Лагранжев подход — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Ковариантная электродинамика << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавле…»)
 
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Для построения ковариантных уравнений движения, как для частиц, так и для полей удобен лагранжев метод. Напомним, что ''функционалом'' называется математический объект, который каждой функции ставит в соответствие некоторое число. Простейшим примером функционала является определённый интеграл. Той или иной функции он ставит в соответствие ограничивающую ею площадь. Из всех возможных функций особый интерес представляют те функции, которые минимизируют значение интеграла. Пусть т.н. ''функция Лагранжа'' <math>\textstyle L(q_k,\;\dot{q}_k)</math>, зависит от <math>\textstyle n</math> функций <math>\textstyle q_k=q_k(t)</math> и их производных <math>\textstyle \dot{q}_k=dq_k/dt</math>, где <math>\textstyle k=1,...,n</math>. Проинтегрируем её от <math>\textstyle t_1</math> до <math>\textstyle t_2</math>:
 +
 +
:<center><math>I[q] = \int\limits^{t_2}_{t_1} L(q_1,...,q_n, \, \dot{q}_1,...,\dot{q}_n)\,dt= min.</math></center>
 +
 +
Функционал <math>\textstyle I[q]</math> будет минимальным (точнее экстремальным), если функции <math>\textstyle q_k(t)</math> удовлетворяют ''уравнениям Лагранжа'':
 +
 +
\parbox{7cm}{ <center>
 +
 +
<center>[[File:math_langrang.png]]</center>
 +
 +
} \parbox{7cm}{
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) = \frac{\partial L}{\partial q_k}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
} </center> Для доказательства к ''экстремальной траектории'' <math>\textstyle q_k(t)</math> добавим ''произвольные'' функции <math>\textstyle \phi_k(t)</math>, умноженные на некоторое число <math>\textstyle \varepsilon</math>. Таким способом, мы перебираем все возможные функции соединяющие начальную и конечную точки, считая, что <math>\textstyle \phi_k(t_1)=\phi_k(t_2)=0</math> (см. рисунок). Интеграл, как функция <math>\textstyle \varepsilon</math>, имеет экстремум при <math>\textstyle \varepsilon=0</math>, следовательно:
 +
 +
:<center><math>\frac{d}{d\varepsilon}\int\limits^{t_2}_{t_1} L(q_k+\varepsilon\phi_k, \dot{q}_k+\varepsilon\dot{\phi}_k)\,dt\,\Bigr|_{\varepsilon=0} = \int\limits^{t_2}_{t_1} \left[\frac{\partial L}{\partial q_k}\,\phi_k+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\,\dot{\phi_k} \right]dt = 0.</math></center>
 +
 +
В квадратных скобках, во втором слагаемом выделим производную произведения по времени (по повторяющимся индексам <math>\textstyle k</math> сумма от 1 до <math>\textstyle n</math>):
 +
 +
:<center><math>\int\limits^{t_2}_{t_1} \left[\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\right) \right] \,\phi_k\,dt +\int\limits^{t_2}_{t_1} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\,\,\phi_k\right)\, dt = 0.</math></center>
 +
 +
В силу фиксированности начальной и конечной точки <math>\textstyle \phi_k(t_1)=\phi_k(t_2)=0</math> второй интеграл равен нулю (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H). Так как функции <math>\textstyle \phi_k(t)</math> ''произвольны'', первый интеграл будет равен нулю только, если равно нулю выражение в квадратных скобках, что и приводит к уравнениям Лагранжа.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Аналогично можно рассмотреть функционал от функций, которые зависят не только от времени, но и от точки в пространстве. При этом динамической переменной является ''поле'', которое, в общем случае, имеет несколько компонент <math>\textstyle \Psi_k(t,\mathbf{x})</math>. Индекс <math>\textstyle k</math> может отсутствовать или пробегать, например, четыре значения от 0 до 3. В первом случае говорят о ''скалярном поле'', а во втором о поле, являющимся 4-вектором (''векторное поле''). Возможны и более сложные случаи. Не конкретизируя число компонент поля запишем следующий функционал
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> I[\Psi] = \int \mathcal{L}(\Psi_k, \partial_\alpha\Psi_k)\, d^4 x = min. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Это 4-кратный интеграл в котором интегрирование ведётся по 4-мерному объёму <math>\textstyle d^4x=dt\,d^3\mathbf{x}</math>. Обычно рассматривается случай, когда интегрирование по <math>\textstyle d^3\mathbf{x}</math> ведётся по всему пространству и поля на бесконечности убывают <math>\textstyle \Psi_k(t,\infty)=0</math>. Интегрирование по времени ведётся между <math>\textstyle t_1</math> и <math>\textstyle t_2</math>, в которых поле фиксировано: <math>\textstyle \Psi_k(t_1,\mathbf{x})=\Psi_k^{(1)}(\mathbf{x})</math>, <math>\textstyle \Psi_k(t_2,\mathbf{x})=\Psi_k^{(2)}(\mathbf{x})</math>.
 +
 +
Введём ''произвольные'' функции <math>\textstyle \phi_k=\phi_k(t,\mathbf{x})</math> отклонения от поля, минимизирующего () и обращающиеся в ноль при <math>\textstyle t_1</math>, <math>\textstyle t_2</math>. Умножим их на малый параметр <math>\textstyle \varepsilon</math> и найдём экстремум функционала по этому параметру при <math>\textstyle \varepsilon=0</math>:
 +
 +
:<center><math>\frac{d}{d\varepsilon}\int \mathcal{L}(\Psi_k+\varepsilon\phi_k, \partial_\alpha\Psi_k+\varepsilon\partial_\alpha\phi_k)d^4 x =\int \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \Psi_k}\,\phi_k + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\alpha\Psi_k)}\,\partial_\alpha\phi_k\right] d^4x =0.</math></center>
 +
 +
По индексам <math>\textstyle k</math> и <math>\textstyle \alpha</math> проводится суммирование. В последнем слагаемом можно выделить полную производную по <math>\textstyle \partial_\alpha</math>:
 +
 +
:<center><math>\int \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \Psi_k} -\partial_\alpha \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\alpha\Psi_k)}\right)\right]\,\phi_k\, d^4 x +\int \partial_\alpha\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\alpha\Psi_k)}\,\phi_k\right)d^4x=0.</math></center>
 +
 +
Второй интеграл равен нулю, так как он имеет вид:
 +
 +
:<center><math>\int\partial_\alpha f^\alpha d^4x = \int\frac{\partial f^0}{\partial t}\, dt\,d^3\mathbf{x} + \int\nabla \mathbf{f}\, dt\,d^3\mathbf{x} = 0.</math></center>
 +
 +
Первый интеграл обращается в ноль при интегрировании по <math>\textstyle dt</math> так как в моменты времени <math>\textstyle t_1</math> и <math>\textstyle t_2</math> поле <math>\textstyle \phi_k</math> равно нулю. Второй интеграл при интегрировании по пространству <math>\textstyle d^3\mathbf{x}</math>, в силу интегральной теоремы Гаусса, заменяется на интеграл по поверхности "охватывающей всё пространство". На этой поверхности (на бесконечности) поля <math>\textstyle \Psi_k</math> равны нулю. В результате получаются ''уравнения Лагранжа для поля''
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial_\alpha \left(\frac{\partial {\mathcal L}}{\partial\,(\partial_\alpha\Psi_k)}\right) = \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial\Psi_k}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
решения которых соответствуют экстремуму функционала ().
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Лагранжев подход удобен тем, что, записав релятивистски инвариантное выражение для функционала <math>\textstyle I</math>, называемого ''действием'', при помощи уравнений Лагранжа, мы автоматически получим ковариантные уравнения движения в тензорной форме. Рассмотрим сначала движение пробной частицы во внешнем электромагнитном поле.
 +
 +
Если полей нет, состояние частицы полностью определяется её скоростью <math>\textstyle \mathbf{u}=d\mathbf{r}/dt</math>. Существует естественный инвариант <math>\textstyle ds</math>, равный интервалу между двумя бесконечно близкими событиями. Вдоль траектории частицы <math>\textstyle ds^2=dt^2-d\mathbf{r}^2=(1-\mathbf{u}^2)\,dt^2</math>. Внешнее электромагнитное поле в ковариантном виде будем задавать при помощи 4-потенциала <math>\textstyle A^\alpha</math>. Если его свернуть с 4-вектором бесконечно малого смещения <math>\textstyle dx^\alpha</math>, то получится ещё одна инвариантная величина. Умножив эти два инварианта на константы <math>\textstyle m</math>, <math>\textstyle q</math> и сложив, получим следующее действие:
 +
 +
:<center><math>I = -m\int ds - q \int A_\alpha\,dx^\alpha = \int (-m\sqrt{1-\mathbf{u}^2}-q\varphi + q\mathbf{A}\mathbf{u} )\,dt.</math></center>
 +
 +
Во втором равенстве действие записано как интеграл по времени (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) и для 4-потенциала использованы 3-мерные обозначения <math>\textstyle A^\alpha=\{\varphi, \mathbf{A}\}</math>. В результате мы приходим к ''функции Лагранжа'' частицы в электромагнитном поле:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> L(\mathbf{r},\,\mathbf{u})= -m\sqrt{1-\mathbf{u}^2}-q\varphi +q\mathbf{A}\mathbf{u}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Коэффициенты <math>\textstyle m</math> (масса частицы) и <math>\textstyle q</math> (заряд частицы) выбраны таким образом, чтобы получились правильные уравнения движения, соответствующие силе Лоренца. Убедимся в этом. Положение частицы <math>\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}</math> &mdash; это обобщённая координата <math>\textstyle q_k</math>, а её производная по времени <math>\textstyle \dot{q}_k</math> &mdash; это скорость частицы <math>\textstyle \mathbf{u}</math>. Уравнения Лагранжа () в векторной форме имеют вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{u}}\right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Производная по скорости равна:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial L}{\partial \mathbf{u}} = \frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} + q\mathbf{A}=\mathbf{p}+q\mathbf{A},</math></center>
 +
 +
где первый член является релятивистским импульсом <math>\textstyle \mathbf{p}</math>. Для взятия полной производной по времени необходимо учесть, что потенциалы зависят от координат, соответствующих положению пробной частицы, поэтому:
 +
 +
:<center><math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{u}}\right) = \frac{d\mathbf{p}}{dt} + q \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + q (\mathbf{u}\nabla ) \mathbf{A},</math></center>
 +
 +
где взят полный дифференциал от векторного поля <math>\textstyle \mathbf{A}</math> (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H).
 +
 +
Найдём теперь правую часть уравнений Лагранжа:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}} = \nabla L = -q\nabla\varphi + q\nabla(\mathbf{A}\mathbf{u}).</math></center>
 +
 +
В результате уравнения Лагранжа принимают вид:
 +
 +
:<center><math>\frac{d\mathbf{p}}{dt} = q\,\left(-\nabla\varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) + q\,\left(\nabla(\mathbf{A}\mathbf{u}) - (\mathbf{u}\nabla) \mathbf{A}\right).</math></center>
 +
 +
Последние два слагаемые при помощи тождества для двойного векторного произведения сворачиваются в одно: <math>\textstyle \mathbf{u}\times[\nabla\times\mathbf{A}]</math>. Учитывая связь полей и потенциалов, приходим к силе Лоренца (стр.\,\pageref{E_B_main}):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{p}}{dt} = q\mathbf{E} + q\mathbf{u}\times\mathbf{B}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Чтобы сразу получить ковариантные уравнения (), стр.\,\pageref{lorez_force_cov} необходимо в лагранжевом подходе использовать не время <math>\textstyle t</math>, а инвариантный интервал <math>\textstyle s</math>. Тогда динамическими переменными <math>\textstyle q_k</math> становятся <math>\textstyle x^\alpha</math>, а их производными <math>\textstyle u^\alpha=dx^\alpha/ds</math>. Однако, в этом случае, не все динамические переменные являются независимыми. В частности, компоненты 4-скорости <math>\textstyle u^\alpha</math> связаны соотношением <math>\textstyle \mathrm{u}^2=u_\alpha u^\alpha=1</math>. Чтобы использовать лагранжев подход необходимо искать экстремум ''со связями'', используя ''метод множителей Лагранжа'' (см. стр.\,\pageref{math_lagrang_mult}). Так, запишем лагранжиан в виде:
 +
 +
:<center><math>L = - q\, A_\alpha u^\alpha - \frac{1}{2}\,\lambda\, (\mathrm{u}^2-1).</math></center>
 +
 +
Функция <math>\textstyle \lambda=\lambda(s)</math> (множитель Лагранжа) является дополнительной динамической переменной, обеспечивающей ''в каждый'' момент времени выполнения связи <math>\textstyle \mathrm{u}^2=1</math>. Так как производной по <math>\textstyle s</math> от <math>\textstyle \lambda(s)</math> в лагранжиане нет, уравнение Лагранжа по этой переменной <math>\textstyle \partial L/\partial\lambda=0</math> приводит к соотношению <math>\textstyle \mathrm{u}^2=1</math>. Остальные производные лагранжиана по <math>\textstyle x^\alpha</math> и <math>\textstyle u^\alpha</math> равны:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial L}{\partial x^\alpha}=-q\,\partial_\alpha A_\beta\, u^\beta, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial u^\alpha}\right)=-q\frac{dA_\alpha}{ds}-\frac{d(\lambda u_\alpha)}{ds}.</math></center>
 +
 +
Учитывая, что <math>\textstyle dA_\alpha/ds = \partial_\beta A_\alpha \,dx^\beta/ds= \partial_\beta A_\alpha \,u^\beta</math>, получаем уравнение:
 +
 +
:<center><math>\frac{d(\lambda u_\alpha)}{ds} = q\,(\partial_\alpha A_\beta-\partial_\beta A_\alpha)\,u^\beta = q F_{\alpha\beta}\,u^\beta.</math></center>
 +
 +
Так как <math>\textstyle F_{\alpha\beta}</math> &mdash; антисимметричен, свёртка уравнения с <math>\textstyle u^\alpha</math> в правой части даст ноль. В левой части имеем:
 +
 +
:<center><math>\frac{d(\lambda u_\alpha)}{ds}\,u^\alpha= \frac{d\lambda}{ds}\,\mathrm{u}^2+ \lambda\,\frac{du_\alpha}{ds}\, u^\alpha = \frac{d\lambda}{ds} + \frac{\lambda}{2}\, \frac{d(\mathrm{u}^2)}{ds} = \frac{d\lambda}{ds} =0,</math></center>
 +
 +
где учтена связь <math>\textstyle \mathrm{u}^2=1</math>. Таким образом, <math>\textstyle \lambda</math> является константой, равной массе частицы <math>\textstyle m</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Перейдём к динамическим уравнениям для электромагнитного поля. В основу лагранжевого подхода положим 4-потенциал <math>\textstyle A^\alpha</math>. Мы хотим найти уравнения которым он удовлетворяет. Эти уравнения должны быть:\\ 1) линейными уравнениями (принцип суперпозиции)\\ 2) дифференциальными уравнениями второго порядка.\\ Эти требования, благодаря уравнениям Лагранжа, выполнятся, если лагранжиан будет не более чем квадратичен по полям. Из 4-тока <math>\textstyle j^\alpha</math>, потенциала <math>\textstyle A^\alpha</math> и его производных <math>\textstyle \partial_\alpha A_\beta</math> можно сформировать следующие инварианты:
 +
 +
:<center><math>A^\alpha j_\alpha,\;\;\; (\partial_\alpha A_\beta)(\partial^\alpha A^\beta),\;\;\; (\partial_\alpha A_\beta)(\partial^\beta A^\alpha),\;\;\; A^\alpha j^\beta\, \partial_\alpha A_\beta,\;\;\;\; j^\alpha A^\beta\, \partial_\alpha A_\beta,\;\;\;\; A^\alpha A_\alpha.</math></center>
 +
 +
В принципе, если их умножить на некоторые константы и сложить, получится наиболее общий лагранжиан векторного поля, соответствующий линейным динамическим уравнениям. Последняя комбинация, квадратичная по потенциалу <math>\textstyle A^\alpha A_\alpha</math>, приводит к теории в которой скорость электромагнитных волн оказывается меньшей скорости света, а закон Кулона нарушается. Поэтому от этого члена мы откажемся. Следующие два члена с конца в этом списке также не приведут к уравнениям Максвелла. При их подстановке в уравнения Лагранжа появятся производные тока. Уравнения для потенциалов станут зависеть не только от скоростей, но и от ускорения частиц. Хорошо это или плохо трудно сказать. Если коэффициенты при этих членах в лагранжиане малы, то и возникающие эффекты будут малы. Поэтому, возможно, пока никто и не обнаружил отклонений от уравнений Максвелла. Тем не менее мы откажемся и от них, ограничившись только первыми тремя инвариантами:
 +
 +
:<center><math>\mathcal{L} = -A^\alpha j_\alpha - \frac{a}{2}\, (\partial_\alpha A_\beta)(\partial^\alpha A^\beta) + \frac{b}{2}\,(\partial_\alpha A_\beta)(\partial^\beta A^\alpha).</math></center>
 +
 +
Множитель при первом члене лагранжиана выбран равным -1. Понятно, что если лагранжиан умножить на произвольную константу, уравнения от этого не поменяются. Следовательно одну из констант в сумме инвариантных комбинаций можно выбрать произвольной.
 +
 +
Возьмём соответствующие производные от лагранжиана (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H):
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\beta} = -j^\beta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\alpha A_\beta)} = -a\,\partial^\alpha A^\beta + b\,\partial^\beta A^\alpha.</math></center>
 +
 +
Их подстановка в уравнения Лагранжа () (сейчас <math>\textstyle k=\beta</math>) приводит к следующим уравнениям поля:
 +
 +
:<center><math>a\, \partial^2\,A^\beta - b\, \partial^\beta \partial_\alpha A^\alpha = j^\beta,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \partial^2=\partial^\alpha\partial_\alpha=\partial^2/\partial t^2 - \Delta</math> &mdash; оператор Д`Аламбера.
 +
 +
Эти уравнения совпадут с уравнениями Максвелла, если <math>\textstyle a=b=1/4\pi</math>. Действительно, напомним, что уравнения для потенциалов, следующие из уравнений Максвелла имеют вид (стр.\,\pageref{A_phi_eq}):
 +
 +
:<center><math>\partial^2\,\varphi - \frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A}\Bigl) = 4\pi\rho,\;\;\;\;\;\; \partial^2\,\mathbf{A} + \nabla \Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A}\Bigl) = 4\pi\mathbf{j}.</math></center>
 +
 +
Выражения в круглых скобках являются ни чем иным, как свёрткой <math>\textstyle \partial_\alpha A^\alpha</math>. По определению, компоненты 4-ковектора <math>\textstyle \partial_\beta</math> равны <math>\textstyle \{\partial_0, \nabla\}</math>, поэтому для 4-вектора производной с индексом вверху имеем <math>\textstyle \partial^\beta =\{\partial_0, -\nabla\}</math>.
 +
 +
Если определение константы <math>\textstyle a</math> сказывается лишь на выбор единиц измерения поля, то с выбором константы <math>\textstyle b</math> ситуация хитрее. Свойства полей, в конечном счёте, проявляются при их действии на пробную частицу. Поэтому в классической электродинамике измеримыми являются напряжённости поля, а не потенциалы. Последние определены неоднозначно, что позволяет наложить на них калибровочное условие, например в форме <math>\textstyle \partial_\alpha A^\alpha=0</math>. В этом случае, константа <math>\textstyle b</math> является произвольной. Её можно положить как равной нулю, так и равной <math>\textstyle b=1/4\pi</math>. В последнем случае лагранжиан может быть записан (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) при помощи тензора <math>\textstyle F^{\alpha\beta}</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathcal{L} = - A_\alpha j^\alpha -\frac{1}{16\pi}\,F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Член <math>\textstyle A_\alpha j^\alpha</math> совпадает с введенным ранее лагранжианом для точечной частицы с плотностью заряда <math>\textstyle \rho(\mathbf{x},t)=q\delta\bigl(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(t)\bigr)</math>. Действительно, запишем часть действия (см. () стр.\,\pageref{j_def}):
 +
 +
:<center><math>\int A_\alpha j^\alpha\; d^4 x = \int A_\alpha \,q\delta\bigl(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(t)\bigr) \,\frac{dx^\alpha_0(t)}{dt}\, dt\,d^3 \mathbf{x} = q\int A_\alpha \, dx^\alpha.</math></center>
 +
 +
В последнем равенстве взят интеграл по объёму <math>\textstyle d^3 \mathbf{x}</math> с дельта-функцией. Потенциал <math>\textstyle A^\alpha=A^\alpha(\mathbf{x}_0(t), t)</math> стал зависеть от траектории частицы <math>\textstyle \mathbf{x}_0(t)</math> (поэтому мы его и дифференцировали при выводе ()).
 +
 +
В результате можно записать единое действие для зарядов и полей:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> I = -\sum \int m ds - \sum q A_\alpha dx^\alpha - \frac{1}{16\pi}\int F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\,d^4x. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Суммирование ведётся по всем точечным зарядам. Это действие можно минимизировать одновременно и для частиц и полей. В этом случае нет разделения на пробные частицы и частицы создающие поле.
 +
 +
В качестве упражнения предлагается добавить к лагранжиану электромагнитного поля член <math>\textstyle \mu^2 A_\alpha A^\alpha/8\pi</math>, найти уравнения движения в лоренцевской калибровке (<math>\textstyle b=0</math>) (<math>\textstyle \lessdot</math>H) и решить их для случая электростатики (<math>\textstyle \lessdot</math>H). Затем получить решения этих уравнений в свободном пространстве (волновые уравнения с <math>\textstyle \mu\neq 0</math>) (<math>\textstyle \lessdot</math>H).
  
 
----
 
----

Версия 14:59, 7 октября 2012

Ковариантная электродинамика << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Тензор энергии-импульса

Для построения ковариантных уравнений движения, как для частиц, так и для полей удобен лагранжев метод. Напомним, что функционалом называется математический объект, который каждой функции ставит в соответствие некоторое число. Простейшим примером функционала является определённый интеграл. Той или иной функции он ставит в соответствие ограничивающую ею площадь. Из всех возможных функций особый интерес представляют те функции, которые минимизируют значение интеграла. Пусть т.н. функция Лагранжа , зависит от функций и их производных , где . Проинтегрируем её от до :

Функционал будет минимальным (точнее экстремальным), если функции удовлетворяют уравнениям Лагранжа:

\parbox{7cm}{

Math langrang.png

} \parbox{7cm}{

(EQN)
}

Для доказательства к экстремальной траектории добавим произвольные функции , умноженные на некоторое число . Таким способом, мы перебираем все возможные функции соединяющие начальную и конечную точки, считая, что (см. рисунок). Интеграл, как функция , имеет экстремум при , следовательно:

В квадратных скобках, во втором слагаемом выделим производную произведения по времени (по повторяющимся индексам сумма от 1 до ):

В силу фиксированности начальной и конечной точки второй интеграл равен нулю (\,H). Так как функции произвольны, первый интеграл будет равен нулю только, если равно нулю выражение в квадратных скобках, что и приводит к уравнениям Лагранжа.

Аналогично можно рассмотреть функционал от функций, которые зависят не только от времени, но и от точки в пространстве. При этом динамической переменной является поле, которое, в общем случае, имеет несколько компонент . Индекс может отсутствовать или пробегать, например, четыре значения от 0 до 3. В первом случае говорят о скалярном поле, а во втором о поле, являющимся 4-вектором (векторное поле). Возможны и более сложные случаи. Не конкретизируя число компонент поля запишем следующий функционал

(EQN)

Это 4-кратный интеграл в котором интегрирование ведётся по 4-мерному объёму . Обычно рассматривается случай, когда интегрирование по ведётся по всему пространству и поля на бесконечности убывают . Интегрирование по времени ведётся между и , в которых поле фиксировано: , .

Введём произвольные функции отклонения от поля, минимизирующего () и обращающиеся в ноль при , . Умножим их на малый параметр и найдём экстремум функционала по этому параметру при :

По индексам и проводится суммирование. В последнем слагаемом можно выделить полную производную по :

Второй интеграл равен нулю, так как он имеет вид:

Первый интеграл обращается в ноль при интегрировании по так как в моменты времени и поле равно нулю. Второй интеграл при интегрировании по пространству , в силу интегральной теоремы Гаусса, заменяется на интеграл по поверхности "охватывающей всё пространство". На этой поверхности (на бесконечности) поля равны нулю. В результате получаются уравнения Лагранжа для поля

(EQN)

решения которых соответствуют экстремуму функционала ().

Лагранжев подход удобен тем, что, записав релятивистски инвариантное выражение для функционала , называемого действием, при помощи уравнений Лагранжа, мы автоматически получим ковариантные уравнения движения в тензорной форме. Рассмотрим сначала движение пробной частицы во внешнем электромагнитном поле.

Если полей нет, состояние частицы полностью определяется её скоростью . Существует естественный инвариант , равный интервалу между двумя бесконечно близкими событиями. Вдоль траектории частицы . Внешнее электромагнитное поле в ковариантном виде будем задавать при помощи 4-потенциала . Если его свернуть с 4-вектором бесконечно малого смещения , то получится ещё одна инвариантная величина. Умножив эти два инварианта на константы , и сложив, получим следующее действие:

Во втором равенстве действие записано как интеграл по времени (\,H) и для 4-потенциала использованы 3-мерные обозначения . В результате мы приходим к функции Лагранжа частицы в электромагнитном поле:

(EQN)

Коэффициенты (масса частицы) и (заряд частицы) выбраны таким образом, чтобы получились правильные уравнения движения, соответствующие силе Лоренца. Убедимся в этом. Положение частицы — это обобщённая координата , а её производная по времени — это скорость частицы . Уравнения Лагранжа () в векторной форме имеют вид:

(EQN)

Производная по скорости равна:

где первый член является релятивистским импульсом . Для взятия полной производной по времени необходимо учесть, что потенциалы зависят от координат, соответствующих положению пробной частицы, поэтому:

где взят полный дифференциал от векторного поля (\,H).

Найдём теперь правую часть уравнений Лагранжа:

В результате уравнения Лагранжа принимают вид:

Последние два слагаемые при помощи тождества для двойного векторного произведения сворачиваются в одно: . Учитывая связь полей и потенциалов, приходим к силе Лоренца (стр.\,\pageref{E_B_main}):

(EQN)

Чтобы сразу получить ковариантные уравнения (), стр.\,\pageref{lorez_force_cov} необходимо в лагранжевом подходе использовать не время , а инвариантный интервал . Тогда динамическими переменными становятся , а их производными . Однако, в этом случае, не все динамические переменные являются независимыми. В частности, компоненты 4-скорости связаны соотношением . Чтобы использовать лагранжев подход необходимо искать экстремум со связями, используя метод множителей Лагранжа (см. стр.\,\pageref{math_lagrang_mult}). Так, запишем лагранжиан в виде:

Функция (множитель Лагранжа) является дополнительной динамической переменной, обеспечивающей в каждый момент времени выполнения связи . Так как производной по от в лагранжиане нет, уравнение Лагранжа по этой переменной приводит к соотношению . Остальные производные лагранжиана по и равны:

Учитывая, что , получаем уравнение:

Так как — антисимметричен, свёртка уравнения с в правой части даст ноль. В левой части имеем:

где учтена связь . Таким образом, является константой, равной массе частицы .

Перейдём к динамическим уравнениям для электромагнитного поля. В основу лагранжевого подхода положим 4-потенциал . Мы хотим найти уравнения которым он удовлетворяет. Эти уравнения должны быть:\\ 1) линейными уравнениями (принцип суперпозиции)\\ 2) дифференциальными уравнениями второго порядка.\\ Эти требования, благодаря уравнениям Лагранжа, выполнятся, если лагранжиан будет не более чем квадратичен по полям. Из 4-тока , потенциала и его производных можно сформировать следующие инварианты:

В принципе, если их умножить на некоторые константы и сложить, получится наиболее общий лагранжиан векторного поля, соответствующий линейным динамическим уравнениям. Последняя комбинация, квадратичная по потенциалу , приводит к теории в которой скорость электромагнитных волн оказывается меньшей скорости света, а закон Кулона нарушается. Поэтому от этого члена мы откажемся. Следующие два члена с конца в этом списке также не приведут к уравнениям Максвелла. При их подстановке в уравнения Лагранжа появятся производные тока. Уравнения для потенциалов станут зависеть не только от скоростей, но и от ускорения частиц. Хорошо это или плохо трудно сказать. Если коэффициенты при этих членах в лагранжиане малы, то и возникающие эффекты будут малы. Поэтому, возможно, пока никто и не обнаружил отклонений от уравнений Максвелла. Тем не менее мы откажемся и от них, ограничившись только первыми тремя инвариантами:

Множитель при первом члене лагранжиана выбран равным -1. Понятно, что если лагранжиан умножить на произвольную константу, уравнения от этого не поменяются. Следовательно одну из констант в сумме инвариантных комбинаций можно выбрать произвольной.

Возьмём соответствующие производные от лагранжиана (\,H):

Их подстановка в уравнения Лагранжа () (сейчас ) приводит к следующим уравнениям поля:

где — оператор Д`Аламбера.

Эти уравнения совпадут с уравнениями Максвелла, если . Действительно, напомним, что уравнения для потенциалов, следующие из уравнений Максвелла имеют вид (стр.\,\pageref{A_phi_eq}):

Выражения в круглых скобках являются ни чем иным, как свёрткой . По определению, компоненты 4-ковектора равны , поэтому для 4-вектора производной с индексом вверху имеем .

Если определение константы сказывается лишь на выбор единиц измерения поля, то с выбором константы ситуация хитрее. Свойства полей, в конечном счёте, проявляются при их действии на пробную частицу. Поэтому в классической электродинамике измеримыми являются напряжённости поля, а не потенциалы. Последние определены неоднозначно, что позволяет наложить на них калибровочное условие, например в форме . В этом случае, константа является произвольной. Её можно положить как равной нулю, так и равной . В последнем случае лагранжиан может быть записан (\,H) при помощи тензора :

(EQN)

Член совпадает с введенным ранее лагранжианом для точечной частицы с плотностью заряда . Действительно, запишем часть действия (см. () стр.\,\pageref{j_def}):

В последнем равенстве взят интеграл по объёму с дельта-функцией. Потенциал стал зависеть от траектории частицы (поэтому мы его и дифференцировали при выводе ()).

В результате можно записать единое действие для зарядов и полей:

(EQN)

Суммирование ведётся по всем точечным зарядам. Это действие можно минимизировать одновременно и для частиц и полей. В этом случае нет разделения на пробные частицы и частицы создающие поле.

В качестве упражнения предлагается добавить к лагранжиану электромагнитного поля член , найти уравнения движения в лоренцевской калибровке () (H) и решить их для случая электростатики (H). Затем получить решения этих уравнений в свободном пространстве (волновые уравнения с ) (H).


Ковариантная электродинамика << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Тензор энергии-импульса

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии