Лагранжев подход — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 11: Строка 11:
  
 
Функционал <math>\textstyle I[q]</math> будет минимальным (точнее экстремальным), если функции <math>\textstyle q_k(t)</math> удовлетворяют ''уравнениям Лагранжа'':
 
Функционал <math>\textstyle I[q]</math> будет минимальным (точнее экстремальным), если функции <math>\textstyle q_k(t)</math> удовлетворяют ''уравнениям Лагранжа'':
 
\parbox{7cm}{ <center>
 
  
 
<center>[[File:math_langrang.png]]</center>
 
<center>[[File:math_langrang.png]]</center>
 
} \parbox{7cm}{
 
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
Строка 23: Строка 19:
 
  |}
 
  |}
  
} </center> Для доказательства к ''экстремальной траектории'' <math>\textstyle q_k(t)</math> добавим ''произвольные'' функции <math>\textstyle \phi_k(t)</math>, умноженные на некоторое число <math>\textstyle \varepsilon</math>. Таким способом, мы перебираем все возможные функции соединяющие начальную и конечную точки, считая, что <math>\textstyle \phi_k(t_1)=\phi_k(t_2)=0</math> (см. рисунок). Интеграл, как функция <math>\textstyle \varepsilon</math>, имеет экстремум при <math>\textstyle \varepsilon=0</math>, следовательно:
+
}
 +
Для доказательства к ''экстремальной траектории'' <math>\textstyle q_k(t)</math> добавим ''произвольные'' функции <math>\textstyle \phi_k(t)</math>, умноженные на некоторое число <math>\textstyle \varepsilon</math>. Таким способом, мы перебираем все возможные функции соединяющие начальную и конечную точки, считая, что <math>\textstyle \phi_k(t_1)=\phi_k(t_2)=0</math> (см. рисунок). Интеграл, как функция <math>\textstyle \varepsilon</math>, имеет экстремум при <math>\textstyle \varepsilon=0</math>, следовательно:
  
 
:<center><math>\frac{d}{d\varepsilon}\int\limits^{t_2}_{t_1} L(q_k+\varepsilon\phi_k, \dot{q}_k+\varepsilon\dot{\phi}_k)\,dt\,\Bigr|_{\varepsilon=0} = \int\limits^{t_2}_{t_1} \left[\frac{\partial L}{\partial q_k}\,\phi_k+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\,\dot{\phi_k} \right]dt = 0.</math></center>
 
:<center><math>\frac{d}{d\varepsilon}\int\limits^{t_2}_{t_1} L(q_k+\varepsilon\phi_k, \dot{q}_k+\varepsilon\dot{\phi}_k)\,dt\,\Bigr|_{\varepsilon=0} = \int\limits^{t_2}_{t_1} \left[\frac{\partial L}{\partial q_k}\,\phi_k+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\,\dot{\phi_k} \right]dt = 0.</math></center>

Версия 15:34, 7 октября 2012

Ковариантная электродинамика << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Тензор энергии-импульса

Для построения ковариантных уравнений движения, как для частиц, так и для полей удобен лагранжев метод. Напомним, что функционалом называется математический объект, который каждой функции ставит в соответствие некоторое число. Простейшим примером функционала является определённый интеграл. Той или иной функции он ставит в соответствие ограничивающую ею площадь. Из всех возможных функций особый интерес представляют те функции, которые минимизируют значение интеграла. Пусть т.н. функция Лагранжа , зависит от функций и их производных , где . Проинтегрируем её от до :

Функционал будет минимальным (точнее экстремальным), если функции удовлетворяют уравнениям Лагранжа:

Math langrang.png
(EQN)

} Для доказательства к экстремальной траектории добавим произвольные функции , умноженные на некоторое число . Таким способом, мы перебираем все возможные функции соединяющие начальную и конечную точки, считая, что (см. рисунок). Интеграл, как функция , имеет экстремум при , следовательно:

В квадратных скобках, во втором слагаемом выделим производную произведения по времени (по повторяющимся индексам сумма от 1 до ):

В силу фиксированности начальной и конечной точки второй интеграл равен нулю (\,H). Так как функции произвольны, первый интеграл будет равен нулю только, если равно нулю выражение в квадратных скобках, что и приводит к уравнениям Лагранжа.

Аналогично можно рассмотреть функционал от функций, которые зависят не только от времени, но и от точки в пространстве. При этом динамической переменной является поле, которое, в общем случае, имеет несколько компонент . Индекс может отсутствовать или пробегать, например, четыре значения от 0 до 3. В первом случае говорят о скалярном поле, а во втором о поле, являющимся 4-вектором (векторное поле). Возможны и более сложные случаи. Не конкретизируя число компонент поля запишем следующий функционал

(EQN)

Это 4-кратный интеграл в котором интегрирование ведётся по 4-мерному объёму . Обычно рассматривается случай, когда интегрирование по ведётся по всему пространству и поля на бесконечности убывают . Интегрирование по времени ведётся между и , в которых поле фиксировано: , .

Введём произвольные функции отклонения от поля, минимизирующего () и обращающиеся в ноль при , . Умножим их на малый параметр и найдём экстремум функционала по этому параметру при :

По индексам и проводится суммирование. В последнем слагаемом можно выделить полную производную по :

Второй интеграл равен нулю, так как он имеет вид:

Первый интеграл обращается в ноль при интегрировании по так как в моменты времени и поле равно нулю. Второй интеграл при интегрировании по пространству , в силу интегральной теоремы Гаусса, заменяется на интеграл по поверхности "охватывающей всё пространство". На этой поверхности (на бесконечности) поля равны нулю. В результате получаются уравнения Лагранжа для поля

(EQN)

решения которых соответствуют экстремуму функционала ().

Лагранжев подход удобен тем, что, записав релятивистски инвариантное выражение для функционала , называемого действием, при помощи уравнений Лагранжа, мы автоматически получим ковариантные уравнения движения в тензорной форме. Рассмотрим сначала движение пробной частицы во внешнем электромагнитном поле.

Если полей нет, состояние частицы полностью определяется её скоростью . Существует естественный инвариант , равный интервалу между двумя бесконечно близкими событиями. Вдоль траектории частицы . Внешнее электромагнитное поле в ковариантном виде будем задавать при помощи 4-потенциала . Если его свернуть с 4-вектором бесконечно малого смещения , то получится ещё одна инвариантная величина. Умножив эти два инварианта на константы , и сложив, получим следующее действие:

Во втором равенстве действие записано как интеграл по времени (\,H) и для 4-потенциала использованы 3-мерные обозначения . В результате мы приходим к функции Лагранжа частицы в электромагнитном поле:

(EQN)

Коэффициенты (масса частицы) и (заряд частицы) выбраны таким образом, чтобы получились правильные уравнения движения, соответствующие силе Лоренца. Убедимся в этом. Положение частицы — это обобщённая координата , а её производная по времени — это скорость частицы . Уравнения Лагранжа () в векторной форме имеют вид:

(EQN)

Производная по скорости равна:

где первый член является релятивистским импульсом . Для взятия полной производной по времени необходимо учесть, что потенциалы зависят от координат, соответствующих положению пробной частицы, поэтому:

где взят полный дифференциал от векторного поля (\,H).

Найдём теперь правую часть уравнений Лагранжа:

В результате уравнения Лагранжа принимают вид:

Последние два слагаемые при помощи тождества для двойного векторного произведения сворачиваются в одно: . Учитывая связь полей и потенциалов, приходим к силе Лоренца (стр.\,\pageref{E_B_main}):

(EQN)

Чтобы сразу получить ковариантные уравнения (), стр.\,\pageref{lorez_force_cov} необходимо в лагранжевом подходе использовать не время , а инвариантный интервал . Тогда динамическими переменными становятся , а их производными . Однако, в этом случае, не все динамические переменные являются независимыми. В частности, компоненты 4-скорости связаны соотношением . Чтобы использовать лагранжев подход необходимо искать экстремум со связями, используя метод множителей Лагранжа (см. стр.\,\pageref{math_lagrang_mult}). Так, запишем лагранжиан в виде:

Функция (множитель Лагранжа) является дополнительной динамической переменной, обеспечивающей в каждый момент времени выполнения связи . Так как производной по от в лагранжиане нет, уравнение Лагранжа по этой переменной приводит к соотношению . Остальные производные лагранжиана по и равны:

Учитывая, что , получаем уравнение:

Так как — антисимметричен, свёртка уравнения с в правой части даст ноль. В левой части имеем:

где учтена связь . Таким образом, является константой, равной массе частицы .

Перейдём к динамическим уравнениям для электромагнитного поля. В основу лагранжевого подхода положим 4-потенциал . Мы хотим найти уравнения которым он удовлетворяет. Эти уравнения должны быть:\\ 1) линейными уравнениями (принцип суперпозиции)\\ 2) дифференциальными уравнениями второго порядка.\\ Эти требования, благодаря уравнениям Лагранжа, выполнятся, если лагранжиан будет не более чем квадратичен по полям. Из 4-тока , потенциала и его производных можно сформировать следующие инварианты:

В принципе, если их умножить на некоторые константы и сложить, получится наиболее общий лагранжиан векторного поля, соответствующий линейным динамическим уравнениям. Последняя комбинация, квадратичная по потенциалу , приводит к теории в которой скорость электромагнитных волн оказывается меньшей скорости света, а закон Кулона нарушается. Поэтому от этого члена мы откажемся. Следующие два члена с конца в этом списке также не приведут к уравнениям Максвелла. При их подстановке в уравнения Лагранжа появятся производные тока. Уравнения для потенциалов станут зависеть не только от скоростей, но и от ускорения частиц. Хорошо это или плохо трудно сказать. Если коэффициенты при этих членах в лагранжиане малы, то и возникающие эффекты будут малы. Поэтому, возможно, пока никто и не обнаружил отклонений от уравнений Максвелла. Тем не менее мы откажемся и от них, ограничившись только первыми тремя инвариантами:

Множитель при первом члене лагранжиана выбран равным -1. Понятно, что если лагранжиан умножить на произвольную константу, уравнения от этого не поменяются. Следовательно одну из констант в сумме инвариантных комбинаций можно выбрать произвольной.

Возьмём соответствующие производные от лагранжиана (\,H):

Их подстановка в уравнения Лагранжа () (сейчас ) приводит к следующим уравнениям поля:

где — оператор Д`Аламбера.

Эти уравнения совпадут с уравнениями Максвелла, если . Действительно, напомним, что уравнения для потенциалов, следующие из уравнений Максвелла имеют вид (стр.\,\pageref{A_phi_eq}):

Выражения в круглых скобках являются ни чем иным, как свёрткой . По определению, компоненты 4-ковектора равны , поэтому для 4-вектора производной с индексом вверху имеем .

Если определение константы сказывается лишь на выбор единиц измерения поля, то с выбором константы ситуация хитрее. Свойства полей, в конечном счёте, проявляются при их действии на пробную частицу. Поэтому в классической электродинамике измеримыми являются напряжённости поля, а не потенциалы. Последние определены неоднозначно, что позволяет наложить на них калибровочное условие, например в форме . В этом случае, константа является произвольной. Её можно положить как равной нулю, так и равной . В последнем случае лагранжиан может быть записан (\,H) при помощи тензора :

(EQN)

Член совпадает с введенным ранее лагранжианом для точечной частицы с плотностью заряда . Действительно, запишем часть действия (см. () стр.\,\pageref{j_def}):

В последнем равенстве взят интеграл по объёму с дельта-функцией. Потенциал стал зависеть от траектории частицы (поэтому мы его и дифференцировали при выводе ()).

В результате можно записать единое действие для зарядов и полей:

(EQN)

Суммирование ведётся по всем точечным зарядам. Это действие можно минимизировать одновременно и для частиц и полей. В этом случае нет разделения на пробные частицы и частицы создающие поле.

В качестве упражнения предлагается добавить к лагранжиану электромагнитного поля член , найти уравнения движения в лоренцевской калибровке () (H) и решить их для случая электростатики (H). Затем получить решения этих уравнений в свободном пространстве (волновые уравнения с ) (H).


Ковариантная электродинамика << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Тензор энергии-импульса

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии