(F,t)</math>, где <math>\textstyle G</math> &mdash; обратная к <math>\textstyle F</math> функция. Для этого необходимо найти функции сноса <math>\textstyle A</math> и волатильности <math>\textstyle B</math>, а также ''убедиться'', что моменты более высоких порядков равны нулю.
 
с <math>\textstyle x=G(F,t)</math>, где <math>\textstyle G</math> &mdash; обратная к <math>\textstyle F</math> функция. Для этого необходимо найти функции сноса <math>\textstyle A</math> и волатильности <math>\textstyle B</math>, а также ''убедиться'', что моменты более высоких порядков равны нулю.
Строка 19: Строка 23:
 
:<center><math>(\Delta x)^2 = \bigl( a_0\;\Delta t + b_0\; \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2 = b_0^2 \;\varepsilon^2 \;\Delta t +...,</math></center>
 
:<center><math>(\Delta x)^2 = \bigl( a_0\;\Delta t + b_0\; \varepsilon \sqrt{\Delta t}+ ...\bigr)^2 = b_0^2 \;\varepsilon^2 \;\Delta t +...,</math></center>
  
где оставлено ведущее приближение по <math>\textstyle \Delta t</math>. Таким образом, если в начальный момент времени <math>\textstyle t_0</math> функция равна ''детерминированному'' числу <math>\textstyle F_0=F(x_0, t_0)</math>, то через малый промежуток времени, в зависимости от значения <math>\textstyle \varepsilon</math>, это будет случайная величина вида:
+
где оставлено ведущее приближение по <math>\textstyle \Delta t</math>. Таким образом, если в начальный момент времени <math>\textstyle t_0</math> функция равна ''детерминированному'' числу <math>\textstyle F_0=F(x_0, t_0)</math>, то через малый промежуток времени, в зависимости от значения <math>\textstyle \varepsilon</math>, это будет случайная величина вида (<math>\textstyle \lessdot</math> C):
  
:<center><math> F=F_0 + \frac{\partial F}{\partial x_0} \cdot (a_0 \Delta t + b_0 \;\varepsilon \sqrt{\Delta t}) + \frac{b^2_0}{2}\;\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} \;\varepsilon^2 \;\Delta t + \frac{\partial F}{\partial t_0} \;\Delta t+... </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> F=F_0 + \frac{\partial F}{\partial x_0} \cdot (a_0 \Delta t + b_0 \;\varepsilon \sqrt{\Delta t}) + \frac{b^2_0}{2}\;\frac{\partial^2 F}{\partial x_0^2} \;\varepsilon^2 \;\Delta t + \frac{\partial F}{\partial t_0} \;\Delta t+... </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
По ''определению'' () коэффициент сноса в пределе <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> равен:
 
По ''определению'' () коэффициент сноса в пределе <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> равен:
Строка 39: Строка 46:
 
Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math> в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math>:
 
Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math> в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной <math>\textstyle \delta W=\varepsilon\sqrt{dt}</math>:
  
:<center><math>  
+
{| width="100%"
\;dF \;=  
+
| width="90%" align="center"|<math> { \;dF \;= {\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t} +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W\; }. </math>
\left( \frac{\partial F}{\partial t}  
+
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}  
+
|}
+ \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\,
 
\frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W\;.  
 
</math>
 
</center>
 
  
Это соотношение называется "''леммой Ито''". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов.
+
Это соотношение называется "''леммой Ито''". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов (<math>\textstyle \lessdot</math> C).
  
 
Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math>, в которую подставили решение <math>\textstyle x=x(t)</math> уравнения <math>\textstyle dx=a(x,t)dt</math>, имеет вид:
 
Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции <math>\textstyle F(x,t)</math>, в которую подставили решение <math>\textstyle x=x(t)</math> уравнения <math>\textstyle dx=a(x,t)dt</math>, имеет вид:
  
:<center><math> dF \;=\; \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial x}\, dx \;=\; \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\right)\, dt. </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> dF \;=\; \frac{\partial F}{\partial t}\,dt + \frac{\partial F}{\partial x}\, dx \;=\; \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\, \frac{\partial F}{\partial x}\right)\, dt. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии <math>\textstyle b^2(x,t)</math> и вторая производная по <math>\textstyle x</math>. Происходит это, как мы видели, благодаря корню <math>\textstyle \sqrt{dt}</math>. Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.
 
В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии <math>\textstyle b^2(x,t)</math> и вторая производная по <math>\textstyle x</math>. Происходит это, как мы видели, благодаря корню <math>\textstyle \sqrt{dt}</math>. Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.

Версия 18:19, 9 марта 2010

Почему Ито << Оглавление >> Точные решения уравнения Ито

Пусть процесс подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обычную гладкую функцию . Если вместо в неё подставить , то станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито:

(EQN)

с , где — обратная к функция. Для этого необходимо найти функции сноса и волатильности , а также убедиться, что моменты более высоких порядков равны нулю.

Разложим в ряд Тейлора в окрестности начального фиксированного значения по небольшим и :

где все производные справа вычислены в точке . Для ряда оставлен член второго порядка малости по . При помощи () мы можем записать в следующем виде:

где оставлено ведущее приближение по . Таким образом, если в начальный момент времени функция равна детерминированному числу , то через малый промежуток времени, в зависимости от значения , это будет случайная величина вида ( C):

(EQN)

По определению () коэффициент сноса в пределе равен:

где подставлено разложение () для и учтено, что , . Аналогично, для коэффициента диффузии:

Для моментов более высоких порядков в пределе получается ноль. Таким образом, это действительно диффузный процесс.

Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциального уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убедиться, что моменты более высоких порядков при стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито (). Поэтому необходима полная проверка "диффузности", проведенная выше.

Считая уравнение () первым вычислением в бесконечной итерационной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу . Сумма слагаемых вида приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие . Поэтому можно положить .

Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запишем дифференциал функции в форме Ито при помощи бесконечно малой винеровской переменной :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle { \;dF \;= {\Bigr|}}\left( \frac{\partial F}{\partial t} +a(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b(x,t)\,\frac{\partial F}{\partial x}\;\delta W\; }. }
(EQN)

Это соотношение называется "леммой Ито". Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов ( C).

Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференциал функции , в которую подставили решение уравнения , имеет вид:

(EQN)

В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии и вторая производная по . Происходит это, как мы видели, благодаря корню . Это, в свою очередь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито.

Для винеровского уравнения с постоянным сносом и волатильностью дифференциал квадрата траектории , в соответствии с (), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито:

Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее.


Почему Ито << Оглавление >> Точные решения уравнения Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения